资源描述
2.1 一元二次方程（1）相关以往知识：
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教学内容和方法：
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个性化教学思路及改进建议：
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【教学目标】
一、 知识与技能目标
1. 了解一元二次方程及解得概念.
2. 学会判别一元二次方程.
3. 熟悉一元二次方程的一般形式.
二、 过程与方法
培养学生的判断分析能力.
三、 情感态度与价值观
感受数学知识来源于实践，体现数学中未知量的美.
【教学重点】
一元二次方程的概念，包括它的一般形式
【教学难点】
例1第（4）题包含了代数式的变形和等式变形两个方面，计算容易产生差错
【教学过程】
一、合作学习，探究新知
1、列出下列问题中关于未知数x的方程：
（1）把面积为4平方米的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两个部分，求正方形的边长。
设正方形的边长为x,可列出方程______________;
(2)据国家统计局公布的数据，浙江省2001年全省实现生产总值6万亿元，2003年生产总值达9200亿元，求浙江省这两年实现生产总值的年平均增长率。
设年平均增长率为x，可列出方程______________；
（3）从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗？
设竹竿为x尺，可列出方程______________。
学生自主探索，并互相交流，自己列出方程。
2、观察上面所列方程，说出这些方程与一元一次方程的共同和不同之处.
学生各抒己见，发表自己的发现：共同点：①它的左右两边都是整式，②只含一个未知数；不同点：未知数的最高次数是2。
二、得出新知，运用强化
1、教师指出符合上述特征的方程叫做一元二次方程．板书课题及一元二次方程的定义并指出：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）。
2、判断下列方程是否是一元二次方程：
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3、判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程的根。
通过此题的求解向学生说明：一元二次方程的解（或根）的概念与一元一次方程的解（或根）的概念类似，但解的个数不同。
4. 一元二次方程概念的延伸
提问：一元二次方程很多吗?你有办法一下写出所有的一元二次方程吗?
引导学生回顾一元二次方程的定义，分析一元二次方程项的情况，启发学生运用字母，找到一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)
1）提问a＝0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a＝0、b≠0就成了一元一次方程了)。
2）讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称．
3）强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
5、强化概念
例1 （课本例1）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：
在本例中教师要讲清方程变形时，哪些属于代数式变形，运用了什么法则；哪些属于等式变形，依据什么性质。并板书示范解题过程。
2.练习：做课内练习第2、3题
3、提高练习：作业题5、7。
三、课堂小结
(1)本节课主要介绍了一类很重要的方程—一元二次方程（方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程）；
(2)要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)，并且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中二次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在。特别注意的是“＝”的右边必须整理成0；
(3)要很熟练地说出随便一个一元二次方程中二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数．
四、布置作业1、作业本2.1（1）2、书本作业题
瞬间灵感或困惑：
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板书设计
2.1 一元二次方程（2）相关以往知识：
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教学内容和方法：
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个性化教学思路及改进建议：
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【教学目标】
一、 知识与技能目标
1. 会用因式分解法解一元二次方程.
2. 用尝试体验的方法判别方程的解.
二、 过程与方法
1. 培养学生的抽象思维能力.
2. 培养学生从未知向已知转化的数学思想.
三、 情感态度与价值观
在自主探索，发现解方程的方法的过程中培养学生的探索创新精神，体验成功的乐趣.
【教学重点】
用因式分解法解一元二次方程
【教学难点】
例3方程中含有无理系数，需将常数项2看成，才能分解因式
【教学过程】
一. 复习引入
1、将下列各式分解因式：
教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.
2、你能利用因式分解解下列方程吗？
请中等学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视.之后教师指出：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。（板书课题）
二. 新课学习
1、 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：
教师首先指出：当方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤：（板书）
① 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
② 将方程的左边分解因式；
③ 根据若M·N=0，则M=0或N=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
2、讲解例2.（课本例2增加一小题）
（1）解下列一元二次方程：
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教师在讲解中不仅要突出整体的思想：把x-2及3x-4和4x-3看成整体，还要突出化归的思想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演，示范表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要用“或”，而不能用“且。
（2）想一想：将第（1），（2），（3）题的解分别代人原方程的左、右两边，等式成立吗？
（3）归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型：
①先变形成一般形式，再因式分解：
②移项后直接因式分解.
在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式，然后再考虑化简后能否分解因式。
讲解例3（课本例3）. 解方程
在本例中出现无理系数，要注意引导学生将将常数项2看成，另外对于方程中出现两个相等的根，教师要做好板书示范。
3、补充例4 若一个数的平方等于这个数本身，你能求出这个数吗？
首先让学生设出未知数，列出方程（），再让学生求解.根据学生的求解情况强调：对于此类方程不能两边同时约去x，因为这里的x可以是0。
三、巩固练习：课本第32页课内练习。
四、体会和分享
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
先由学生自由发言，教师再投影演示：
1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为零；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0.
