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经过圆心的弦（如图中的经过圆心的弦（如图中的AB）叫做）叫做直径直径COAB连接圆上任意两点的线段（如图连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做叫做弦弦，与圆有关的概念与圆有关的概念弦圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做每一条弧都叫做半圆半圆COAB弧圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧，简称，简称弧弧以以A、B为端点的弧记作为端点的弧记作 AB，读作，读作“圆弧圆弧AB”或或“弧弧AB”COAB劣弧与优弧劣弧与优弧小于半圆的弧叫做小于半圆的弧叫做劣弧劣弧.大于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做优弧优弧.（如图中的（如图中的AC）(用三个字母表示用三个字母表示,如图中的如图中的ACB)想一想想一想判断下列说法的正误：判断下列说法的正误：(1)(1)弦是直径；弦是直径；(2)(2)半圆是弧；半圆是弧；(3)(3)过圆心的线段是直径；过圆心的线段是直径；(4)(4)过圆心的直线是直径；过圆心的直线是直径；(5)(5)半圆是最长的弧；半圆是最长的弧；(6)(6)直径是最长的弦；直径是最长的弦；(7)等弧就是拉直以后长度相等的弧等弧就是拉直以后长度相等的弧 请将自己所画的圆与同伴所画的请将自己所画的圆与同伴所画的圆进行比较，圆进行比较，它们是否能够完全重它们是否能够完全重合？并思考什么情况下两个圆能够完合？并思考什么情况下两个圆能够完全重合？全重合？O1rO2r半径相等的两个圆叫做半径相等的两个圆叫做等圆等圆。圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;半径相等的两个圆是等圆半径相等的两个圆是等圆.判断题判断题弓形弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。等圆等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的半径相等。同心圆同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆等弧等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等，2）两弧的度数相等。1、直径是弦，而弦不一定是直径；2、半圆是弧，而弧不一定是半圆；3、两条等弧的度数相等，长度也相等，反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。注意：注意：OABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧即直径即直径CD垂直于弦垂直于弦AB，平分弦，平分弦AB,并且平分并且平分AB及及ACB“知二推三知二推三”(1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心过圆心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧注意注意:当具备了当具备了(1)(3)(1)(3)时时,应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是直径不是直径”的限制的限制.n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂径定理的推论垂径定理的推论 如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其就可推出其余三个结论余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理及推论垂径定理及推论OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的另一并且平分弦所对的另一条弧条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦并且平分弦和所对的另一条弧和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.一、判断是非：一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦圆心角圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角.圆周角圆周角:顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都与圆相交的并且两边都与圆相交的角角,叫做叫做圆周角圆周角.OBAOBAC弧、弦与圆心角的关系定理弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等的弧相等，所对的弦也相等在同圆（或等圆）中，如果圆心角、在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。对应的其余两个量都分别相等。综上所述综上所述,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系是的大小关系是:同弧所对的同弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角的一圆心角的一半半.OABCOABCOABC即即 ABC=AOC.ABC=AOC.同弧同弧 所对的圆周角相等所对的圆周角相等.都等于都等于这条弧所对的圆心角的一这条弧所对的圆心角的一半半.(等弧等弧)思考思考:相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等吗吗?在同圆或等圆中在同圆或等圆中圆周角定理:ABCD在同圆或等圆中在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.则则 D=AABCD如图如图,若若 AC=BD 1.1.如图如图,在在O O中中,BOC=50,BOC=50,求求A A的大小的大小.OBAC解解:A =BOC=25:A =BOC=25.ABOC如图如图,AB是直径是直径,则则ACB=90 度度半圆（或直径）半圆（或直径）所对的圆周角所对的圆周角是直角，是直角，90度度的圆周角所对的弦的圆周角所对的弦是直径。是直径。如图，设如图，设O O 的半径为的半径为r r，A A点在圆内点在圆内B B点在圆上点在圆上C C点在圆外点在圆外点点A在在 O内内 点点B在在 O上上 点点C在在 O外外 反反过过来来，如如果果已已知知点点到到圆圆心心的的距距离离和和圆圆的的半半径径之之间的关系，可以判断点和圆的位置关系间的关系，可以判断点和圆的位置关系?OAr OB=r OCrABCrOAr OB=r OCrO设设O O 的的半半径径为为r r，点点P P到到圆圆心心的的距距离离OP=OP=d d，则有：则有：点点P在在 O内内 点点P在在 O上上 点点P在在 O外外 点与圆的位置关系点与圆的位置关系dr d=r drrpdprd Prd读作读作“等价于等价于”，它表示从，它表示从符号左端可以符号左端可以得到右端，也得到右端，也可以从右端得可以从右端得到左端到左端。1、平面上有一点A，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？探究与实践OAOOOO 无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离 2、平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？