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专题三 牛顿运动定律

物体处于静止或匀速直线运动状态之外的其他状态都称为非平衡态。处在非平衡态的物体受到的外力的合力不为零，物体具有加速度。加速度与合力的关系遵守牛顿第二定律。
关于本章知识的命题年年都有，既有对本章知识的单独命题。也有与其他知识的综合命题，且以各种题型出现。从近年高考对本章的命题及高考加强对能力的考查考虑，本章的命题倾向于应用型、能力型，即在命题中增加些结合生产、生活等的一些实例，在实例中让考生抽象出物理模型，再用物理模型的知识及规律最后解决问题。无论题的形式怎样，万变不离其宗，无论何时，基本知识、基本方法还是要牢牢掌握。
高考对本章的考查主要从以下几个方面：
⑴能运用隔离法或整体法求解简单的连接体问题。
⑵能在正交的方向上应用牛顿第二定律或共点力平衡的条件建立方程。
⑶会综合运用牛顿运动定律和运动学规律分析解决问题。

第一节 牛顿第二定律

牛顿第二定律是动力学的核心定律。牛顿第二定律具有五性：
①瞬时性(力的作用与加速度的产生是同时的)；
②矢量性(加速度的方向与合外力方向相同)；
③独立性(物体受到的每个力都要各自产生一个加速度，物体的实际加速度是每个力产生的加速度的矢量和)；
④因果性(合外力为“因”，加速度为“果”)；
⑤同一性(F、m和a属同一研究对象的三个不同的物理量)。

牛顿第二定律不仅对单个质点适用，对质点组或几个质点的组合体也适用，并且有时对质点组运用牛顿第二定律要比逐个对单个质点运用牛顿第二定律解题要简便许多，可以省去一些中间环节，大大提高解题速度和减少错误的发生。对质点组运用牛顿第二定律的表达式为：

即质点组受到的合外力(质点组以外的物体对质点组内的物体的作用力的合力)等于质点组内各物体的质量与其加速度乘积的矢量和。

应用牛顿第二定律解题的关键是受力分析，正确的受力分析是正确求解的前提。受力分析时，只有同时能找到施力物体和受力物体的力才是存在的，只找到受力物体找不到施力物体的力是不存在的，这样的力千万不要作为一个独立的力画在受力图上。

牛顿第二定律的题型主要有：单独以牛顿第二定律命题的题型、结合运动学命题的题型和连接体题型。此外，牛顿第二定律有时也与热学、电磁学知识相结合，这在以后的相关知识中会讲述。

【例题透析】

㈠以纯牛顿第二定律命题题型
〖例1〗(1999年上海高考)如图所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各与小球相连，另一端分别用销钉M、N固定于杆上，小球处于静止状态。设拔去销钉N瞬间，小球加速度的大小为12 m/s2。若不拔去销钉M而拔去销钉N瞬间，小球的加速度可能是：(取g=10m/s2)
A.22 m/s2，竖直向上 B.22 m/s2，竖直向下
C.2 m/s2，竖直向上 D.2m/s2，竖直向下
〖命题意图〗
考查受力分析、牛顿第二定律等知识；在能力上考查考生的发散思维能力、分析判断问题能力、应用物理知识解决问题能力。
〖解题思路〗
拔去销钉M的瞬间。小球只受下面弹簧的弹力和重力作用。
若弹簧处于压缩状态，则弹力向上。设为F1，则，
代入数值得：；
若弹簧处于伸长状态，则弹力向下，设为F2，则F2+mg=ma，
代入数值得：F2=2 m。
小球处于平衡状态时，设上面弹簧处于压缩状态、伸长状态时，上面弹簧的弹力分别为F1’、 F2’。
由力的平衡方程：F1’+mg= F1，F2’+mg= F2，得：F1’=12m，F2’=12 m。
当拔去销钉N时，列牛顿第二定律方程：F1’+mg=ma’， a’=22m/s2，竖直向下；F2’-mg=ma2’， a2’=2 m/s2，竖直向上。
〖答案〗BC。
〖探讨评价〗
题目未给出加速度a=12m/s2的方向，也不具体指明两根弹簧的形变方式，这样使问题显得既复杂又模糊。因此，解本题要考虑弹簧的形变多种可能性和加速度12m/s2的向上、向下两种可能方向。

