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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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储油罐的变位识别与罐容表标定

摘要

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”。储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体发生变位，现通过建立模型求解罐体油位高度与罐容表标定值之间的关系。本文针对涉及到的3个问题，进行了合理的解答。我们对问题一第1问使用了高等数学中求定积分的方法求解。对问题一第2问借用第1问的解可类似的使用定积分的方法求解。对第二问可使用分解求积的方法求解。
对于问题一第1问我们使用高等数学中的定积分法首先建立了无变位模型。以小椭圆油罐的侧面为横截面，首先借助MATLAB软件寻找横截面积与油位高度之间的函数关系。
然后对油罐的长度进行积分从而得到油罐储油量和油位高度之间的函数关系，通过和无变位的实验数据通过百分误差进行判断，可以得出最终模型为

对于问题一第2问我们仍然使用定积分的方法建立纵向变位模型。已知小椭圆油罐侧面的横截面积与油位高度之间的关系，现分五种情况对油罐储油量和油位高度之间的关系进行讨论，对模型进行合理的理论证明和推导，可得到大致的关系为

再通过MATLAB软件编程求得只有纵向变位的数学模型。并通过和实验数据对比给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
对于问题二我们将整个罐体分解为左侧球冠体，右侧球冠体以及中间部分计算油罐储油量和油位高度之间的关系。在问题一的第2问建立的纵向变位模型基础上我们再次分五种情况建立双变位模型。现通过枚举法求得最佳的 和 分别为2.14°和4.6°，并通过求得的 和 与未变位情况进行对比并寻找差值的规律。最后给出预测罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

关键词：储油罐 罐体变位 罐容表 定积分 多重积分 MATLAB

目 录

第一部分 问题重述………………………………………………..…………(3)
第二部分 问题分析………………………………………………..…………(3)
第三部分 模型的假设…………………………………………….…………(4)
第四部分 定义与符号说明…………………………………….…………(4)
第五部分 模型的建立与求解……………………………………………(5)
1．问题1的模型………………………………………………………………(5)
模型I(无变位模型)………………………………………………(5)
模型II(纵向变位模型)………………………………………….(7)
…………………………………………………………………………………………………
2．问题2的模型…………………………………………………………………(11)
模型I(双变位模型)………………………………………………(11)
…………………………………………………………………………………………………
第六部分 对模型的评价………………………………………………………(14)
第七部分 参考文献………………………………………………………………(15)

一、问题重述

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。现提出下列问题：
（1） 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用简化的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.1︒的纵向变位两种情况做了实验。根据实验结果，建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2） 对于实际的储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用给出的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。

二、问题分析

（一）问题一的分析
（1）第1问属于使用多重积分求解体积函数的问题。解决此类问题需要首先求得横截面积与函数坐标之间的关系，即小椭圆油罐的侧面积与油位高度之间的函数关系，使用MATLAB软件积分可顺利求得。在此基础上对油罐的长度再次进行积分，从而可以得到油罐储油量和油位高度之间的关系。通过计算推导得到的关系和实验数据之间的方差判断模型的可行性。
（2）第2问仍然属于使用定积分法求解体积函数的问题。但和第1问不同的是需要考虑油罐的纵向变位角 。利用第1问推导出的弓形面积公式，以油罐的长为z轴建立坐标系，分5种情况讨论油罐储油量和油位高度之间的关系。再次通过计算推导得到的关系和实际数据之间的误差判断纵向变位模型可行性，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（二）问题二的分析
问题二属于使用分解法求积分的问题。解决此类问题可将需要求积的物体分解为若干部分，此问题中我们将油罐分解为三部分，即中间的圆柱部分以及两端的球冠体部分。其中中间的圆柱部分可使用问题一第2问的结果直接得到。两端的球冠体部分使用增补法转化为简化的规则模型，在此基础上将坐标系建立在左侧球冠体与圆柱相接处，通过枚举法求得最佳的 和后再使用计算推导出油罐储油量和油位高度之间的关系。并和实际数据进行百分误差的计算验证模型的可行性。通过求得的模型给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。利用所给数据做出油罐储油量的双变位理论值和未变位显示值，并以此判断差值的规律。

三、模型假设

1. 假设题目所给的数据真实可靠；
2. 假设小椭圆油罐形状规则；
3. 假设小椭圆油罐厚度可忽略不计；
4. 假设储油罐在罐空和罐满之间均可随意进出油；
5. 假设储油罐在发生变位后其形状不发生改变；
6. 假设储油罐发生两种变位的角度不超过10°；
7. 假设计算出的储油罐容积即为储油罐的储油量；

