时钟问题53277.doc

时 钟 问 题

要点解析
知识网络：
时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具.生活中也时常会遇到与时钟有关的问题.
关于时钟的问题有:求某一时刻时针与分针的夹角,两针重合,两针垂直,两针成直线等类型.要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针运动的规律和特点。
时钟盘面被等分为12大格，那么每两个大格之间的夹角是360°÷12＝30°。每个大格又被分为5个小格，每个小格之间的夹角为30°÷5＝6°。在钟表上时针和分针是同时运动的，它们的关系是：时针走一个小时转过30°，分针转过360°，恰为一个圆周。
重点·难点
在时钟问题中求解两针重合、两针垂直、两针成直线等问题也都是对求两针夹角问题的扩展和延伸。因此只要能够透彻的分析、解答了两针夹角的问题，其他问题则有章可循。
学法指导
解这类问题时，通常分别考虑时针与分针的转动情况，再根据条件综合在一起，然后求解，另外，还需要注意全面考虑多种可能的情况。
例1 如图1，在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？
思路剖析：将时钟盘面分成12格，那么在1点45分，分针必落在9这个位置上，而时钟针不在1这个位置上，而是在1和2之间的某个位置上，也就是要求出从1点到1点45分，45分钟的时间时针转过的角度。时钟走60分钟时针转过360°÷12＝30°，那么走45分钟，转过30°×（45/60）＝22。5°。而且从1点45分时时钟盘面上时针、分针的位置易知，从9点整到13点整之间包含有4个大格。那么此时时针与分针的夹角是这两部分角度的和。
解 答：两针的夹角：
① 从9点整到13点整之间包含13－45÷5＝4个大格。
② 时针从13点整走45分钟占45/60大格
两针夹角：30°×[(13－45÷5)＋45/60]＝30°×19/4＝142。5°
答：1点45分时针与分针的夹角为142。5°或142°30′
点 津
对于求两针夹角的问题，我们都可以按照例1的思路解题。从此题的求解中，可以总结出如下的规律性结论：在1点45分时，两针夹角：30°×[(13－45÷5)＋45/60]，那么在a点b分时，两针夹角：30°×[(a－b÷5)＋b/60]，为了避免a<b÷5（分针在时针前），通常a采用24时计时法；若a>b÷5（分针在时针后），则a采用12时计时法。如果所求的角度是大于180°的，那么需与360°求差后求出的值为最后结果。
例2 从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？
思路剖析：时针与分针成直线也就是说两针的夹角为180°，从5时整开始时，时针在一个小时内从5转到6，分针从12开始在一个小时内旋转360°，必然在此期间有一个时刻必然落在11与12之间。此题是已知两针夹角求时间的问题，与例1正好是一个相反的过程。我们仍可按照例1得到的规律求解。当两针成直线时，时间为5点几分，那么a＝5，由于分针位置在11至12之间，则b>55，那么b÷5>11，a<b÷5，应采用24时计时法，只需解一个方程，便可解此题。
解 答：时针与分针第一次成直线，它们的夹角为180°设从5时整开始，经过b分后，时针与分针第一次成直线，这时分针落在11与12之间，即b÷5>11，而a＝5<b÷5，则采用24时计时法，可得方程：30°×[(17－b÷5)＋b/60]＝180°解得b＝60，那么可知在5时60分时，也就是6时整，两针成直线。
答：从5时整开始，经过60分钟后，时针与分针第一次成直线。
例3 ：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？
思路剖析：时针与分针重合，在第一次他们的夹角为360°，那么解决两针重合问题的方法与求解两针成直线问题的方法类似。从6点整开始，一个小时内，时针从6转到7；分针从12开始转过360°，在此期间必有一时刻两针重合。
