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第6章 扭转
6.1【学习基本要求】
1、理解圆轴扭转的受力特点及变形特点；
2、掌握外力偶与功率、转速的关系；
3、掌握杆件扭转时的扭矩计算和扭矩图的作法；
4、理解剪切胡克定律和剪应力互等定理；
5、掌握圆轴扭转横截面上的应力分布规律和计算公式；
6、理解并掌握圆轴扭转时的相对扭转角和剪应变的概念及其计算方法；
7、学会圆轴扭转变形的变形计算；
8、熟练掌握利用强度条件和刚度条件对工程问题进行计算和设计；
9、了解矩形截面杆自由扭转时横截面上的剪应力分布规律。
6.2【要点分析】
1、轴的扭矩与扭矩图
受扭圆轴的横截面只有一个内力分量，称为扭矩，通常记为T，单位为kN·m，其大小可由截面法求得。扭矩的正、负规定通常可以由右手螺旋法则判定：扭矩矢的指向与横截面的外法线方向一致，即离开截面时为正，反之为负，如图6-1所示。受扭轴上任一横截面的扭矩等于截面一侧轴上所有外扭力矩的代数和，外扭力矩矢的指向与横截面的外法线方向一致，即离开截面时引起正扭矩，反之引起负扭矩。
图6-1
(a)
(b)

一般而言，不同横截面上的扭矩是不同的，且随着截面位置的变化而变化，用来反映扭矩随截面位置的变化规律的图形称为扭矩图。正扭矩画在上侧，负扭矩画在下侧。
2、扭力矩的计算
若已知传动轮传递的功率P(kW)及转速n(r/min)，外力偶矩(N·m)的计算公式为
(6.1)
3、圆轴扭转时的横截面上的切应力
圆轴扭转时，横截面上任一点的剪应力计算公式为
(6.2)
它表明，剪应力在横截面上是沿径向呈线性分布的，如图6-2所示。
图6-2
(b)
(a)

圆轴扭转时的横截面上的最大切应力在圆截面边缘各点处，其值为
(6.3)
式中，比值IP/R是一个与截面尺寸有关的量，称为抗扭截面系数，用WP表示，即
(6.4)
图6-3
【说明】①公式适用于均匀连续、各向同性、弹性范围内的等圆截面直杆。②直杆截面可以是实心的也可以是空心的。③对于图6-3所示受扭薄壁圆筒切应力可用计算，其中R0代表圆管的平均半径，δ代表壁厚。④对于直径为D的圆截面轴，其抗扭截面系数为，而对于内径为d、外径为D的空心圆截面，其抗截面系数则为，其中，α=d/D。
图6-4
4、切应力互等定理和剪切胡克定律
在受扭圆轴中，用相邻的两个横截面和两个纵向面，取一个边长无限小的正六面体，称为单元体，如图6-4(a)所示。单元体的左、右两侧面上无正应力只有切应力。两侧面上的切应力数值相等但方向相反。于是组成一个力偶矩为的力偶。由于单元体的前、后面为自由表面，没有应力；单元体的上、下面为纵向截面的一部分，其上没有正应力。为保持平衡，单元体的上、下两个侧面上必须有切应力，并组成力偶与力偶相平衡。由知，上、下两个侧面上存在大小相等、方向相反的切应力。于是组成了力偶矩为的力偶。由平衡方程，得

则

所以，在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这就是切应力互等定理。
【注意】该定理是材料力学中的一个重要定理，具有普遍意义，在同时有正应力的情况下同样成立。
在上述单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力而无正应力，单元体的两对侧面将发生微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量，这就是该点处的切应变。当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变与切应力成正比，这就是剪切胡克定律，可以写成

