裂隙统计β-α-γ图解.doc

裂隙统计β-α-γ图解
——介绍一种新的裂隙统计方法
罗小杰
（长江水利委员会勘测总队）
裂隙是一种常见的构造。对裂隙进行统计分析是研究裂隙发育规律的一种基本方法和手段。目前对裂隙进行统计分析图件有两种：一是极射赤平投影，另一是玫瑰花图。下面介绍一种新的统计方法，即β-α-γ图解。
1. β-α-γ图解的原理
用α表示裂隙的倾角，β表示倾向， γ表示走向(有相差180º的两个值)。在α≠0和α≠90º时，裂隙通常表示成β∠α。事实上，裂隙都可用一个倾向值和一个倾角值予以确定其空间状态，也就是说，用一个由β和α组成的有序数组(β,α)即可代表一条裂隙产状，换句话说就是有序数组(β,α)与裂隙的空间状态呈一一对应关系，即给定一个有序数组(β,α)，有且只有一条裂隙与之对应，反过来，一条裂隙有且只有一对有序数组(β,α)来表示之。

图1 β-α坐标系
如果以β为横轴，α为纵轴建立如图1所示的直角坐标系，那么有序数组(β,α)与βOα平面内的点建立了一一对应关系。即任意一对有序数组(β',α')在βOα平面内，只能找到唯一的点A与之对应，反过来，βOα平面内的任意一点A有且只有一对有序数组(β',α')与之相对应。
因此，任意一条裂隙，通过有序数组(β,α)都可以在βOα平面内找到唯一的对应点，同样，βOα平面内任意一点都代表唯一一条裂隙。这样，我们将裂隙与βOα平面内的点建立了一一对应关系。这就是β-α-γ图解的基本原理。
2. β-α-γ作图方法
作β-α-γ图可按下列步骤进行。
①建立β-α-γ坐标系：
选取O点，以O为原点建立直角坐标系，横轴为β轴(倾向轴)，纵轴为α轴(倾角轴)， α轴的另一端为起点作平行于β铀的γ轴(走向轴)；以适当单位长(如坐标纸上的1mm刻度)将α轴分成90等分，将β轴和γ轴分成360等分，每一等分代表1度倾角值或方位角值。在α轴上由下至上标出0º~90º倾角值，β轴和γ轴上标出方位角，但二轴对应点的方位角之差值为90º，这是因为走向与倾向相差90º(图2)。为了作图方便，常在坐标纸上建立β-α-γ坐标系。
②作散点图：
以裂隙的倾角值α为纵坐标，倾向值β为横坐标，将某一地点测得的裂隙在β-α-γ坐标系内一一用点标记，即得散点图。
③统计成图：
用以适当单位长(如5º、10º等)为半径的单位圆圈为统计工具，从左至右，从上到下依次统计圆圈内点的个数，将统计数目标记在圆心位置。统计完毕后，以统计数据为基础作等值线，找出极密点I、II、…… 等，即得β-α-γ图(参见图5)。
④成果应用：

图2 β-α-γ坐标系
通过极密点作α轴的平行线分别与β轴和γ轴相交，交点即是裂隙的倾向和走向；作β轴的平等线与α轴相交，交点即是裂隙的倾角。如果有多个极密点，那么它们在γ轴上交点间的距离即是它们走向的夹角。若将坝址附近的河流走向标在γ轴上，河流与各组裂隙走向的关系则一目了然。
3. β-α-γ图解统计成果检验
β-α-γ图解的统计成果是否可信是非常重要的问题。为此，不妨将极射赤平投影和裂隙玫瑰花图两种传统统计方法与β-α-γ图解对同一裂隙统计点的统计成果进行对比。

