山东省淄博市高青县第三中学八年级数学上册 第十二章 轴对称 轴对称小结与复习教案 新人教版.doc

第十二章 轴对称 轴对称小结与复习

考点一 轴对称和轴对称图形
例1 （2010年贵州贵阳）如图1是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为 （ ）
A
B
D
C
图1
A
B

解析：判断轴对称图形，关键是要看沿直线AB折叠后，两旁的图案是否完全重合，观察四个图形，只有第三个图形符合．故选C
点评：本题考查轴对称以及轴对称图形的概念．只有正确掌握它们的相关概念，才能灵活应用它们解题.
考点二 轴对称变换
例2 （2010年湖南长沙）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图2所示，A，B，C三点在格点上．
（１）作出 △ABC关于ｙ轴对称的△，并写出点的坐标；
（２）作出△关于x轴对称的△，并写出点的坐标．

图2 图3
解析：（1）由图可知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2），它们关于y轴对称的点的坐标分别为A1（-2，4），B1（-1，1），C1（-3，2），顺次连接A1，B1，C1，即得△ABC关于ｙ轴对称的△，如图3所示，且点C1的坐标为（-3，2）．
（2）同理可以做出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，如图3所示，点C2的坐标是（-3，-2） .
点评：关于坐标轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．利用轴对称作图时，先找到图的顶点关于x（y）轴的对称点，然后顺次连接各点，即可得到求作的图形．
考点三 轴对称的探究与应用
例3 （2010年江苏淮安）（1)观察发现 如图4-(1)，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．
做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点.
再如图4-(2)，在等边三角形ABC中，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值 AD.（填“大于”、“等于”或“小于”）

(1) (2) （3）
图4
(2)实践运用
如图4-(3)，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．
解析：（1）因为E是AB的中点，所以CE是△ABC的边AB上的中线. 由于△ABC 是等边三角形，所以CE又是边AB上的高．又因为AD也是等边三角形ABC的高，所以CE=AD．由做法可知BP+PE的最小值是CE， 所以BP+PE的最小值等于AD． 图5
（2）经过探究可以发现，要使∠APB=∠APD，则点B的对称点一定在直线DP上，因此有如下作法：如图5，找B关于AC对称点E，连接DE，并延长交AC于点P .

考点四 等腰三角形的性质
例4 （2010 年山东济南）如图6，已知．求证．
A
C
E
D
B

图6
证明一：∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C ．
∵ AD=AE，
∴ ∠ADE=∠AEC．
∴ 180O -∠ADE=180O -∠AEC ，即∠ADB=∠AEC ．
在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，
∴ △ABD≌△ACE．
∴ BD=CE．
证明二：作 AF⊥BC交BC于点F．
∵ AB=AC，AF⊥BC，
∴ BF=CF．
∵ AD=AE，AF⊥BC，
∴ DF=EF．　
∴ BF-DF=CF-EF，即BD=CE．
点评：本题考查等腰三角形的性质，在等腰三角形中，等边对等角，等角对等边以及三线合一的性质是每年中考的必考考点之一．在证明线段相等时，不要总想着三角形全等，显然方法二比方法一简便．
考点五 等腰三角形的判定
例5 （2010山东省德州）如图7，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．(1)求证AB＝DC；(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．
A
D
B
E
F
C
O
（１）证明：∵ BE=CF，
∴ BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．
又∵ ∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴ △ABF≌△DCE（AAS）.
∴ AB＝DC．
（２）解：△OEF为等腰三角形． 图7
理由如下：∵ △ABF≌△DCE，
∴ ∠AFB=∠DEC．
∴ OE=OF，则△OEF为等腰三角形．
点评：本题考查了等腰三角形的判定，判定等腰三角形时，可以证明三角形内有两个角相等，也可以证明三角形的两条边相等．三角形全等是证明线段、角相等的重要途径．