式中比例系数G称为材料的切变模量，其量纲与弹性模量E相同，单位Pa。
5、圆轴扭转强度计算
为保证轴工作时不致因强度不够而破坏，最大扭转切应力不得超过扭转许用切应力，即要求
(6.5)
此即圆轴扭转强度条件。对于等截面圆轴，则要求
(6.6)
圆轴扭转强度计算有三类问题，即校核强度、选择截面和确定许可荷载。
6、圆轴扭转变形
圆轴的扭转变形，用横截面间绕轴线的相对角位移即相对扭转角φ表示，单位为rad。相距l的两横截面间的扭转角为
(6.7)
对于长为l、扭矩T为常数的等截面圆轴，其两端横截面间的相对转角即扭转角为
(6.8)
单位长度内扭转角为
(6.9)
【说明】①公式适用于均匀连续、各向同性、弹性范围内的等圆截面直杆。②在计算相对扭转角φ的长度l内，T、G、IP均为常数。③GIP称为圆轴的扭转刚度或抗扭刚度，表征圆轴抵抗扭转弹性变形能力。
8、圆轴扭转刚度计算
在工程实际中，通常是限制扭转角沿轴线的变化率或单位长度内的扭转角，使其不超过某一规定的许用值，所以，圆轴扭转的刚度条件为
(6.10)
对于等截面圆轴，即要求
(6.11)
在上式中，[q]代表单位长度许用扭转角。对于一般传动轴，；对于精密度机器与仪表的轴，[q]之值可根据有关设计标准或规范确定。
圆轴扭转刚度计算有三类问题，即校核刚度、选择截面和确定许可荷载。
9、非圆截面杆的扭转简介
对于图6-5所示的矩形截面杆扭转变形后平面假设不再适用，杆的横截面会发生翘曲。
(a)
(b)
图6-5

图6-6
(a)
(b)
矩形截面杆自由扭转时，边缘各点的切应力形成与边界相切的顺流，四个角点上切应力等于零，最大切应力发生于矩形长边的中点，短边中点的切应力是短边上的最大切应力，切应力与扭转变形可按下列公式计算：
(6.12)
(6.13)
(6.14)
式中，tmax是长边中点切应力， t1是短边中点的切应力，φ是杆件两端的扭转角，Wt和It的量纲分别与WP和IP相同，GIt称为杆件的抗扭刚度。对于矩形截面的Wt和It分别为
(6.15)
(6.16)
h与b分别代表矩形截面长边与短边长度，系数α，β，g与h/b比值有关，其值可由相关表格查得。这时，横截面上的切应力分布如图6-6所示。
6.3【范例讲解】
& 例6-1传动轴如图6-7(a)所示，主动轮为A，从动轮为B、C、D，MeA=1170N·m，MeB= MeC=351N·m，MeD=468N·m，试画出轴的扭矩图。
解：从受力情况看出，轴在BC、CA、AD三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。
在BC段内，T1=-MeB=-351N·m，在CA段内，T2=-MeC-MeB=-702N·m，在AD段内，T2= MeD=468N·m。
根据所得数据，三段内各截面上的扭矩不变，所以在这各段内扭矩图为一水平线，如图6-7(e)。从图中看出，最大扭矩发生于CA段内，且Tmax=702N·m。
图6-8
图6-7
【讨论】对于同一根轴，若把主动轮A安置于轴的一端，例如放在右端，如图6-8所示。这时，轴的最大扭矩是Tmax=702N·m。可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。两者相比，显然图6-7(a)所示布局比较合理。

& 例6-2作图6-9所示各杆的扭矩图。
解：(a)轴的扭矩图分成二段，整个轴上无均布荷载扭矩图为两段水平线。
，
画扭矩图。从左至右，扭矩图的突变与外力偶矩转向一致，突变之值为外力偶的大小（从前往后看）
(b)轴的扭矩图分成二段，轴上的右段有均布荷载，该段扭矩图向下倾斜线段。左段无均布荷载，扭矩图为水平线段。
，
画扭矩图。扭矩图集中力偶处发生突变，而有均布力偶段扭矩图呈线性。显而易见，A端有大小为，力偶矩矢向左的外力偶。

图6-9
(b)
(a)

图6-10
(a)
(b)
(c)
& 例6-3图6-10(a)所示钢质圆轴，G=80GPa，。试求：1）n-n截面上A、B、C三点的剪应力数值及其方向（保留n-n截面左段）；2）最大剪应力；3）两端截面的相对扭转角。

解：1）圆轴受力偶作用面与轴线垂直的一对外力偶作用，发生扭转变形。由于扭矩在整个轴内无变化，可不画扭矩图。
扭转圆轴上各点的剪应力应在各自的横截面内，垂直于所在的“半径”，与扭矩的转向一致，如图6-10(c)所示。
由扭转剪应力的公式知：