㈡结合运动学题型
〖例2〗(1999年全国高考)为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离。已知某高速公路的最高限速v=120km/h。假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间(即反应时间)t=0.50s。刹车时汽车受到的阻力大小f为汽车重力的0.40倍。该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少？取重力加速度g=10 m/s2。
〖命题意图〗
考查匀速运动、匀变速直线运动的知识，考查牛顿第二定律。考查考生挖掘隐含条件、分析问题能力和应用知识解题能力，
〖解题思路〗
〖解法1〗用运动学公式和牛顿第二定律解
在反应时间内，汽车运动的距离：…………①
设刹车时汽车的加速度大小为a，汽车的质量为m
则由牛顿第二定律得：f=ma…………②
自刹车到停下，汽车运动的距离：…………③
所求距离：…………④
由以上各式得：
〖解法2〗用运动学公式和动能定理解(略)

〖例3〗(2000年上海高考)风洞实验室中可产生水平方向的、大小可调节的风力。现将一套有小球的细直杆放入风洞实验室。小球孔径略大于细杆直径。
⑴当杆在水平方向上固定时，调节风力的大小。使小球在杆上做匀速运动。这时小球所受的风力为小球所受重力的0.5倍，求小球与杆间的滑动摩擦因数。
⑵保持小球所受风力不变，使杆与水平方向间夹角为370并固定，则小球从静止出发在细杆上滑下距离s所需时间为多少？(sin370=0.6，cos370=0.8)
〖命题意图〗
考查共点力作用下物体的平衡、牛顿第二定律及匀变速直线运动的规律。在能力上考查分析综合能力，应用知识解题能力。
〖解题思路〗
⑴设小球所受风力为F，小球质量为m，F=μmg
⑵设杆对小球的支持力为N，摩擦力为f
沿杆方向：
垂直于杆方向：
又
联立得：

又 所以：
〖探讨评价〗
解本题第⑴问时，球受到的支持力等于其重力，在第⑵问时，支持力不再等于其重力。这一点一定认识到。另外，还要避免在斜面上的物体受到的支持力绝对都等于mgcosθ的错误认识。求支持力的大小。一定要根据在垂直接触面方向上的牛顿第二定律或力的平衡方程求得。在应用滑动摩擦定律时，常见的错误是N的求解问题，N的求法就要依据上面提到的理论求解，绝不要凭感觉、经验行事，否则就会失误。

㈢连接体问题
〖例4〗(1998年全国高考)如图所示，质量为2m的物块A与水平地面的摩擦可忽略不计，质量为m的物块B与地面的动摩擦因数为μ，在已知水平推力F的作用下，A、B做加速运动，A对B的作用力为 。
〖命题意图〗
考查牛顿第二定律、牛顿第三定律、隔离体法、受力分析。考查学生运用物理基础知识分析和解决问题的能力。
〖解题思路〗
A、B整体在水平方向受力如图所示。
由牛顿第二定律，有：…………①
A物体在水平方向受力如图所示。
由牛顿第二定律有：F-T=2ma………②
解①②式得：
〖探讨评价〗
本题可以利用两次隔离体法分析，也可像上面利用一次整体法和一次隔离法分析，无论采用哪种分析方法，解题必须用两次牛顿第二定律列方程才能求解。

〖例5〗如图，质量为m1的物块A沿质量为m3的光滑直角三角形斜面下滑，质量为m2的物体B上升，斜面与水平面成α角，若滑轮与绳的质量及一切摩擦均不计，求斜面作用于地面凸出部分的压力。
〖命题意图〗
考查受力分析、牛顿第二定律、物体的平衡条件，考查运用物理知识解决较复杂问题的能力、合理选取研究对象的能力等。
〖解题思路〗
〖解法1〗常规解法：
对A：…………①
对B：…………②
由①②式得：加速度
绳子张力：
对斜面，受力图如图，

〖解法2〗对质点组运用牛顿第二定律。A、B连接体的加速度求法同解法1（略）。
对A、B和斜面组合体，其受力情况如图所示，
由质点组牛顿第二定律有：

〖探讨评价〗
⑴本题求解的难点是受力分析。解法1为常规方法，大多学生会采用；解法2运用的质点组牛顿第二定律形式，该法不大常用。关键是由于高中阶段不讲质点组的规律。如果能掌握质点组的规律，如质点组动能定理、质点组牛顿第二定律等，往往会给解题带来方便。
⑵解法2中运用的质点组牛顿第二定律，是牛顿第二定律在水平方向的分量 形式，即：
另外还有：，本题没有使用。

⑶本题的题设情景可作如下变化：
①若原题中地面没有凸出部分，并且斜面在A、B运动过程中始终不动，求地面对斜面体的摩擦力为多大？
〖解析〗
地面不凸出，斜面又不动，说明地面对斜面有摩擦力。该摩擦力对斜面而言，与原题中凸出部分对斜面的水平作用力等效，大小仍为：
。
【注】
变化后的题设情景与原题尽管有所不同，但实质为同一题，其解法没有任何变化。

