七年级数学上册 有理数的乘法教案 北师大版.doc

有理数的乘法 教学设计
教学设计思想
有理数乘法法则，实际上是一种规定（或说定义），要完全理解这样规定的科学性、合理性对中学生来说是不可能的．那么，怎样才能使学生接受（或说承认，不拒绝）有理数乘法法则呢？本节课通过对实际问题的解决，引入有理数的乘法法则。十分注重学生的自主探究，合作交流，归纳总结，使其充分体会到知识产生、规律发现的过程，让学生融入到数学学习中来，融入到数学活动中去。
教学目标
知识与技能：
熟记有理数的乘法法则，正确、熟练地进行有理数的乘法运算，正确运用乘法运算律简化运算。
过程与方法：
感受有理数乘法的实际背景，认识有理数乘法法则的合理性。
经历有理数乘法这一知识的产生过程，规律的发现过程，在探究和交流活动中，发展观察、猜想、验证和归纳概括能力。
情感态度价值观：
通过同学之间的合作与交流，经历观察、比较、推断、归纳形成一般规律的过程，体验数学规律探索的过程，逐步形成数学探究的积极态度。
教学重点和难点
重点：有理数乘法的运算．
难点：有理数乘法中的符号法则．
教学用具
多媒体或小黑板
教学方法
启发式教学
课时安排
2课时
教学过程
第一课时
Ⅰ.创设情景问题,引入课题
［师］上节课，讨论了一条河流的“水位的变化”，今天我们来看一下两水库的水位变化情况.（出示投影片）

甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米，4天后甲、乙水库水位的总变化量各是多少？
［师］大家要弄清题意，已知什么，求什么，该如何解答.
［生］已知甲水库的水位每天升高3厘米，要求4天后甲水库的水位的总变化量是多少.用乘法就可以解答.即3×4=12（厘米），所以甲水库的水位的总变化量是上升12厘米.
求乙水库的水位的总变化量，也是用乘法，它是水位下降了12厘米.
［师］很好.如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降,那么4天后，甲水库水位变化量怎样表示？乙水库水位的变化量又如何表示呢？
［生］甲水库水位的变化量为：水位上升+12厘米，乙水库水位的变化量为：水位上升－12厘米.
［师］对，甲水库的水位每天升高3厘米，记作+3厘米，那4天后，甲水库的水位变化量为：3+3+3+3=3×4=12（厘米）
乙水库的水位每天下降3厘米，记作－3厘米，那4天后，乙水库的水位变化量为：
（－3）+（－3）+（－3）+（－3）=（－3）×4=－12（厘米）
在这里，有4个－3相加，因而我们用了求几个相同加数的和的简便运算——乘法运算.因为4与－3是有理数，所以今天我们就研究有理数的乘法.
Ⅱ．讲授新课
［师］由刚才的题我们知道：（－3）×4=－12,
那么：（出示小黑板）
（－3）×3=_____
（－3）×2=_____
（－3）×1=_____
（－3）×0=_____
［生］我是这样想的：4个－3相加等于－12.可以写成乘法运算：－3×4=－12.反过来：－3×3可理解为有3个－3相加，3个－3相加等于－9，所以：－3×3=－9.由此可以知道：－3×2=－6;
（－3）×1=－3;（－3）×0=0.
［师］这位同学的想法对吗？算得对吗？
［生齐声］对.
［师］好.下面我们看这几个算式中的因数：－3没有变，另一个因数分别为4，3，2，1，0，它们依次减小1，积怎样变化呢？大家讨论、总结一下.
［生］积分别为：－12，－9，－6，－3，0，它们由小到大依次增加3.
［师］对，当第二个因数减少1时，积增大3.那现在我们再猜一猜（出示小黑板）：
（－3）×（－1）=_____
（－3）×（－2）=_____
（－3）×（－3）=_____
（－3）×（－4）=_____
［生］我想是这样的：第二个因数由1减为0时，积增大了3，那么由0减少1后为－1时，积也应增大3.即由0增加为3.所以（－3）×（－1）=3.
［师］对，很好，大家继续猜一猜下面几个题.
［生］第二个因数由－1减少为－2时，积就应从3增加为6；由－2减少为－3时，积应从6增加为9；由－3减少为－4时，积应从9增加为12，所以依次应填写：6，9，12.
［师］很好，大家通过仔细观察这一列算式的因数与积的变化，找到了规律：－3不变，另一个因数减少1时，积就增大3.这样就得到了这一列算式的结果.现在我们就这一列乘法算式来归纳一下有理数的乘法法则.
［生甲］一个负数同一个正数相乘时，积的符号为负，积的绝对值为两个因数的绝对值的积；两个负数相乘，积的符号为正，积的绝对值为两个因数的绝对值的积.