四、定义与符号说明

：小椭圆油罐侧面长半轴；
：小椭圆油罐侧面短半轴；
：油罐侧面横坐标；
：油罐侧面纵坐标；
：油罐显示油位高度；
：油罐长度；
：小椭圆油罐侧面弓形面积；
：油罐储油量；
：油罐的存储量；
：油罐液面高度到油罐顶部距离；
：油罐等效油位高度；
：未横向偏转时油位高度；
：油罐侧面横截面半径；

五、模型的建立与求解

第一部分：求解问题一

（一） 无变位模型
1.模型建立
根据问题一（1）的分析，首先需要求得小椭圆油罐的侧面积与油位高度h之间的函数关系，建立如图所示坐标系

现设椭圆的面积公式为 则弓形面积为 。
使用MATLAB求解可以得到弓形面积，现对油罐长度进行积分，即
。
将得到的解与实验数据进行作图计算百分误差并对模型进行调整得到最终结果。
2.模型求解
首先通过MATLAB积分工具箱计算弓形面积，解出得到弓形面积为：

再对油罐长度进行积分可以得到油罐储油量和油位高度的函数为：

通过MATLAB作图可以得到理论推导出的函数与实验采集数据拟合的较好（程序见附件一）。
途中可以发现在增大的过程中存在一定的误差值，因此可判定为油罐体厚度等影响所致。

现使用MATLAB编程计算推导数据和实验数据之间的百分误差，误差稳定在3.49%左右，因此在推导出的油罐储油量V和油位高度h的函数中除以1.0349，得到最终的模型为

其中a=0.89，b=0.6，l=2.45。
以下给出小椭圆油罐罐容表的理论值和实际值
理论值：
油位高度/mm
储油量/L
油位高度/mm
储油量/L
油位高度/mm
储油量/L
油位高度/mm
储油量/L
10
5.12
310
813.13
610
2027.91
910
3231.39
20
14.43
320
850.22
620
2070.03
920
3267.25
30
26.45
330
887.67
630
2112.13
930
3302.67
40
40.62
340
925.47
640
2154.2
940
3337.63
50
56.62
350
963.62
650
2196.22
950
3372.11
60
74.24
360
1002.08
660
2238.18
960
3406.08
70
93.31
370
1040.85
670
2280.07
970
3439.52
80
113.71
380
1079.92
680
2321.88
980
3472.42
90
135.33
390
1119.26
690
2363.6
990
3504.73
100
158.08
400
1158.86
700
2405.2
1000
3536.45
110
181.89
410
1198.71
710
2446.69
1010
3567.54
120
206.69
420
1238.8
720
2488.05
1020
3597.98
130
232.44
430
1279.1
730
2529.26
1030
3627.72
140
259.07
440
1319.62
740
2570.32
1040
3656.74
150
286.53
450
1360.33
750
2611.21
1050
3685.01
160
314.8
460
1401.22
760
2651.92
1060
3712.47
170
343.82
470
1442.27
770
2692.43
1070
3739.1
180
373.56
480
1483.49
780
2732.74
1080
3764.84
190
404
490
1524.85
790
2772.83
1090
3789.65
200
435.09
500
1566.34
800
2812.68
1100
3813.46
210
466.8
510
1607.94
810
2852.28
1110
3836.21
220
499.12
520
1649.66
820
2891.62
1120
3857.83
230
532.02
530
1691.46
830
2930.68
1130
3878.23
240
565.46
540
1733.36
840
2969.46
1140
3897.3
250
599.43
550
1775.32
850
3007.92
1150
3914.92
260
633.91
560
1817.34
860
3046.07
1160
3930.92
270
668.87
570
1859.4
870
3083.87
1170
3945.09
280
704.29
580
1901.51
880
3121.32
1180
3957.1
290
740.15
590
1943.63
890
3158.41
1190
3966.42
300
776.44
600
1985.77
900
3195.1
1200
3971.54

实际值：
油位高度/mm
储油量/L
油位高度/mm
储油量/L
油位高度/mm
储油量/L
油位高度/mm
储油量/L
159.02
312
438.12
1312
677.63
2312
892.82
3168.83
176.14
362
450.4
1362
678.54
2315.83
892.84
3168.91
192.59
412
462.62
1412
690.53
2365.83
906.53
3218.91
208.5
462
474.78
1462
690.82
2367.06
920.45
3268.91
223.93
512
486.89
1512
702.85
2417.06
934.61
3318.91
238.97
562
498.95
1562
714.91
2467.06
949.05
3368.91
253.66
612
510.97
1612
727.03
2517.06
963.8
3418.91
268.04
662
522.95
1662
739.19
2567.06
978.91
3468.91
282.16
712
534.9
1712
751.42
2617.06
994.43
3518.91
296.03
762
546.82
1762
763.7
2666.98
1010.43
3568.91
309.69
812
558.72
1812
764.16
2668.83
1026.99
3618.91
323.15
862
570.61
1862
776.53
2718.83
1044.25
3668.91
336.44
912
582.48
1912
788.99
2768.83
1062.37
3718.91
349.57
962
594.35
1962
801.54
2818.83
1081.59
3768.91
362.56
1012
606.22
2012
814.19
2868.83
1102.33
3818.91
375.42
1062
618.09
2062
826.95
2918.83
1125.32
3868.91
388.16
1112
629.96
2112
839.83
2968.83
1152.36
3918.91
400.79
1162
641.85
2162
852.84
3018.83
1193.49
3968.91
413.32
1212
653.75
2212
866
3068.83