②(1999年广东高考)原题中A的质量m1=4m，B的质量m2=m，斜面固定在水平地面上。开始时将B按在地面上不动，然后放手，让A沿斜面下滑而B上升。A与斜面无摩擦，如图。设当A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了，求B上升的最大高度H。
〖解析〗
A沿斜面下滑s距离时的速度为v，由机械能守恒定律得：
…………①
上式是选水平地面为零势面。
细线突然断的瞬间，B垂直上升的速度为v，此后B做竖直上抛运动。设继续上升的距离为h。
对B：由机械能守恒定律得：…………②
B上升的最大高度：H=h+s…………③
联立①②③式解得：H=1.2s

第二节 应用牛顿定律方法

研究非平衡态问题的方法及应用牛顿第二定律解题的方法有：
合成法、整体法、隔离体法、正交分解法、执果索因法和由因寻果法。
一般而言，都是实施由因(受力)寻果法(加速度)进行分析，再结合具体情况采用隔离法、整体法或正交分解法列方程求解。对某些力情况不明时，时而也采用执果索因法巧解问题。

㈠合成法(平行四边形定则)
若物体只受两个力作用而产生加速度时，应用力的合成法较简单，注意合外力的方向就是加速度的方向，解题时只要知道合外力的方向，就可知道加速度的方向，反之亦然。在解题时要准确做出力的平行四边形，运用直角三角形进行求解。

㈡整体法和隔离法
⑴整体法：
连接体和各物体如果有共同的加速度，求加速度可把连接体作为一个整体，运用牛顿第二定律列方程求解。
⑵隔离法：
如果要求连接体间的相互作用力，必须隔离出其中一个物体，对该物体应用牛顿第二定律求解，此方法为隔离法。隔离法解题要注意判明每一隔离体的运动方向和加速度方向。
⑶整体法解题或隔离法解题，一般都选取地面为参照系。
整体法和隔离法是相对统一、相辅相成的。本来单用隔离法就可以解决的问题，但如果这两种方法交叉使用，则处理问题十分方便。例如当系统中各物体有共同加速度，要求系统中某两物体间的作用力时，往往是先用整体法求出加速度，再用隔离法求出两物体间的相互作用力。

㈢正交分解法
当物体受到两个以上的力作用而产生加速度时，常用正交分解法解题，多数情况下把力正交分解在加速度方向和垂直加速度方向上，有：

特殊情况下分解加速度比分解力更简单。

㈣执果索因法
根据物体的加速度推知物体受力情况，依据是加速度方向与合外力方向相同。
㈤由因寻果法
根据物体的受力情况推知物体的加速度情况或物体的运动性质。

㈥质点组牛顿第二定律法
对质点组运用牛顿第二定律的表达式为：
。
即质点组受到的合外力(质点组以外的物体对质点组内的物体的作用力的合力)等于质点组内各物体的质量与其加速度乘积的矢量和。

【方法例析】

㈠合成法
【例l】如图所示，一倾角为300的斜面上放一木块，木块上固定支架，支架末端用丝线悬挂一小球，木块在斜面上下滑时，小球与滑块相对静止共同运动，当细线
⑴沿竖直方向；
⑵与斜面方向垂直；
⑶沿水平方向。
求上述三种情况下滑块下滑的加速度。
【解题思路】
从分析小球的受力情况入手，求加速度。
由题意，小球与木块的加速度相等，则此加速度必定沿斜面方向。

⑴如图a所示，T与mg都是竖直方向，故不可能有加速度，，说明木块沿斜面匀速下滑。
⑵如图b，T2与mg的合力必为加速度方向，即沿斜面方向，做出平行四边形，可知：，由牛顿第二定律知：，即加速度沿斜面向下，大小为。
⑶由于细绳只能产生拉力且沿绳的方向，故小球受力情况如图c所示，由图可见，，即：·
【评价】
用力的合成法解牛顿第二定律问题时，一定要注意：合外力的方向就是加速度的方向。

㈡整体法和隔离体法
【例2】如图所示，置于水平地面上相同材料质量分别为m和M的两物体用细绳连接，在M上施加水平恒力F，使两物体做匀加速直线运动，对两物体间细绳上的拉力，正确的说法是：
A.地面光滑时，绳子拉力大小等于；
B.地面不光滑时，绳子拉力大小为；
C.地面不光滑时，绳子拉力大于；
D.地面不光滑时，绳子拉力小于。
〖解题思路〗
把M、m看作整体，分析受力情况(水平方向)：拉力F，摩擦力f1和f2，如图所示，根据牛顿第二定律，用整体法求出共同加速度：

