2016届高三理科数学试题(7).doc

2016届高三理科数学试题（7）
第I卷（选择题，60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、复数（i是虚数单位），则|z|=
A． B． C． D．2
2、已知集合则
A． B． C． D．
3、已知命题则命题p的否定形式是
A．
B．
C．
D．
4、执行如图所示的程序框图，则输出i的值为
A．4 B．5 C．6 D．7
5、已知
A． B． C． D．
6、已知双曲线的离心率为，则m的值为
A． B．3 C．8 D．
7、函数y=sin（ωx+φ）的部分图像如图，则=
A． B． C． D．

8、已知定义在R上的函数满足f（x）=f（2-x），其图像经过点（2,0），且对任意恒成立，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
9、小明准备参加电工资格考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有2次考试机会，在理论考试环节，若第一次考试通过，则直接进入操作考试；若第一次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后进入操作考试环节，第2次未通过则直接被淘汰。在操作考试环节，若第1次考试通过，则直接获得证书；若第1次未通过，则进行第2次考试，第2次考试通过后获得证书，第2次未通过则被淘汰.若小明每次理论考试通过的概率为，每次操作考试通过的概率为，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是
A． B． C． D．
10、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A． B．1

C． D．
11. 设抛物线y2=4x的焦点为F，过F作倾角为60的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），与其准线交于点C，则
A．6 B．7 C．8 D．10
12．已知函数=，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程有三个不同的实数根，则的零点个数为
A．1 B．2 C．3 D．以上都有可能
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分).

13、已知等比数列满足： 。
14、函数的定义域为 。
15、已知三棱锥S-ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为 。
16、在直角梯形ABCD中，AB⊥AB，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示）。若，其中的取值范围是 。

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分10分）
已知为等差数列的前项和，且，.
（ I）求数列的通项公式；
（II）设，求数列的前项和.

18、（本小题满分12分）
已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且
（I）求角A的值；
（II）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积。

19、（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°
（I）求证：PB⊥AD；
（II）若PB=，求二面角A—PD—C的余弦值。

20、（本小题满分12分）
某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：

（I）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；
（II）某学校欲采购灯具，同时试用了南北两工厂的灯具各两件，试用500小时后，若北方工厂生产的灯具还能正常使用的数量比南方工厂多，该学校就准备采购北方工厂的灯具，否则就采购南方工厂的灯具，试估计该学校采购北方工厂的灯具的概率。（视频率为概率）

21、（本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，长轴长为8.。
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若不垂直于坐标轴的直线l经过点P（m，0），与椭圆C交于A，B两点，设点Q的坐标为（n，0），直线AQ，BQ的斜率之和为0，求mn的值。

22、（本小题满分12分）
已知函数在x=2处取得极值。
（I）求实数的值及函数的单调区间；
（II）方程=m有三个实根求证：

数学（理科）参考答案
一、选择题：
1-5BBCAD BDDBC AC

二、填空题：
13. 8 14.
15. 16.
三、解答题
17．解：(Ⅰ) 由已知，得 ……………………… 1分
即 得
又由， 得 ……………………… 3分
故， ……………………… 5分
（Ⅱ）由已知可得， ……………………… 6分
…………………… 10分
18. 解：(Ⅰ)由
变形为

………………2分

因为
所以
………………4分
又 ………………6分
（Ⅱ）在中，，，
利用余弦定理，
解得， ………………8分
又D是的中点
………………12分
19． (Ⅰ)证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．
∵PA＝PD＝DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，
则PE⊥AD， BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
又PB平面PBE，∴PB⊥AD； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
(Ⅱ)解：在△PBE中，由已知得，PE＝BE＝，PB＝，则PB2＝PE2＋BE2，
∴∠PEB＝90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；
A
B
C
D
P
E.
z
x
y
以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E(0,0,0)， C(－2,,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)，
则＝(1,0,)，＝(－1,,0)，
由题意可设平面APD的一个法向量为m＝(0,1,0)；．．．．．．．．．．．．．．．．7分
设平面PDC的一个法向量为n＝(x,y,z)，
由 得：令y＝1，则x＝，z＝－1，∴n＝(,1,－1)；
则m·n＝1，∴cos<m, n >＝＝＝， ．．．．．．．．．．．．11分
由题意知二面角A－PD－C的平面角为钝角，所以，二面角A－PD－C的余弦值为－．．．．．．．．12分
20.解：（I）北方工厂灯具平均寿命：
小时；…………3分
南方工厂灯具平均寿命： 小时. …………6分
（Ⅱ）设北方工厂两件灯具能够正常使用的事件分别为A，B；南方工厂两件灯具能够正常使用的事件分别为C，D；
由题意可知：; …………8分则：采购北方工厂灯具的概率
…………10分
. …………12分
21． 解：（Ⅰ）由题意① ， ②， …………2’
又③，由①②③解得：，
所以求椭圆的标准方程为. …………4’
（Ⅱ）设直线方程为（），且，直线的斜率分别为，
将代入得：
，
由韦达定理可得：. …………7’
由得，，将代入，整理得：

即 …………10’
将代入，整理可解得 …………12’
22解：(Ⅰ)由已知，，………1分
所以，
由，得或； 由，得，………3分
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.………4分
（Ⅱ）由（1）可知极小值；极大值为
可知方程三个实根满足………5分
设，

则，
即
所以，
由（1）知函数在上单调递减，
从而，即①………8分
同理设

）
即
，由（1）知函数在上单调递增，
从而，即②………11分
由①②可得 得证. ………12分
9