探究与实践O OOOAB以线段以线段ABAB的垂直平分线上的任意一点为的垂直平分线上的任意一点为圆心圆心,以这点以这点到到A A或或B B的距离为的距离为半径半径作圆作圆.无数个。它们的圆心都在线段无数个。它们的圆心都在线段ABAB的垂直平分线上。的垂直平分线上。3 3、平面上有三点、平面上有三点A、B、C，经过，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？三点的圆有几个？圆心在哪里？归纳结论归纳结论：不在同一条直线上不在同一条直线上的三个点确定一个圆的三个点确定一个圆。探究与实践BC经过经过B,CB,C两点的圆的两点的圆的圆心圆心在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上.An经过经过A,B,CA,B,C三点的圆的三点的圆的圆心圆心应该应该这两条垂直平分线的这两条垂直平分线的交点交点O O的位置的位置.O经过经过A,BA,B两点的圆的两点的圆的圆心圆心在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上.经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。三角形的外心就是三角形三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分三条边的垂直平分线的交点线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。，它到三角形三个顶点的距离相等。这个三角形叫做这个圆的这个三角形叫做这个圆的内内接三角形接三角形。三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。OABC 有关概念有关概念 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.做一做锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABCOABCCABOO相交相交相切相切相离相离直线与圆有三种位置关系直线与圆有三种位置关系l（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线。这时直线叫做圆的割线。（2）相切：直线与圆有唯一个公共点时，叫做直线和圆相切。）相切：直线与圆有唯一个公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线。这时直线叫做圆的切线。（3）相离：直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。）相离：直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。OOO直线与圆位置关系的数量特征直线与圆位置关系的数量特征相交相交相切相切相离相离rd1rOOO（1）直线）直线 l 和和 O 相交相交（2）直线）直线 l 和和 O 相切相切（3）直线）直线 l 和和 O 相离相离d d2 2rd d3 3 符号符号“”读作读作“等价于等价于”。它表示从左端可以推出右端，。它表示从左端可以推出右端，并且从右端也可以推出左端。并且从右端也可以推出左端。探索与发现探索与发现演示无切线割线无切点交点d rd=r02相切相交直线名称公共点名称 d R+r0两圆外切 d=R+r1两圆相交R r d d0性质判定0RrR+r同心圆内含外离 外切相交内切位 置 关 系 数 字 化d解：设解：设 P P的半径的半径为R R(1)若若 O与与 P外切，外切，则则 OP=5+R=8 R=3 cm(2)若若 O与与 P内切，内切，则则 OP=R-5=8，R=13 cm所以所以 P的半径的半径为3cm或或13cm.PO11如如图 O O的半径的半径为5cm5cm，点，点P P是是 O O外一点，外一点，OP=8cmOP=8cm。若以若以P P为圆心作心作 P P与与 O O相切，求相切，求 P P的半径？的半径？小结小结:1)1)两两圆的的五种五种位置关系位置关系2)2)用两用两圆的的圆心距心距d d与两与两圆的的半径半径R,rR,r的数量的数量关系来判关系来判别两两圆的位置关系的位置关系知识精华知识精华:2.半径：正多边形外接圆的半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径叫做这个正多边形的半径半径.中心：一个正多边形外中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多接圆的圆心叫做这个正多边形的中心边形的中心OABFDCEG3.中心角：正多边形每以边中心角：正多边形每以边所对的外接圆的圆心角叫所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角做这个正多边形的中心角4.边心距：中心到正多边形边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多一边的距离叫做这个正多边形的边心距边形的边心距一、知一、知识要点概述要点概述 1、弧、弧长公式和扇形面公式和扇形面积公式公式 n的的圆心角所心角所对的弧的弧长l和含和含n圆心角的扇形的面心角的扇形的面积公式不要死公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推来：硬背，可依比例关系很快地随手推来：这样就不至于因死就不至于因死记硬背而出硬背而出错 将弧将弧长公式代入扇形面公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面和半径表示的扇形面积公式：公式：这一公式与三角形面一公式与三角形面积公式酷似公式酷似为了便于了便于记忆，只要把扇形看成一个曲只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧三角形，把弧长l看成底、看成底、R看看成底成底边上的高即可上的高即可2、弓形面、弓形面积 弓形面弓形面积可以看作是扇形面可以看作是扇形面积和三角形面和三角形面积的分解的分解与与组合，合，实际应用用时，可根据，可根据图形直形直观选用下列公式：用下列公式：当弓形所含的弧是劣弧当弓形所含的弧是劣弧时,如如图(甲甲)，S弓形弓形=S扇形扇形OABSAOB；当弓形所含的弧是当弓形所含的弧是优弧弧时，如，如图(乙乙)，当弓形所含的弧是半当弓形所含的弧是半圆时，如，如图(丙丙)，3、圆锥的基本特征的基本特征如如图：圆锥的的轴通通过底面的底面的圆心，并且垂直于底面；心，并且垂直于底面；圆锥的母的母线长都相等；都相等；经过圆锥的的轴的平面被的平面被圆锥截得的截得的图形是等腰三形是等腰三角形角形 如如图，SAB就是一个就是一个经过圆锥的的轴的截面，的截面，简称称为轴截面，它是一个等腰三角形，底截面，它是一个等腰三角形，底边AB是底面是底面圆的直的直径，腰是径，腰是圆锥的母的母线，高是，高是圆锥的高，它的的高，它的顶角叫做角叫做锥角，角，锥角的大小反映了角的大小反映了圆锥母母线对于底面的于底面的倾斜程度斜程度4、圆锥的的侧面展开面展开图 圆锥的的侧面展开面展开图是一个扇形，其半径等于是一个扇形，其半径等于圆锥的的母母线长，弧，弧长等于等于圆锥底面底面圆周周长 如如图，若，若圆锥的底面半径的底面半径为r，母，母线长为l，则它的它的侧面面积，即即S侧=rl，S全全=S侧S底底=rlr2=r(lr)注意：注意：扇形的弧扇形的弧长就就是底面是底面圆的周的周长，扇形，扇形的半径就是母的半径就是母线长二、重二、重难点知点知识归纳 弧弧长公式、扇形面公式、扇形面积公式、公式、圆锥的的侧面面积和全面和全面积三、典型例三、典型例题赏析析 例例1、如、如图，ABC是正三角形曲是正三角形曲线CDEF叫叫做正三角形的做正三角形的渐开开线，其中，其中 的的圆心依次心依次按按A、B、C循循环，它，它们依次相依次相连结如果如果AB=1，那么曲，那么曲线CDEF的的长是多少？是多少？