425.76
1262
665.67
2262
879.32
3118.83

（二） 纵向变位模型
1． 模型建立
已知小椭圆油罐侧面的弓形面积的计算方法，现在不同情况下通过弓形面积的计算公式找到储油量和油位高度之间的函数关系。
（1） 情况1：
图一
如图一所示，当纵向变位后，储油量很小时，油位高度不可测量，则此时的储油量无法测量，其中在0到一定的范围之间。则有

其中
（2） 情况2：
图二
当 时，储油量的表达式如下所示，示意图见图二。

（3） 情况3：
当 时，储油量的表达式如下所示，示意图见图三。
图三

（4） 情况4：
当 时，储油量为整个小椭圆油罐体积减去上面空缺部分的体积，即

图四

其中a=0.89，b=0.6，l=2.45。
由

可推出

因此等效的油位高度为
图五

（5）情况5：
当时，因油面高度不可测量，因此储油量在一定值
到 之间。

2． 模型求解
在已建立的模型基础上，我们使用MATLAB软件编程求解所列出的公式（程序见附录二）。从而得到如下解。
（1） 情况1
经过计算可以得到，当油位高度较小不可测量时，储油量的范围是：

（2） 情况2
由题意可知，此时取值为，将其带入公式，得到油位高度的范围是

现通过程序求得储油量的范围是：

（3） 情况3
当时，即时，求得储油量的范围是：

（4） 情况4
当时，即时，求得储油量的范围是：

（5） 情况5
当时，可以求得储油量的范围是：

将模型求解所得到的值与实验测得数据使用（1）中的百分误差法可以求得模型求解所得到的数据和实验测得数据误差不超过5%，因此可认为模型有效。

通过MATLAB编程将纵向变位前后储油量和油位高度的关系曲线表现在图像中，并求得两者差值最大为195.5293L。由于变位后储油量具有一定值时油位高度为0，因此变位后储油量变小。

综上所述，现给出小椭圆油罐纵向变位后的罐容表的理论值
理论值：
油位高度/mm
储油量/L
油位高度/mm
储油量/L
油位高度/mm
储油量/L
油位高度/mm
储油量/L
0
0~1.67
310
629.94
620
1884.44
930
3188.74
10
3.53
320
665.36
630
1927.80
940
3227.22
20
6.26
330
701.29
640
1971.20
950
3265.30
30
9.97
340
737.71
650
2014.62
960
3302.97
40
14.75
350
774.60
660
2058.05
970
3340.22
50
20.69
360
811.93
670
2101.48
980
3377.01
60
27.85
370
849.69
680
2144.90
990
3413.34
70
36.31
380
887.85
690
2188.29
1000
3449.17
80
46.13
390
926.41
700
2231.65
1010
3484.49
90
57.38
400
965.33
710
2274.95
1020
3519.26
100
70.11
410
1004.61
720
2318.19
1030
3553.48
110
84.37
420
1044.23
730
2361.36
1040
3587.11
120
100.23
430
1084.16
740
2404.44
1050
3620.12
130
117.71
440
1124.40
750
2447.41
1060
3652.48
140
136.88
450
1164.93
760
2490.28
1070
3684.17
150
157.78
460
1205.74
770
2533.02
1080
3715.14
160
180.21
470
1246.80
780
2575.62
1090
3745.36
170
203.94
480
1288.11
790
2618.07
1100
3774.80
180
228.84
490
1329.64
800
2660.36
1110
3803.40
190
254.81
500
1371.40
810
2702.46
1120
3831.11
200
281.77
510
1413.35
820
2744.38
1130
3857.88
210
309.66
520
1455.50
830
2786.09
1140
3883.65
220
338.43
530
1497.82
840
2827.58
1150
3908.32
230
368.03
540
1540.30
850
2868.84
1160
3931.80
240
398.40
550
1582.93
860
2909.85
1170
3953.94
250
429.52
560
1625.70
870
2950.60
1180
3976.60
260
461.34
570
1668.59
880
2991.08
1190
3995.50
270
493.84
580
1711.59
890
3031.26
1200
4012.70~4110.10
280
526.97
590
1754.68
900
3071.13
1200
4012.70~4110.10
290
560.72
600
1797.87
910
3110.68

