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多元函数的极限与连续习题
1. 用极限定义证明:。
2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。
（1）；
(2) ；
(3) ；
(4) 。
3. 求极限 （1）；
（2）；
（3）；
（4）。
4. 试证明函数在其定义域上是连续的。

1. 用极限定义证明:。
因为，不妨设，
有，

，要使不等式
成立
取，于是
， ，：
且 ，有，即证。

2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。
（1）；
， ，
二重极限不存在。
或 ， 。

(2) ；

可以证明 所以 。
当，时，极限不存在，
因此 不存在，
同理 不存在。

(3) ；
，
当 P(x, y)沿着趋于（0,0）时有
，
所以 不存在；
， 。

(4)

∴ ，
， 不存在。

3. 求极限 （1）；
，
又 ，
∴ 。

（2）；
。

（3）；
，
而
故 。

（4）。
令，，
时，，
。

4. 试证明函数在其定义域上是连续的。
证明：显然f(x, y)的定义域是xy>-1.
当时，f(x, y)是连续的， 只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。
以下分两种情况讨论。
（1） 在原点（0,0）处
f(0, 0)=0, 当时
,
由于
不妨设 ， ，
从而 ， 取，当时，

，
于是，无论，当时，都有

（2） 在处。（
当时，

当x=0时, ,
注意到，当时 ，
于是，无论， 当时
，
即 f(x, y)在在处连续，
综上，f(x, y)在其定义域上连续。