4、用分解因式法解一元二次方程的注意点：1.必须将方程的右边化为零；2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
5、数学思想：整体思想和化归思想.
瞬间灵感或困惑：
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五.课后作业
1.书本作业题；2.作业本
板书设计
2.2 一元二次方程的解法（1）
相关以往知识：
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教学内容和方法：
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个性化教学思路及改进建议：
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【教学目标】
一、 知识与技能
1. 掌握用直接开平方解一元一次方程.
2. 掌握用配方法解二次项系数为1的一元一次方程.
二、 过程与方法
培养学生探索归纳的能力，用类比、联想的方法归纳方程的解法.
三、 情感态度与价值观
由实际问题引出方程，从而求出方程的解，来加深学生对数学的热爱.
【教学重点】
掌握直接开平方法及配方法解某些一元二次方程
【教学难点】
理解掌握配方法
【教学过程】
一、 复习旧知，引入新课
1 用因式分解法解方程x2－4=0。
2 若将方程先移项，得：x2=4。你能直接得到该方程的解吗？其解是什么？
3 引入新课，板书课题。
二、 [讲解新课]
1.了解直接开平方法解一元二次方程的概念。
将方程：x2－4=0，先移项，得：x2=4。
因此，x=± 2即，x1=2，x2=－2。
讲（或提问）到此，指出 ：这种解某些一元二次方程的方法叫做开平方法。
2. 初步掌握直接开平方法解一元二次方程。
提问：用直接开平方法解下列方程：
1、x2－144=0； 2、x2－3=0；
3、x2+16=0； 4、x2=0。
（1、x1=12，x2=－12；2、x1= ，x2=－ ；3、无解——负数没有平方根；4、x=0——0有一个平方根，它是0本身）。
3. 深刻掌握直接开平方法解一元二次方程
例1（课本例1变式） 解方程：(1) 3x2－27=0 (2) （x+3）2=2。
说明与分析：此例要求解出方程的根，同时通过此例的学习也为进一步解公式法作准备。实际上，我们将用此例以及类似的题目推导出一元二次方程的另一解法——配方法。可以看出，原方程中x+3是2的平方根，
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练习：解下列方程：
1、（x+4）2=3； 2、（3x+1）2=－3。
（1、x1=－4，x2=+ 4 ； 2、无解。）
4. 合作学习
(1)想一想：你能用直接开平方法解方程x2+6x+7=0吗？
(2) 你能将方程x2+6x+7=0转化为(x+a)2=b的形式吗?
(3) 请与同伴尝试解这个方程。
5. 探索配方法解一元二次方程一般步骤
将方程：x2+6x+7=0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2·x·3，得：x2+2·x·3=－7。由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上32，即：x2+2·x·3+32=－7+32， （x+3）2=2。
解这个方程，得：x1=－3+ ，x2=－3－ 。
6. 总结配方法的概念：把一个一元二次方程左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
7. 做一做——进一步理解配方的过程。
填空：
1．x2+6x+ =（x+ ）2 2、x2－5x+ =（x－ ）2；
3、x2+ x+ =（x+ ）2； 4、x2－9x+ =（x－ ）2
填空后总结配方的关键：对二次项系数为1的一元二次方程x2+bx=c配方，只需在方程两边都加上一次项系数一半的平方。
8. 教学例2（课本例2变式） 用配方法解下列一元二次方程(1) x2+6x=1 (2) x2=6+5x
解答过程由学生口述，教师板书的形式完成。
通过例题2的讲解，帮助学生总结出配方的步骤：
（1） 先把方程x2+bx+c=0 移项，得 x2+bx=-c
（2） 方程的两边同加一次项系数一半的平方，得
x2+bx+=-c+, 得=
若-4c+b2≥0,就可以用因式分解法或开平方法解出方程的根
9. 课堂练习 课本P30课内练习第3、4两题。
三、课堂小结
（1）开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x2=b（b≥0）；（x－a）2=b（b≥0）。
根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方根，所以，上列两式中的b≥0，当b＜0时，方程无解。
（2） 配方的关键是：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方。
瞬间灵感或困惑：_______________________________________________________________
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四、课外作业：课本P31的作业题
板书设计
2.2 一元二次方程的解法（2）
相关以往知识：
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教学内容和方法：
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个性化教学思路及改进建议：
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【教学目标】
一、知识与技能
使学生掌握用配方法解一元二次方程.
二．过程与方法
1.培养学生运用变形的思维方式来解得方程的解.
2.培养学生的逻辑思维能力.