2）最大剪应力，圆轴发生扭转时，边缘各点的剪应力最大。

3）由公式求两端截面的相对扭转角。

& 例6-4图6-11(a)所示钢制传动轴，A为主动轮，B、C为从动轮，两从动轮转矩之比mB: mC=2:3，轴径D=100mm，[τ]=60MPa。试按强度条件确定主动轮的容许转矩[mA]。
(a)
图6-11
(b)

解：1）圆轴所受力偶的作用面与轴线垂直，轴发生扭转变形。扭矩图如图所示，危险面是AC各横截面，危险点是AC段表面各点。
2）由强度条件确定主动轮的容许转矩[mA]

& 例6-5某空心钢轴，内外直径之比α=0.8，传递功率P=60kW，转速n=250r/min，[τ]=60MPa，G=80GPa，单位长度允许扭转角[θ]=0.8º/m，试选择内外径d、D。
解：1）计算外力偶矩：

圆轴受力偶作用面与轴线垂直的一对外力偶作用，发生扭转变形。由于扭矩在整个轴内无变化，可不画扭矩图。
2）按强度条件确定轴的外径D1：

（3）按刚度条件确定轴的外径D2：

图6-12
故
& 例6-6阶梯轴AB如图6-12所示，AC段直径d1=40mm，CB段直径d2=70mm，外力偶矩MB=1500N·m，MA=600N·m，MC=900N·m，G=80GPa，[τ]=60MPa，[θ]=2º/m。试校核该轴的强度和刚度。
解：1）画出扭矩图。
T1=600N·m，T2=1500N·m
2）校核强度
AC段：
CB段：
AC段CB段强度都满足。
3）校核刚度
，
AC段：
CB段：
AC段CB段刚度都满足。
& 例6-7图6-13所示圆轴AB所受的外力偶矩Me1=800N·m，Me2=1200N·m，Me3=400N·m，G=80GPa，l2=2l1=600mm，[τ]=50MPa，[θ]=0.25º/m。试设计轴的直径。
解：1）画出扭矩图。
T1=-800N·m，T2=400N·m
2）按强度条件确定轴的直径
图6-13
最大切应力发生在AC段。

求得d≥43.4mm。
3）按刚度条件确定轴的直径
最大单位长度扭转角发生在AC段。

求得d≥70mm。
比较可得轴的直径应选择70mm。
图6-14
& 例6-8图6-14(a)为某组合机床主轴箱内第4轴的示意图。轴上有Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ三个齿轮，动力由5轴经齿轮Ⅲ输送到4轴，再由齿轮Ⅱ和Ⅳ带动1、2和3轴。1和2轴同时钻孔，共消耗功率0.756kW；3轴扩孔，消耗功率2.98kW。若4轴的转速为183.5r/min，材料为Q235，G=80GPa。取[τ]=40MPa，[θ]=1.5º/m，试设计轴的直径。
解: 为了分析4轴的受力情况，先计算作用于齿轮Ⅱ和Ⅳ上外力偶矩
MII和MIV同为阻抗力偶矩，故转向相同。若5轴经齿轮Ⅲ传给4轴的主动力偶矩为MIII，则MIII的转向应该与阻抗力偶矩的转向相反，图6-14(b)。于是由平衡方程ΣMx=0，得

根据作用于4轴上的MII、MIII和MIV的数值看出，在齿轮Ⅲ和Ⅳ之间，轴的任一横截面上的扭矩皆为最大值，即。
由强度条件得

其次，由刚度条件得

根据以上计算，为了同时满足强度和刚度要求，选定轴的直径D=30mm。可见，刚度条件是4轴的控制因素。由于刚度是大多数机床的主要矛盾，所以用刚度作为控制因素的轴是相当普遍的。
m
A
B
L
T
T(x)
x
dx

(a)
(b)
图6-15
& 例6-9如图6-15(a)所示，一钻机功率P=7.5kW，钻杆外径D=60mm，内径d=50mm，转速n=180r/min，材料扭转许用剪应力[τ]=40MPa，剪切弹性模量G=80GPa，若钻杆钻入土层深度L=40m，并假定土壤对钻杆的阻力是均匀分布的力偶。试作钻杆扭矩图；校核钻杆强度；计算A、B截面相对扭转角。
解：钻杆所受外力偶矩为
由于假定阻力矩均匀分布，所以单位长度的阻力矩为