［生乙］可以说：异号两数相乘，积为负，并把绝对值相乘；同号两数相乘，积为正，也把绝对值相乘.还有一个数同0相乘，仍得0.
［师］对，同号两数即包括两正数，也包括两负数，两正数相乘在小学我们已学过，在这儿就一带而过了.刚才大家总结的有理数乘法法则还可以简单叙述为：
两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘.
任何数与0相乘，积仍为0.
这法则只是通过对特别的归纳.一般的数满足吗？下面我们验证一下：（出示小黑板）.
4×（－4）=_____,（－5）×2=_____
4×（－3）=_____,（－5）×1=_____
4×（－2）=_____,（－5）×0=_____
4×（－1）=_____,（－5）×（－1）=_____
（－4）×4=_____,（－4）×3=_____
（－4）×2=_____,（－4）×1=_____
（－4）×0=_____,（－4）×（－1）=_____
（－4）×（－2）=_____.
［生］老师，通过验证，知道刚才我们归纳的法则是正确的，它适合于任何有理数的乘法，对吧？
［师］对，我们现在共同来念有理数的乘法法则.
（学生齐生念）
［师］很好，这个法则可以从下图描述.（出示投影片）
1.两个因数都是正数：
（+3）·（+6）=+（3×6）=+18

2.两个因数都是负数：
（－3）·（－6）=+（3×6）=+18
3.两个因数中，一个是正数，一个是负数
（1）正数乘负数
（+5）·（－4）=－（5×4）=－20

（2）负数乘正数
（－5）·（+4）=－（5×4）=－20
4.一个数同0相乘，仍得0.
从这个转化图中，可以看出：有理数的乘法与有理数的加法运算步骤一样.都是先确定结果的符号，再进行绝对值的运算.另外，需要注意的是：法则中的“同号得正，异号得负”是专指“两数相乘”而言的.
下面我们通过例题进一步熟悉有理数的乘法法则.（出示投影片）
［例1］计算：
（1）（－4）×5; （2）（－5）×（－7）;
（3）（－）×（－）;
（4）（－3）×（－）.
分析：本题可以直接利用有理数乘法的法则来进行运算.
解：（1）（－4）×5
=－（4×5） （异号得负，绝对值相乘）
=－20
（2）（－5）×（－7）
=+（5×7） （同号得正，绝对值相乘）
=35
（3）（－）×（－）
=+（×）
=1
（4）（－3）×（－）
=+（3×）
=1
［师］在有理数运算熟练后，后面写的每一步的理由，就不必写了，从这个例题中，大家有没有发现什么？
［生］老师，我看到（3）、（4）小题的结果都是1,在小学里知道：乘积为1的两个数是互为倒数，那在这里也能不能说：乘积为1的两个数，也叫互为倒数呢？
［师］能，对于有理数仍然有：乘积是1的两个数互为倒数（reciprocal）.如：（－3）×（－）=1,所以：－3与－互为倒数.（－2）×（－）=1,所以说：－2与－互为倒数.
下面我们做一练习来熟悉有理数乘法的法则；（出示投影片）,看题大家能否口答?
1.确定下列两数的积的符号：
（1）6×（－3）; （2）（－4）×6; （3）（－7）×（－9）; （4）0.5×0.7.
2.计算：
（1）5×（－9）;（2）（－5）×（－9）
（3）（－6）×9;（4）（－6）×0
（5）0×（－6）;（6）（－）×
［生］能1.（1）－ （2）－ （3）+ （4）+
2.（1）－45 （2）45 （3）－54 （4）0 （5）0 （6）－
［师］这位同学回答得怎样？
［生］都对.
［师］好.两个有理数的乘法大家基本掌握，那三个有理数相乘怎样呢？下面大家看一题.
（出示投影片）
［例2］计算：
（1）（－4）×5×（－0.25）
（2）（－）×（－）×（－2）
看题后，想一想，怎样做？
［生］三个有理数相乘，可按顺序两个、两个相乘.
［师］好，那大家现在计算这个题（两个学生上黑板计算）.计算时要注意法则的运用.
解：（1）（－4）×5×（－0.25）=［－（4×5）］×（－0.25）=（－20）×（－0.25）=+（20×0.25）=5
（2）（－）×（－）×（－2）=［+（）×］×（－2）=×（－2）=－1
［师］很好，大家做得不错，不仅会计算两个有理数的乘法，还会计算三个有理数的乘法.两个有理数相乘，先要确定积的符号，然后再确定积的绝对值，那三个有理数相乘，积的符号怎样确定呢？
［生］例2中的（1）中有两个负因数，积为正；（2）中有三个负因数，积为负.
［师］很好，那多个有理数相乘时，积的符号怎样确定呢？我们再来看一个题（出示投影片）.