误区点拨
误区一 对轴对称的性质理解不透
例1 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称点一定在该直线的两侧，这种说法是否正确？
错解：正确.
剖析：一般来说，两个图形关于某条直线对称，对称点是在该直线的两侧，但两个图形与对称轴相交时，交点的对称点就是它本身．如图1所示，△ABC与△A′B′C′关于直线对称，AC，BC与的交点分别是M，N，点M，N的对称点就是它本身，在直线上. 图1
正解：不正确.
误区二 混淆轴对称与垂直平分线的性质
例2 如图2，已知直线l与l的同侧两点A，B，在直线l上求作点C，使AC+BC的值最小.
错解：如图3所示，连接AB，作AB的垂直平分线，交直线l于点C，则点C为所求作.
剖析：本题把使点C到A，B两点距离相等和使AC+BC的值最小混为一谈．
正解：如图4所示，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C，则点C即为所求作．

图2 图3 图4
误区三 问题考虑不正确
例3 等腰三角形的两边长分别为2 cm、4 cm，则周长为 （ ）
A. 10 cm B. 11 cm C. 10 cm或11 cm D. 12 cm
错解：选C.
剖析：题目条件中，等腰三角形的形状未定，2 cm、4 cm是腰还是底边也不确定，所以需要分两种情况来解答．当以2 cm为腰，4 cm为底，此时2+2=4，不符合三角形“两边之和大于第三边”，所以这种情况舍去；当以4 cm为腰，2 cm为底，此时符合三角形“两边之和大于第三边”，则周长为：2+4+4= 10（cm）.故选A．
正解：选A．
误区四 盲目应用含30°角的直角三角形的性质
例4 如图5所示，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F. 求证BF=2CF.
错解：连接AF.
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C =30°.
∴ BF=2AF.
∵ EF垂直平分AC，
∴ AF=FC. 图5
∴ BF=2CF.
剖析：应用含30°角的直角三角形的性质必须满足两个条件：（1）在直角三角形中；（2）有一个锐角为30°.两者缺一不可．
正解：连接AF.
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C =30°.
又∵ EF垂直平分AC，
∴ AF=FC.
∴ ∠FAC=∠C =30°.
∴ ∠BAF=120°-30°=90°.
∴ .
∴ BF=2CF.

跟踪训练
1．观察图中的汽车商标，其中是轴对称图形的个数为 （　 ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．如图１，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论
中不正确的是　 （ ）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC D．AB=2BD　　　　　　　　　　　　图1
3．已知A、B两点的坐标分别是（－2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A，B关于x轴对称；②A，B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④A，B之间的距离为4.其中正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图２，将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，然后将阴影部分剪掉，把剩余部
分展开后的平面图形是 　　　　　　　　　　　　　　　　（ 　 ）
垂直
A
B
C
D

5．如图３，正方形的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为 ___cm2．

A
B
C
D

6．如图４，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3 cm，△ABD的周长为13 cm，
D
C
A
B
则△ABC的周长为____________．

7．如图５，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AD=2，则AB=______．
8．如图6，在平面直角坐标系内，四边形AOCD中的顶点A，O，
D的坐标分别是（1，a），(0，0)，(2，0)，且AC=OD，如果A,C两点关于x轴对称，则C点对应的坐标是______．
9．等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将周长分为3:2的两部分,则此三角形的底边长为_______.
10.如图7，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作等边三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由.
E
D
C
B
A
图7

方法一
方法二
图8

11. 如图8，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内添涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．

12．如图9所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的
中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．

参考答案
1．C 2．D 3．B 4．A
5．8 6．19 7．8 8．（1，-1）
9．5 cm或 cm
提示:设腰长为x cm,则底边长为(25-2x)cm,于是得到=3:2或2:3两种情况讨论计算.
10．解: AE∥BC.
理由: ∵ △ABC和△CDE为等边三角形,
∴ BC=AC,CD=CE, ∠ACB=∠DCE=60°.
∴ ∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE.
∴ △BCD≌△ACE.
∴ ∠B=∠EAC.
∵ ∠B=∠ACB,
∴ ∠EAC=∠ACB.
∴ AE∥BC.
11. 解:如下图所示.
方法一
方法二
方法三
方法四

12．解：OE⊥AB．　　　　　　　　　　　
证明：在△BAC和△ABD中，AC=BD, ∠BAC=∠ABD,AB=BA,
∴ △BAC≌△ABD．
∴ ∠OBA＝∠OAB.
∴ OA＝OB.
又∵ AE＝BE,
∴ OE⊥AB．