则距下端x处截面的扭矩为

所以扭矩图为一斜直线如图b所示，最大扭矩为

钻杆横截面最大剪应力为
故钻杆满足强度条件。
钻杆微段两端截面相对扭转角为×
对上式积分即得A、B两截面的相对扭转角为
图6-16
& 例6-10 设有A、B两个凸缘的圆轴如图6-16(a)所示。在扭转力偶矩Me作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除Me，如图6-16(b)。设轴和筒的抗扭刚度分别为G1IP1和G2IP2，试求轴内和筒内的扭矩。

解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加扭转力偶矩Me解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复，这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩T1和T2。假想把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩，平衡方程是
(1)
仅由式(1)不能解出两个扭矩，所以这是一个静不定问题，应再寻求一个补充方程。
焊接前轴在Me作用下扭转角为
(2)
这就是图6-16(c)所示的凸缘B的水平直径相对于A转过的角度。在筒与轴相焊接并解除Me后，因受筒的阻抗，轴的上述变形不能完全恢复，最后协调的位置为aa。这时圆轴余留的扭转角为φ1，而圆筒的扭转角为φ2。显然
(3)
利用虎克定律，由式(3)得
(4)
从式(1)、式(4)可以解出

6.4〖练习题〗
6-1判断题：试判断下列说法是否正确，正确的划“√”，错误的划“×”并请说明理由。
1）对平衡构件，无论应力是否超过弹性极限，剪应力互等定理均成立。　
2）对于受扭的圆轴，最大剪应力只出现在横截面上。
3）圆轴的扭转变形实际上是剪切变形。
4）传动轴的转速越高，则其横截面的直径应越大。
5）受扭杆件的扭矩仅与杆件所受的外力偶矩有关，而与杆件的材料、横截面的大小以及横截面的形状无关。
6）直杆扭转变形时，横截面的最大剪应力在距截面形心最远处。
7）塑性材料圆轴扭转时的失效形式为沿横截面断裂。
8）圆轴受扭时，轴内各点均处于纯剪切状态。
9）薄壁圆管与空心圆管的扭转剪应力计算公式完全一样。
10）圆轴扭转时，根据剪应力互等定理，其纵截面上也存在剪应力。
11）剪应力互等定理只适用于纯剪状态。
12）普通碳钢扭转屈服极限τs=120MPa，剪变模量G=80GPa，则由剪切虎克定律τ=Gγ得到剪应变为γ=1.5×10-3rad。
6-2选择题：
1）题6-2图(1)所示圆截面直杆中的最大扭矩|Tmax|为 kN·m。
(A) 6； (B) 7； (C) 8； (D) 9。
2）阶梯轴的尺寸及受力如图所示，其AB段的最大切应力τmax1与BC段的最大切应力τmax2之间的关系为 。
(A) τmax1=τmax2； (B) τmax1=τmax2；　(C) τmax1=τmax2；　 (D) τmax1=τmax2。
题6-2图(2)
题6-2图(1)

3）实心圆轴受扭转力偶作用，横截面上的扭矩为T，下列四种应力沿横截面径向分布图中正确的是 。
题6-2图(3)
(A)
(B)
(C)
(D)

4）空心圆轴受扭转力偶作用，横截面上的扭矩为T，下列四种横截面上沿径向的应力分布图中 是正确的。
题6-2图(4)
(A)
(B)
(C)
(D)

5）长为l、半径为r、扭转刚度为GIP的实心圆轴如图所示。扭转时，表面的纵向线倾斜了γ角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T及两端截面的相对扭转角φ为 。

题6-2图(6)
题6-2图(5)

6）题6-2图(6)所示圆轴AB，两端固定，在横截面C处受外力偶矩Me作用，若已知圆轴直径d，材料的切变模量G，截面C的扭转角φ及长度b=2a，则所加的外力偶矩Me为 。

7）一直径为D1的实心轴，另一内径为d2，外径为D2，内外径之比为α= d2/D2的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比A1/A2为 。

8）圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，下述四种结论正确的是 。

9）一内外径之比为的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应
力为 ，则内圆周处的切应力为 。