观察下列各式，它们的积是正的还是负的？
（1）（－1）×2×3×4
（2）（－1）×（－2）×3×4
（3）（－1）×（－2）×（－3）×4
（4）（－1）×（－2）×（－3）×（－4）
（5）（－1）×（－2）×（－3）×（－4）×0
看清题后，大家议一议.用自己的话总结一下.
［生甲］（1）－ （2）+ （3）－ （4）+ （5）0
［生乙］（1）、（3）小题中有奇数个负因数.积为负；（2）、（4）小题有偶数个负因数，积为正；（5）小题有一个因数是0，积为0.
［师］对，由此可得出多个有理数相乘的规律：几个不等于0的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正.只要有一个因数为0，积就为0.
那几个不等于0的因数相乘时，积的绝对值是多少？
［生］积的绝对值是这几个因数的绝对值的乘积.
接下来，我们做练习来进一步熟悉有理数的乘法法则.
Ⅲ.课堂练习
课本P66随堂练习
1.计算：
（1）（－8）×;
（2）×（－）×（－）
（3）×（－）;
（4）（－）×（－）×0×
（5）×（－1.2）×（－）;
（6）（－）×（－）×（－）
解：（1）原式=－（8×）=－42
（2）原式=［－（×）］×（－）=（－）×（－）=+（×）=
（3）原式=－（
（4）原式=0
（5）原式=+（×1.2×）=
（6）原式=－（××）=－
Ⅳ.课时小结
通过本节课的学习，大家学会了什么？
（1）有理数的乘法法则.
（2）多个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定.
（3）几个数相乘时，如果有一个因数是0，则积就为0.
Ⅴ．课后作业
（一）阅读课本P64~66
（二）课本P66习题2.10
（三）１．预习内容：课本P67~68
2.预习提纲：
有理数乘法的运算律有哪些？
板书设计
§2.8 有理数的乘法（一）
一、有理数的乘法法则
例1
二、互为倒数
例2
三、随堂练习
四、课时小结
五、课后作业
第二课时
Ⅰ.回顾复习，引入课题
［师］前面我们探讨了有理数的加法、减法和乘法运算，有谁能叙述它们的法则分别是什么？
［生甲］有理数的加法法则是：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加为零.
一个数同0相加，仍得这个数.
［生乙］有理数的减法法则是：
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
［生丙］有理数的乘法法则是：
两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘.
任何数与0相乘，积为0.
［师］很好，这三位同学叙述得挺好.大家能一起叙述吗？
［生齐声］能.
［师］好，那我们共同背一下这三个法则.
（学生一起背）
［师］大家背得不错.我们从法则中可知：加法法则和乘法法则是分三种情况叙述的.即同号两数、异号两数.一个数与0相加或相乘.减法法则是把减法运算变成加法运算的.所以大家理解时，可以从以上方面去掌握，理解.
下面我们通过练习做一做来进一步理解、掌握这些法则（出示投影片.
计算下列各题：
（1）（－7）×8;（2）8×（－7）;
（3）（－）×（－）;
（4）（－）×（－）;
（5）［（－4）×（－6）］×5;
（6）（－4）×［（－6）×5］;
（7）［×（－）］×（－4）;
（8）×［（－）×（－4）］;
（9）（－2）×［（－3）+（－）］;
（10）（－2）×（－3）+（－2）×（－）;
（11）5×［（－7）+（－）］;
（12）5×（－7）+5×（－）.
［生］（1）－56 （2）－56 （3） （4） （5）120 （6）120 （7） （8） （9）9 （10）9 （11）－39 （12）－39
［师］大家计算得正确.说明掌握了有理数的运算法则，并且在进行加、减、乘的混合运算时，还注意了：有括号时，要先算括号里面的数，没有括号时，先算乘法，后算加减.现在我们回头来比较一下它们的结果.
［生］（1）与（2）；（3）与（4）；（5）与（6）；（7）与（8）；（9）与（10）；（11）与（12）的计算结果一样.
［师］它们的计算结果一样，说明了什么？
［生甲］说明算式相等.即：
（1）（－7）×8=8×（－7）;
（－）×（－）=（－）×（－）
（2）［（－4）×（－6）］×5
=（－4）×［（－6）×5］;
［×（－）］×（－4）
=×［（－）×（－4）］
（3）（－2）×［（－3）+（－）］=（－2）×（－3）+（－2）×（－）;
5×［（－7）+（－）］=5×（－7）+5×（－）
［生乙］由（1），我们可以得到乘法交换律.由（2），可以得到乘法结合律；由（3），可以得到乘法对加法的分配律.
［师］很好，那么，乘法的运算律在有理数范围内还成立吗？大家每人写一些不同的数据来试一试.