解 答：重合时两针落在6与7之间，因此b÷5>6，而a＝6<b÷5，而采用24时计时法，经过b分针后两针重合，得方程：30°×[(18－b÷5)＋b/60]＝360°b＝360/11
答：经过360/11分钟后，时针与分针第一次重合。例4 在8时多少分，时针与分针垂直？
思路剖析：在8时多少分时，两针垂直应有两种情况。如图所示。分针在时针后，此时的垂直夹角是90°；分针在时针前，此时的垂直夹角是270°确定了夹角之后，可根据例1得出的规律进行运算。
解 答：分为两种情况：
① 分针在时针后，a＝8，a>b÷5，可采用12时计时法，设从8时整开始，经过b1分后，时针与分针第一次垂直，夹角为90°得方程：30°×[(8－b1÷5)＋b1/60]＝90°b1＝300/11
② 时针在分针后，a＝8，a<b÷5可采用24时计时法，设从8点整开始，经过b分钟后，时针与分针第二次垂直。夹角为270°得方程：30°×[(8－b2÷5)＋b2/60]＝270°b2＝60°但题意要求是在8点几分时垂直，所以此种情况可舍。
答：在8点300/11分时，时针与分针垂直。
例5：如图所示的时间是8点20分差一些。如果时针与分针同6的距离正好相等，试问是几点几分？
思路剖析:由于时针与分针同6的距离正好相等，从图中可知，时针与分针与6的距离都是两个大格再加上部分大格。注意到时针多走的部分大格是时针与8的距离，即在几分钟内时针走的格数，而分针多走出的部分大格是分针与4之间的距离，即4个大格减去分针几分钟内走的格数。而这两部分是相等的。由于分针走5分钟走一个大格，那么1分钟就走1/5个大格，而时针60分钟走1个大格，那么一分钟走1/60个大格。由此可以将经过几分钟后时针与8的距离和分针与4的距离表示出来，得到方程，进而得出结果。
解 答:设在8点a分时，时针与分针同6的距离相等。那么时针与8的距离：a/60个大格，分针与4的距离：（4－a/5）个大格。那么有方程：a/60＝4－a/5 a＝240/13
答：在8点240/13分时，时针与分针与6的距离正好相等。
例6：小丁上午8点整到学校上课，可家里的闹钟在早上6：10就停了，他上足发条，但忘了对表，到校后发现提前了10分钟到校。中午12点放学，回家看才11点钟。假设小丁上下学在路上用的时间均相等。那么他家闹钟停了多长时间？
思路剖析:此题中小丁上下学在路上用的时间是一个需表示出的关键
量，假设这段时间为x分钟，那么由“中午12点放学，回家看才11点钟”，可知闹钟慢的时间：12小时＋x分钟－11小时＝1小时＋x分钟。由“闹钟在早上6：10就停了，到校后发现提前了10分钟到校。”知小丁在7：50到校，那么，闹钟的正确时间＋x分钟＝7：50，闹钟的正确时间＝6：10＋闹钟停的时间＝6：10＋1小时＋x分钟＝7：10＋x分钟。那么可以列出等式：7：10＋x分钟＋x分钟＝7：50，闹钟停止的时间可求。
设小丁上下学在路上用的时间为x分钟。
那么闹钟慢的时间：（12－11）×60＋x＝60＋x（分钟）
由题意：8点―10分钟＝7：50
6：10＋60分＋x＋x＝7：50
2x＝40
x＝20×（分钟）
60＋20＝80（分钟）
答：闹钟停了80分钟。

巩固训练

1、 求下面各种盘面上的时针与分针之间的夹角。
①3时25分 ②8时40分 ③9时12分
2、 从9点整开始，经过多少分钟，在几点钟，时针与分针第一次成为直线？
3、 小明同时开动两个钟后发现，其中一个钟每小时慢3分钟，而另一个钟每小时快2分钟，过了一段时间他再过去看这两个钟，发现那个快的时钟正好比慢的时钟快了一个小时，问小明过了多长时间去看的钟？
4、 时钟现在表示的时间是15时整，那么分针旋转2002周后，时针表示的时间是几时？
5、 钟面上的时针与分针同时旋转，在相同的时间内分针旋转过的度数是时针旋转度数的多少倍？
6、 一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟？
7、 时钟的分针和时针在24小时中，形成了多少次直角？
8、 时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可形成一条直线？
9、 在一天的第六个小时，小月看了一下表，分针正接近时针，还差3分的距离就重合。求现在是几点钟？