10）实心圆轴的直径d=100mm，长l=1m，两端受力偶矩作用，材料的切变模量G=80GPa ，则圆轴两端的相对扭转角为 。
(A) 1.78×10-2rad； (B)1.02×10-2rad； (C) 2.4×10-2rad；　(D) 0.56×10-2 rad。
11）一圆轴用碳素结构钢制成，当校核该轴扭转刚度时，发现单位长度的扭转角超过了许用值，为保证该轴扭转刚度，以下几种措施中， 最有效。
(A)改用合金结构钢； (B)改用铸铁； (C)增加轴直径； (D) 减小轴长度。
12）对钢制圆轴作扭转校核时发现强度和刚度均比规定的降低了20％，若安全系数不变，改用屈服极限提高了30％的钢材，则圆轴的 。
(A)强度足够、刚度不够； (B)强度不够、刚度足够；
(C)强度、刚度均足够； (D)强度、刚度均不够
6-3填空题：
1）左端固定的直杆受扭转力偶作用，如题6-3图(1)所示，在截面1-1和2-2处扭矩分别为 。
2）如题6-3图(2)所示，一根等直的传动轴，主动轮在B、D，从动轮在A、C、E。设主动轮B、D的输入功率相等，从动轮A、C、E的输出功率也相等，只考虑扭转而不考虑弯曲变形的条件下，危险面位于 。
题6-3图(1)

题6-3图(2)

3）图示圆截面轴的直径为d，整个圆轴的最大扭转剪应力为 ，C截面相对于A截面的扭转角为 。

题6-3图(5)
题6-3图(4)
题6-3图(3)

4）图示中的轴1与套筒2牢固第结合在一起，两者的剪变模量为G1、G2，两端承受扭转力偶矩M，为使轴与套筒承受的扭矩相同，则必须满足的条件是 。
5）阶梯轴承受的外力偶矩如图，圆轴的最大剪应力为 。
6）扭转破坏时，低碳钢的破坏断面是 ，铸铁的破坏断面是 。
7）圆轴扭转时横截面上的任意一点的剪应力的大小与该点到圆心的距离成正比，方向与该点的半径垂直，此结论是根据 推知的。
8）直径分别为d1和d2的两实心圆轴分别受到1kN·m和3kN·m的外力偶矩的作用时，它们横截面上的最大剪应力相同，则两轴直径的关系为________________。
9）承受扭转变形的实心圆杆，当直径增大一倍（为原直径的两倍）时，则其两端面相对扭转角φ'与原相对扭转角φ的比值为 。
10）直径为25毫米的圆钢杆，受轴向拉力60kN的作用，在标距为20cm的长度内伸长了0.122mm；受扭矩200N·m的作用，相距15cm的两横截面相对扭转了0.55º，则此钢材的弹性模量E＝ ，剪变模量G＝ ，泊松比为ν＝ 。
6-4试求图示各轴的扭矩，并作扭矩图。
题6-4图
M
M
(a)
a
a
2kN·m
(c)
500
500
500
1kN·m
1kN·m
2kN·m
1kN·m
(d)
300
300
300
2kNm
3kN·m
M
2M
(b)
a
a

题6-6图
A
ρA
6-5某传动轴，转速n=300 r/min(转/分），轮1为主动轮，输入的功率P1=50 kW，轮2、轮3与轮4为从动轮，输出功率分别为P2=10 kW，P3=P4=20 kW。(1) 试画轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩。(2) 若将轮1与论3的位置对调，轴的最大扭矩变为何值，对轴的受力是否有利。
题6-5图
800
800
800
1
4
3
2
P4
P3
P2
P1

6-6图示空心圆截面轴，外径D=40 mm，内径d=20 mm，扭矩T=1 kNm，试计算A点处(ρA=15 mm)的扭转切应力τA，以及横截面上的最大与最小扭转切应力。
6-7一钢制阶梯状圆轴如图所示，已知Me1=10kN·m，Me2=7kN·m，Me3=3kN·m，试计算其最大切应力。
6-8图示两端固定的圆截面轴，直径为d，材料的切变模量为G，截面B的转角为φB，试求所加扭力偶矩M之值。
题6-7图
M
a
2a
A
C
B
题6-8图

题6-10图
6-9图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN·m。试求：(1)轴横截面上的最大切应力；(2)轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比；(3)去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。
题6-11图
题6-9图