［生1］老师，我写了一些数试了试，发现刚才的规律还成立.
［生2］我也发现：规律也成立.
［师］好.由此可知：乘法的运算律在有理数范围内成立.那我们今天就重点研究乘法的运算律在有理数运算中的应用.
Ⅱ．讲授新课
［师］这节课我们探讨的乘法运算律在有理数运算中的应用.那我们首先要知道乘法运算律有哪几条？能用文字叙述吗？
［生甲］乘法运算律有：乘法的交换律.乘法的结合律.乘法对加法的分配律等三条.
［生乙］两个数相乘，交换因数的位置，积不变，是乘法的交换律.
［生丙］三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，是乘法的结合律.
［生丁］一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相加，这是乘法对加法的分配律.
［师］这四位同学叙述得很准确.乘法的交换律和结合律仅涉及一种运算，分配律要涉及两种运算.你能用字母表示乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律吗？
［生］能.如果a、b、c分别表示任一有理数，那么：
乘法的交换律：a×b=b×a.
乘法的结合律：（a×b）×c=a×（b×c）
乘法对加法的分配律:
a×（b+c）=a×b+a×c
［师］很好.下面我们来进一步熟悉乘法的运算律及其字母的表示法.看题（出示投影片）
下列各式中用了哪条运算律？如何用字母表示：
（1）（－5）×3=3×（－5）
（2）［－+］+（－）=（－）+［+（－）］
（3）（－6）×［+（－）］=（－6）×+（－6）×（－）
（4）［29×（－）］×（－12）=29×［（－）×（－12）］
（5）（－8）+（－9）=（－9）+（－8）
答案：（1）乘法交换律:a×b=b×a.
（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
（3）乘法对加法的分配律：
a×（b+c）=a×b+a×c
（4）乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）
（5）加法交换律：a+b=b+a
［师］好，到现在为止，我们学了加法和乘法共五条运算律.这五条运算律不仅在正有理数中适用，而且在整个有理数范围内都适用.
运算律在计算中起到了简化运算的作用.那我们看刚才做的5个题中，计算等号右边比较简便还是计算等号左边比较简便？
［生］（1）相同.即计算等号左、右两边一样.（2）计算等号右边较简便；（3）也是计算右边简便.（4）也是计算右边较简便.（5）计算等号左、右两边都一样.
［师］很好.下面我们通过例题来进一步体会运算律对简化运算的作用（出示投影片）
［例3］计算：
（1）（－）×（－24）;
（2）（－7）×（－）×.
［师］大家能不能独立计算出结果呢？怎样计算较简便?
［生］能.运用运算律计算较简便.
［师］好，那请两位同学上黑板计算，其他同学在下面计算，看谁做得又快又准确.
解：（1）（－）×（－24）=（－）×（－24）+×（－24）=20+（－9）=11
（2）（－7）×（－）×=（－7）××（－）=（－）×（－）=
［师生共析］（1）题用的是乘法对加法的分配律.（2）题先用乘法的交换律.然后用结合律进行计算的.因此可知，运用运算律，有时可使运算简便.
Ⅲ.课堂练习
课本随堂练习
1.计算：
（1）0×（－）;
（2）3×（－）;
（3）（－3）×0.3;
（4）（－）×（－）.
解：（1）原式=0
（2）原式=－1
（3）原式=－0.9
（4）原式=
2.计算：
（1）（－）×（－8）;
（2）30×（－）
（3）（0.25－）×（－36）
（4）8×（－）×
解：（1）原式=6
（2）原式=30×+30×（－）=15+（－10）=5
（3）原式=0.25×（－36）+（－）×（－36）=（－9）+24=15
（4）原式=8××（－）=×（－）=－
试一试：
1.用“＞”“＜”“=”填空：
（1）若a＜0,则a_____2a;
（2）若a＜c＜0＜b,则a×b×c_____0.
答案：（1）＞ （2）＞
Ⅳ.课时小结
本节课我们探讨了有理数乘法的运算律及其应用.
乘法的运算律有：交换律：a×b=b×a；结合律：（a×b）×c=a×（b×c）;分配律：a×（b+c）=a×b+a×c.
在有理数的运算中，灵活运用运算律可以简化运算.
Ⅴ．课后作业
（一）看课本P67~68
（二）课本P68习题2．11 1.
（三）１．预习内容：课本P69~70
2.预习提纲：
（1）有理数除法的法则是什么？
（2）如何求一个负数的倒数？
板书设计
§2.8.2 有理数的乘法（二）
一、有理数乘法的运算律
交换律：a×b=b×a
结合律：（a×b）×c=a×（b×c）
分配律：a×（b+c）=a×b+a×c
二、例题：
例3
三、随堂练习
四、课时小结
五、课后作业