图3 湖北省鹤峰县江坪河坝址裂隙极点等密图
(下半球投影)
图3、图4和图5分别是用这三种方法对湖北省鹤峰县江坪河水利枢纽坝址地段发育在震旦系上统灯影组中厚层——巨厚层白云岩及灰岩中的裂隙进行统计所得的统计图。每种统计方法都得到三组裂隙，这三组裂隙的产状(即倾向、倾角和走向)列于表1。由表1可以看出，由三种统计图解得出的这三组裂隙的产状值有些偏差。这种偏差可能主要由下列原因引起：极射赤平投影可能来源于作图工具，如用于统计用的普洛宁网中小圆圈的数目有限，导致统计不精确，而使极密点位置偏离它本来的位置；另外，最后确定极密点位置时常用几何重心代替，而几何重心不一定就是极密点本来的位置。裂隙玫瑰花图之偏差来自统计过程中的裂隙分组和在玫瑰花图上具体确定优势方位时；β-α-γ图解的偏差主要由极射赤平投影的第二种情况引起。
显然，偏差大小直接反映统计数据的精确程度，偏差越大，精度越差。表2、表3和表4是三种统计方法偏差分析表。表的第一栏是统计成果，第二栏是三种方法所得数据的平均值，第三栏为偏差，是统计成果与平均值之差，第四栏左边为方差，其值为偏差平方和的九分之一，右边的标准差为方差的平方根。标准差或方差更好地反映了统计值与平均值的偏差大小。由表2、表3和表4可知，这三种统计方法的标准差都小于2度。作为一种统计学方
图4 湖北省鹤峰县江坪河坝址裂隙倾向、倾角及走向玫瑰花图
法，2度的偏差是正常值范围。因此三种方法对裂隙统计成果基本是一致的。β-α-γ图解对裂隙进行统计分析是可行的，其统计成果是可信的。

图5 湖北省鹤峰县江坪河坝址裂隙β-α-γ图

表1 江坪河坝址附近裂隙三种图解统计成果对比表
裂隙产状
倾向（β）
倾角（α）
走向（γ）
换算后的走向与作图得出走向之差
裂隙组别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
极 射
赤平投影
144º
96º
50º
81º
67º
70º
54º
6º
320º
0º
0º
0º
玫瑰花图
145º
98º
50º
76º
68º
72º
51º
8º
317º
4º
0º
3º
β-α-γ图
144º
97º
45º
74º
64º
72º
54º
7º
315º
0º
0º
0º
均 值
144.33º
97.00º
48.33º
77.00º
66.33º
71.33º
53º
7º
317.33º

表2 极射赤平投影偏差分析
裂隙产状
倾向（β）
倾角（α）
走向（γ）
裂隙组别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
统 计 值
144º
96º
50º
81º
67º
70º
54º
6º
320º
均 值
144.33º
97.00º
48.33º
77.00º
66.33º
71.33º
53º
7º
317.33º
偏 差
-0.33º
-1.00º
+1.67º
+4.00º
+0.67º
-1.33º
+1.00º
-1.00º
+2.65º
方 差
3.47
标准差
1.86º
表3 裂隙玫瑰花图偏差分析
裂隙产状
倾向（β）
倾角（α）
走向（γ）
裂隙组别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
统 计 值
145º
98º
50º
76º
68º
72º
51º
8º
317º
均 值
144.33º
97.00º
48.33º
77.00º
66.33º
71.33º
53º
7º
317.33º
偏 差
+0.67º
+1.00º
+1.67º
-1.00º
+1.67º
+0.67º
-2.00º
+1.00º
-0.33º
方 差
1.51
标准差
1．23º

表4 β-α-γ图解偏差分析
裂隙产状
倾向（β）
倾角（α）
走向（γ）
裂隙组别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
统 计 值
144º
97º
45º
74º
64º
72º
54º
7º
315º
均 值
144.33º
97.00º
48.33º
77.00º
66.33º
71.33º
53º
7º
317.33º
偏 差
-0.33º
0.00º
-3.33º
-3.00º
-2.33º
+0.67º
+1.00º
0.00º
-2.33º
方 差
3.61
标准差
1.90º
4. β-α-γ图解计算机成图
4.1编程思路
由于β-α-γ图解是用解析几何的原理所作的裂隙统计图，故用计算机作β-α-γ图的编程方法可直接用解析几何方法进行。前文已述，统计过程就是在圆心记录单位圆内裂隙点的个数。据此，可用不等式D≤R2来进行统计。这里D是裂隙点与统计圆之圆，心的距离的平方，R是统计圆半径。若D＞R2，则该裂隙点在统计圆之外，不计数，若D＜R2，则该裂隙点在统计圆之内，圆心计数加1。规定D=R2时圆心计数加1。这样从左到右，从下到上有规律地改变统计圆心坐标，对应每一个圆心都计算所有裂隙点到该圆心距离，并一一与R比较，即可完成裂隙点的统计工作。之后，利用已有的等值线绘图程序进行绘图。