再隔离m，根据牛顿第二定律有：
所以绳子拉力为：

将，代入上式可得：
可见T与μ无关，此题的正确答案为AB。

㈢正交分解法
【例3】如图所示，在一倾角为θ的固定斜面上，有一加速下滑的质量为M的物体A，知A与斜面间的动摩擦因数为μ，试求A下滑的加速度a1的大小。
【命题意图】
考查受力分析、牛顿第二定律。
【解题思路】
A物体的受力如图所示，由牛顿第二定律得：
在沿斜面方向上： ………①
在垂直斜面方向上：………②
…………③
联立①②③解得：
【评价】
⑴本题在求解过程中运用了正交分解法。正交分解法就是把各力的共同作用点作为坐标原点O，建立一个平面直角坐标系，然后把各个力分别向x轴和y轴上进行分解(投影)，得到Fxi、Fyi，最后分别在两坐标轴上利用牛顿第二定律列方程，即：。
⑵本题采用的是分解力而不分解加速度的方法。有些题目也采用分解加速度而不分解力的方法。如当作用在物体上的力全在相互垂直的两方向上时，通常采用分解加速度而不分解力的方法。

㈣执果索因法
【例4】如图所示。一木箱以初速度v0沿斜面上滑，箱内装一圆球，木箱内壁是光滑的，图中标出木箱的两个内壁是甲和乙。下面说法正确的有：
A.若斜面光滑，球对木箱甲壁有压力；
B.若斜面粗糙，球对木箱乙壁有压力；
C.若斜面光滑，球对木箱甲、乙壁均无压力；
D.若斜面粗糙，球对木箱甲壁有压力。
【命题意图】
考查牛顿第二定律及其应用，同时还考查分析、推理及应用能力。
【解题思路】
首先把木箱和球作为一个整体研究。它沿斜面向上运动，加速度是沿斜面向下。如果斜面光滑，加速度，如果斜面是粗糙的，木箱受到沿斜面向下的摩擦力。，加速度。
再研究圆球，若木箱在光滑斜面上运动，圆球也有同样的加速度。这个加速度的获得是由它的重力的分力产生的，因此对甲、乙壁都无压力。若斜面是粗糙的，回球同木箱的加速度，那么圆球在沿斜面方向的外力不仅有重力的分力，还要增加一个沿斜面向下的力才能满足要求。因此木箱的乙壁对圆球产生沿斜面向下的压力。依牛顿第三定律，圆球对乙壁产生压力。本题的答案选BC。

㈤由因寻果法
【例5】(2000年上海高考)匀速上升的升降机顶部有一轻质弹簧，弹簧下端挂有一小球。若升降机突然停止，在地面上的观察者看来，小球在继续上升的过程中
A.速度逐渐减小 B.加速度先增大后减小
C.加速度逐渐增大 D.加速度逐渐减小
【命题意图】
考查受力分析、牛顿第二定律，考查分析判断问题的能力。
【解题思路】
当升降机匀速运动时，小球重力等于弹簧的弹力，即(弹簧伸长)。当升降机突然停止时，由于小球的惯性，要继续上升，伸长量x减小，球受合外力()方向向下，大小增大，当弹簧变为压缩时，弹力向下，合外力更大。由(压缩时x带负值)可知a增大，方向向下，C项正确、B项错误。因速度方向向上与加速度方向相反，所以速度减小，A项正确、B项错误。答案AC。
【评价】
⑴判断物体的运动性质，要根据加速度方向与初始情况决定。而加速度方向与合外力方向相同，具体关系是牛顿第二定律：。因此，判断a大小及方向，关键是正确分析受力情况。速度的增减，要由加速度方向和速度方向是相同还是相反决定，相同时做加速运动(v增大)，相反时做减速运动(v减小。
⑵本题是由受力情况判断加速度情况及速度情况，这种方法就是由因寻果法.

㈥整体牛顿第二定律法
【例6】如图所示，斜面体M始终处于静止状态，当物体m沿斜面下滑时有：
A.匀速下滑时，M对地面压力等于(M+m)g
B.加速下滑时，M对地面压力小于(M+m)g
C.减速下滑时，M对地面压力大于(M+m)g
D.M对地面压力始终等于(M+m)g
【命题意图】
考查受力分析、物体平衡、牛顿第二定律和牛顿第三定律。
【解题思路】
m与M整体在竖直方向上受重力(M+m)g和地面对斜面体的支持力N。令m的加速度为a1，M的加速度a2=0。由质点组牛顿第二定律有：
竖直方向：
因a2=0，故：，当a1=0时，，A正确；
当a1≠0，且加速下滑时，，B对；
当a1≠0，且减速下滑时，a1y取负值，，C对。
由以上分析，知D错。故答案为ABC。
【评价】
本题运用的是质点组牛顿第二定律的分量形式：

本题也可利用分量形式判断地面对斜面体的摩擦力方向。

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