6-10图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d = 66mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。
6-11由钢芯（直径30mm）和铝壳（外径40mm、内径30mm）组成的复合材料圆轴，一端固定，另一端承受外加力偶，如图所示。已知铝壳中的最大切应力MPa，切变模量Ga = 27GPa，钢的切变模量Gs = 80GPa。试求钢芯横截面上的最大切应力。
6-12直径d = 25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩T = 73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa。试：(1)分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？(2)确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。
题6-12图
题6-13图

6-13 已知图示传动轴所受力矩分别为Me1=895N·m，Me2=538N·m，Me3=2866N·m， Me4=1075N·m，Me5=358N·m。材料许用切应力为[τ]=20MPa，试设计阶梯轴各段的直径D。
6-14图示传动轴外力偶矩集度为m=500N·m/m，直径为D=30mm，长为l=1000mm，试计算轴内的最大切应力。

题6-15图
题6-14图

6-15图示两端固定的阶梯形圆轴，受一力偶m作用，d1=2d2。试求固定端力偶矩mA与mA，并作扭矩图。
题6-17图
6-16图示圆截面轴，AB与BC段的直径分别为d1与d2，且d1=4d2/3，材料的切变模量为G，(1)试求轴内的最大切应力与截面C的转角，并画出轴表面母线的位移情况。(2)若扭力偶矩M=1 kN·m，许用切应力[τ] =80 MPa，单位长度的许用扭转角[θ]=0.5º/m，切变模量G=80 GPa，试确定轴径。
M
l
l
M
A
C
B
题6-16图

6-17图示阶梯轴，AB段的直径d1=4cm，BC段的直径d2=7cm，外力偶矩M1＝0.8kNm，M3=1.5kN·m，已知材料的剪切弹性模量G＝80GPa，试计算φAC和最大的单位长度扭转角θmax。
6-18实心轴如图所示，已知该轴转速n＝300r/min，主动轮输入功率PC=40kW，从动轮的输出功率分别为PA=10kW，PB=12 kW，PD =18 kW。材料的剪切弹性模量G＝80GPa，若 [τ]＝50MPa，[θ]＝0.3º/m，试按强度条件和刚度条件设计此轴的直径。
6-19一内径d=100mm的空心圆轴如图所示，已知圆轴受扭矩T =5kN·m，许用切应力[τ] =80MPa，试确定空心圆轴的壁厚δ。
题6-20图
题6-19图
题6-18图

6-20已知钻探机杆的外径D = 60 mm，内径d = 50 mm，功率P = 7.46 kW，转速n =180 r/min，
钻杆入土深度l = 40 m，G = 80 GPa，[τ]= 40 MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布
的，试求：(1) 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；(2) 作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；
(3) 求A、B两截面相对扭转角。
6.5〖练习题参考答案〗
6-1判断题
1）√。
2）×。理由：圆轴扭转时，横截面的剪应力线性分布，最大剪应力发生在横截面上离形心最远处；根据剪应力互等定理，在与横截面垂直的纵截面上，剪应力也呈现线性分布的规律，在距离轴线最远处的纵向线上也存在最大剪应力。
3）√。
4）×。理由：根据轴传递的外力偶矩与转速之间的关系M=9.549P/n可知，转速越高，传递的外力偶矩越小，外力偶矩在横截面上产生的扭矩就小。由于横截面上的内力减小，横截面的直径也就可以相应减小。所以高速轴的直径小、低速轴的直径要大。
5）√。
6）×。理由：当截面为圆形时，横截面上的最大剪应力发生在距截面形心最远处。矩形截面在距离截面形心最远处的四个角点处的剪应力为零。
7）×。理由：塑性材料圆轴扭转时的失效形式为塑性破坏，破坏的断面位于横截面，不是发生脆断。
8）√。
9）×。理由：薄壁圆管的壁厚较小，认为剪应力沿壁厚均匀分布，所以薄壁圆管的整个横截面上的剪应力均匀分布；圆管的剪应力不是均匀分布，而是与半径成正比的线性分布规律。固二者的计算公式不相同。
10）√。
11）×。理由：剪应力互等定理是通过剪应力产生的内力之间的平衡条件导出的，没有任何限制，固适用于任何的应力状态。
12）×。理由：剪切虎克定律τ=Gγ的适用范围为线弹性、小变形。此时构件的应力已经超过材料的弹性极限，故虎克定律不再适用。
6-2选择题
1）B 2）A 3）D 4）C 5）C 6）C 7）D 8）D 9）B
10）A 11）C 12）A
6-3填空题：
1）T1=2.5kN·m, T2=－3kN·m 2）AB段和 DE段 3）16M/πd3；0
4）抗扭刚度相等即G1IP1= G2IP2 5）16T/πd3
6）横截面剪断；45º斜截面拉断
7）变形几何关系、物理关系
8）d23/d13=3
9）1/16
10）E=200.48GPa；G=81.57GPa；ν=0.2288
6-4解：
M
T
x
(+)
(-)
M
(b)
M
T
x
(+)
(a)