图6 作β-α-γ图之程序框图
4.2程序框图说明
利用计算机作β-α-γ图的程序框图见图6。现对该框图说明如下：
① 数据输入可定义两个维数一致的一维数组，分别用来存放对应的倾向和倾角值。进行统计时用同一指针同步取出同一裂隙的β和α值代入公式计算。
② 统计过程可用下列不等式(β-a)2+(α-b)2>R2进行。有规律地改变圆心坐标(可分别各用一指针控制)即可完成统计过程。注意在统计时应定义一个二维数组Z来存放统计成果。
③ 统计完毕后，用已有的作等值线程序即得β-α-γ图。
4.3统计程序说明
目前已有很好的作等值线的程序，只稍加修改即可用来作β-α-γ图，因此本文不多加讨论。这里只着重介绍统计程序。

图7 作自Y图的统计程序框图
图7是作β-α-γ图的统计程序框图。其中B和A是两个维数一致的一维数组，分别对应地存放β和α值。Z是二维数组，存放统计成果。I和J分别是α循环和β循环，分别控制统计圆心的纵坐标和横坐标。K是裂隙个数循环，控制裂隙产状的顺序取出。n是裂隙个数，m1和m2分别是I与J的最大值，分别为90º/R和360º/R，R是统计圆半径，其值越小，成果精度越高。D是裂隙点与圆心间距离的平方。
该程序框图共用了三个嵌套循环，外循环I控制统计圆心纵坐标，中间循环J控制统计圆心的横坐标，内循环K控制裂隙个数循环，在I和J一定，即圆心一定时，计算所有裂隙点与圆心距离的平方值D，并与R2相比较，得出Z值。
5. 结束语
目前裂隙统计分析中常用的方法是极射赤平投影和裂隙玫瑰花图两种传统的统计方法。
极射赤平投影通过球面的极点(有上、下极点之分)将空间的面和线投影到赤平面(水平面)上，把空间的面和线转变成平面上的线和点，从而便于在平面内分析空间的面和线的几何关系。显然这是一种变形的空间几何分析方法，它没有脱离空间面和线之间的几何关系。因此这种方法对于分析面状构造与线状构造之间的几何关系有其独到之处。对于不须处理裂隙空间关系的裂隙统计来讲，其原理本身决定了它需要有特定的投影网和对应的统计工具，如用吴氏网作出的散点图须用普洛宁网统计，而施密特网作出的散点图须用密度计统计。
与极射赤平投影方法不同，裂隙玫瑰花图是统计学中直方图的变形，是一种统计图解。因此用统计学方法对裂隙产状β、α和γ进行分组统计即可，不必考虑其空间几何关系，故从裂隙统计的角度看，比极射赤平投影方法要显得简便。成果精度与分组间距直接相关。
β-α-γ图是一种应用解析几何的原理对裂隙进行统计分析的图解。在平面(坐标纸)上建立β-α-γ坐标系后即可进行投影与统计，既不需要特定的投影网和相应的统计工具，也不必进行复杂的分组统计工作，因而显得简便、适应性强，省时省事；并且由于β-α-γ坐标系的三轴分别表示倾向、倾角和走向，在同一坐标系内可将不同极密点的β、α和γ值准确地反映出来，还可直观地标度出极密点的β、α和γ值。另外， β-α-γ图的计算机成图之编程原理简单，易于设计统计程序。可见，从裂隙统计角度看， β-α-γ图解方便，省时、省事，是一种较好的新的值得推荐的方法。