三、情感态度与价值观
培养学生探索创新的科学精神，合作交流的学习方式，初步感受方程的魅力.
【教学重点】
用配方法解二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程
【教学难点】
当二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程是本节教学的难点
【教学过程】
一、 回顾：解方程
板演(并对的练习进行讲评)
一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的区别与联系（思考与领悟）
1、 开平方法：形如
2、 ①先把移项得
②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得，即，当时，就可以通过开平方法求出方程的根
二、新课教学
1．引例（当时）解方程
观察与思考，小组讨论：领悟将二次项系数化为1的转化思想
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2．例3 （课本例3） 用配方法解下列一元二次方程
（1）
（2）
遇到二次项系数不是1的一元二次方程，只要将方程的两边都除以二次项系数，转化为我们能用配方法解二次项系数是1的一元二次方法。
课堂练习
3．课本P32页，课内练习1
学生完成解题后出示答案
4．增加二次项系数为小数与分数的方程：用配方法解下列方程
（1）
（2）
5．课本P32页，课内练习2
学生先做，后挑选部分屏幕展示
三、 课堂小结
瞬间灵感或困惑：
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问：这一节课学习了什么
布置作业：完成课本作业（做在书上）和作业本（2）
板书设计
2.2 一元二次方程的解法（3）
相关以往知识：
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教学内容和方法：
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个性化教学思路及改进建议：
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【教学目标】、
一、知识与技能目标
用公式法解一元二次方程.
二、过程与方法
培养学生运用方程的不同变形，能准确并且快速解方程的能力.
三、情感态度与价值观
在合作交流的过程中，培养学生的集体主义精神，在探索过程中培养学生的创新能力，体验成功的乐趣.
【教学重点】
用公式法解一元二次方程
【教学难点】
一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识和能力，是本节的难点
【教学过程】
一、引入新课
用配方法解下列一元二次方程
完善“配方法”解方程的基本步骤
★一除、二移、三配、四开平方、五解.
二、新课学习
1．做一做：
你能用配方法解一般形式的一元二次方程（a≠0)吗？
处理：给学生充足的时间做一做，配方法掌握好的学生最后求解的结果可能不会考虑到的条件，也可能答案不够简练；然后教师引导学生再去探索.
思考：，方程有实数解吗？
一般地，对于一元二次方程（a≠0),如果，那么方程的两个根为这个公式就叫做一元二次方程的求根公式. 利用求根公式，由一元二次方程的系数a，b，c，直接求得一元二次方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.（它是解一元二次方程的一把万能钥匙）
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2．现学现用：填空（用公式法解方程）课内练习
说明：利用求根公式，就是代入公式求值，关键是确定a，b，c的值，目的就是应用求根公式时，应将方程化成一般式.进而引导学生总结出公式法解一元二次方程的基本步骤
（1）把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.（2）求出的值.
（3）代入求根公式 : （4）写出方程的解
例1（课本例4） 用公式法解下列一元二次方程：
（1） （2） （3）
解略
3．试一试:用公式法解下列方程
；； ；；
让学生独立完成，师生共同评价，由（3），（5）说明
方程根的情况：
例2（课本例5） 解方程：
解略
4．问：解一元二次方程的方法都有哪些？
说明：至于选择哪一个方法解一元二次方程，看你觉得哪个方法好用或方便就用哪个.
选择适当的方法解下列方程
；；；
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；
（5）先化成一般式，再用公式法.
三、课堂小结
请谈谈你的收获！
1．一元二次方程的求根公式.（公式成立的条件）
2．公式法解一元二次方程的基本步骤
四、布置作业
P35-36课本作业题A组必做，B组选做
作业本
板书设计
2.3 一元二次方程的应用（1）
相关以往知识：
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教学内容和方法：
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个性化教学思路及改进建议：
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【教学目标】
一、知识与技能目标
1.学会怎样列方程解应用题.
2.弄清问题中的数量关系，找出等量关系，列出方程并解答.
二、过程与方法
1.培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.培养学生逻辑推理能力.
三、情感态度与价值观
营造良好的学习氛围，培养合作互助的精神，体验获得成功的喜悦.
【教学重点】
列一元二次方程解应用题
【教学难点】
例2的数量关系比较复杂，学生不容易理解，是本节教学的难点
【教学过程】
一、引例
要做一个高是8cm，底面的长比宽多5cm，体积是528的长方体木箱，问底面的长和宽各是多少？
二、回顾：
1、以前我们已经经历了几次列方程解应用题？①列一元一次方程解应用题；②列二元一次方程组解应用题；③列分式方程解应用题.在思想方法和解题步骤上有许多共同之处.
2、提问：列方程解应用题的基本步骤怎样？
①审（审题）；
②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量
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