T
x
(+)
2kN·m
2kN·m
1kN·m
(c)
T
x
(-)
3kN·m
1kN·m
(d)

6-5解：1）计算各传动轮传递的外力偶矩；

2）画出轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩；
T(N·m)
x
(+)
318.3
1273.4
636.7
(-)

3）对调论1与轮3，扭矩图为；
T(N·m)
x
(+)
636.7
955
636.7
(-)

所以对轴的受力有利。
6-6解：1）计算横截面的极惯性矩；

2）计算扭转切应力；

6-7解：1）作扭矩图

用截面法求出及段横截面上的扭矩分别为
，
扭矩图如图所示。
（2）求最大切应力
最大扭矩发生在段，但段横截面直径大，因此，为求最大切应力需分别计算段及段横截面上最大切应力，并进行比较。

可见，最大切应力发生在段轴的外表面上，其值为。
6-8解：1）受力分析，列平衡方程；
MB
MA
M
A
C
B

(2) 求AB、BC段的扭矩；

(3) 列补充方程，求固定端的约束反力偶；

与平衡方程一起联合解得

(4) 用转角公式求外力偶矩M；

6-9 解：（1）MPa
(2)
∴
(3)

6-10 解：
N·m

N·m
∴ N·mN·m
6-11解：复合材料圆轴交界面上剪应变相同（r = 15mm）

∴
MPa

6-12 解：设轴受T = 73.6N·m时，相对扭转角为
且 （1）
T撤消后，管受相对扭转角，则轴受相对扭转角，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统平衡。
（2）
（3）
（4）
∴ （5）
（6）

m4
将Ip1、Ip2值代入（6）得
管：MPa
轴： MPa
6-13解：（1）求各段轴的扭矩，作出扭矩图
（2）求各段轴的直径D
∵　

∴

D23≥71.5mm， D34≥71.5mm， D45≥45mm
6-14解：
ΣMx=0 T(x)=mx
扭矩沿轴线线性变化
当x=0时，T=0
当x=l时，Tmax=ml=500N·m
∴MPa
6-15解：（1）超静定杆的受力图和扭矩图如图所示。
（2）列杆的静力平衡方程，则

（3）变形协调关系：
将代入静力平衡方程：

6-16解：(1) 画轴的扭矩图；
2M
T
x
(+)
M

求最大切应力；

比较得
求C截面的转角；

(2) 考虑轴的强度条件；

考虑轴的刚度条件；

综合轴的强度和刚度条件，确定轴的直径；
6-17

6-18

因该轴为等截面圆轴，所以危险截面为BC段内的各横截面。

6-19分析：因为不知壁厚,所以不能确定是不是薄壁圆管。分别按薄壁圆管和空心圆轴设计。
解： 1）按薄壁圆管设计
薄壁圆管扭转时，假设切应力沿壁厚均匀分布，设壁厚为δ，
平均半径为R0 =（d + δ）/ 2 ，则扭转切应力为

强度条件为τ ≤ [τ ]，于是得

2、按空心圆轴设计
强度条件为

比较可知，两种设计的结果非常接近。所以当δ ≤ R0 /10时，即认为是薄壁圆管，可以直接使用薄壁管扭转公式。
6-20解题分析：根据题意，为圆轴扭转问题。土壤对钻杆的阻力形成扭力矩作用在钻杆上，并沿钻杆长度方向均匀分布。

解：1）求阻力矩集度M
设钻机输出的功率完全用于克服土壤阻力，则有

单位长度阻力矩为

2）作扭矩图，进行强度校核
钻杆的扭矩图如图所示。最大扭矩出现在A截面，所以A截面为危险截面。其上最大切应力为

满足强度要求。
3）计算A、B两截面相对扭转角φAB