300
595.05
610
1841.12
920
3149.89

第二部分：求解问题二

1. 模型建立
正视图
首先考虑油罐未发生横向偏转的情况（即），我们把油罐车分为主体的圆柱体和两端的球冠体三个部分，其中主体的圆柱体的计算方法可以利用上题中计算椭圆柱的方法。现在不同情况下通过计算弓形面积的计算公式找到储油量和油位高度之间的函数关系（程序见附录三）。所建立的坐标系如图所示（图中仅作出球冠体）。

（1） 情况1：
如图一所示，当纵向变位后，储油量很小时，油位高度不可测量，则此时的储油量无法测量，其中在0到一定的范围之间。则有

（2） 情况2：
当时，储油量的表达式如下所示，示意图见图二。

（3） 情况3：
当时，储油量的表达式如下所示，示意图见图三。

（4） 情况4：
左视图
当时，储油量为整个小椭圆油罐体积减去上面空缺部分的体积，即

其中R=1.5，l=8。
由

可推出

因此等效的油位高度为
俯视图

（5） 情况5：
当达到3时，因油面高度已经达到油位的最大高度，但是此时油罐并未满，因此储油量在（即情况4中取2R时，的值）到之间。
l 下面开始考虑有横向偏转的情况：
（1） 当时，
（2） 当时，
（3） 当时

2. 模型求解
通过分别对和赋值对比可知，只有当，超过10°时才有可能出现其他情况，由假设可排除这种可能，现通过1°~10°以步长为0.1°进行枚举，发现当分别为2.1°和4.6°。
通过已经求得的的值，我们用已经得到的模型进行求解。
立体示意图
当时，所能到得最大值为；此时的满足上述的情况2；故，此时的油量为55.77L.
当时，，此时的满足上述情况2；故，此时的油量为343.61L.
当时，，此时的满足上述情况2；故，此时的油量为947.22L.
经过计算，当时，通过计算得到的满足上述情况3；
当时，，此时的满足上述情况4；故，此时的油量为63785.06L.
通过模型所得到的数据与实际进出油量的数据进行对比，使用问题一第1问中的百分误差法可以求得模型求解所得到的数据和实验测得数据误差不超过5%，因此可认为模型有效。

相应的油位高度间隔为10cm的油量如下：
油位高度/mm
储油量/L
油位高度/mm
储油量/L
油位高度/mm
储油量/L
油位高度/mm
储油量/L
0
55.77
800
11387.76
1600
32571.86
2400
53660.75
100
343.61
900
13759.66
1700
35378.87
2500
55871.85
200
947.22
1000
16245.24
1800
38166.79
2600
57921.34
300
2075.99
1100
18826.69
1900
40924.94
2700
59780.07
400
3492.44
1200
21485.87
2000
43635.20
2800
61416.53
500
5172.68
1300
24203.76
2100
46281.40
2900
62777.25
600
7069.67
1400
26968.94
2200
48844.55
3000
63785.06
700
9150.30
1500
29763.45
2300
51311.40

六、模型的评价与推广

1.优点：
问题一第1问中引入了误差测定的方法，并通过此方法将求解得到的模型进行了优化，使模型更加切合实际测量值。
问题一第2问中将油量的可能值详细的分为5种情况，使模型所求解更加精确可靠。
问题二中引入了数学中的分解求积法和增补法简化了模型，将求解过程变得方便但不失准确性。
本文在计算求解时多次使用MATLAB软件，提高了计算效率。
2.缺点：
题目假设偏转角度不大于10°，对模型的求解有了一定的限制。
在考虑储油量时将储油罐容积作为储油量进行计算求解，增加了一定的误差。
问题一第2问求得的模型较为复杂，因此并没有使用第1问使用的方法对所求模型进行优化，因此存在一定误差。
问题二使用增补法虽然简化了模型，但在一定程度上也增加了误差。
3.模型推广
此模型不仅仅可以用作地下储油罐的容积测定，还可以推广到其他液体储存器械未变位及变位的储存量进行测定。同时可将实际测量出的偏转角度带入模型求出储存量与液面高度的关系，增加储存器械显示储存量的正确性。

七、参考文献

[1] 姜启源编，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，1993。
[2] 卓金武，MATLAB在数学建模中的应用，北京：北京航空航天大学出版社，2011。
[3] 韩中庚编，数学建模方法及其应用（第二版），北京：高等教育出版社，2009。
[4] Mark M. Meerschaert著 刘来福等译，数学建模方法与分析（第三版），北京：机械工业出版社,2009。
[5] 许丽佳, 穆炯主编，MATLAB程序设计及应用，北京：清华大学出版社,2011。

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