七年级数学竞赛资料：不定方程教案人教版.doc

第九讲 不定方程
一、 二元不定方程的解法。枚举法，余数法。
二、 三元不定方程组的解法，三元不定方程的解法。
1、解下面的不定方程，求出所有自然数解
(1) (2)
2, 7, 12, 17, 22 1,9
18,14,10,6,2
(3) (4)

25, 6 无解
2、已知△和☆分别表示两个自然数,并且 ,△+☆= .
[分析与解答]
依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.

3、箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.
[分析与解答]
设箱子里共有n个乒乓球,二级品占.依题意,得

整理得 ①
易知 15-4 a>0,所以a≤3.
将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).
4、某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n棵,且n为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组.
[分析与解答]
设共分为x组.由树苗总数可列方程

因为22=1×22=2×11, n是小于9的质数,对比上式得x=11(组).

5、不定方程的自然数解是 .
[分析与解答]

显然只能取1,2,3.
当=1时,,其自然数解为x=2, y=4; x=5, y=2.
当=2时,,其自然数解为x=3, y=1.
当=3时,,显然无自然数解.
所以原方程的自然数解为:

6、王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .
[分析与解答]
8371692.
设电话号码的前三位为x,后三位y,第四位为a(a≠0).由题意有
①
②

①-②,化简得.
当a=1时, x=837, y=692;
当a≥2时, y<0,不合题意.
所以电话号码为8371692.

7、有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为.已知a,b,c都小于10,a,b,c依次为 , , .
[分析与解答]
由题意有.解这个不定方程,得.

8、全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的和全部咖啡(若干碗)的.那么,全家有 口人.
[分析与解答]
设全家共喝了x碗牛奶和y碗咖啡,依题意得:
整理得 .
易得其自然数解为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.

9、某单位职工到郊外植树,其中的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.
[分析与解答]
设有女职工x人,男职工y人,那么有孩子人.这个条件说明3| x+ y.
由已知
即

由12|4(x+ y),12|72.
所以12| y,又≤.
所以, y=12, x=3.即有女职工3人.

10、将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米.
[分析与解答]
x

x
画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为,则

剥去所有涂色的小块,得到上图.
由上面两上算式可以推算出,仅1面涂色彩正方体有:

(块).
原来长方体的体积为
(立方分米).

11、李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 元.
[分析与解答]
设支票上的元数与角、分数分别为x和y,则可列得方程
,
其中x,y为整数且0≤x,y<100.
化简方程得
由此推知2x<y且为x偶数,其可能取值为2,4,…,48.
又 ,
56≤≤
所以 或.
所以 (舍去).
故,此时.即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.

12、一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?
[分析与解答]
设起初有x辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n人,依题意,得
,
所以
又n, x为整数,所以(x-1)|23,故x-1=1或23,即x=2或x=24.
若x=2,则与n≤32产生矛盾.
因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x+1=529(名).

13、小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?
[分析与解答]
设苹果、梨子、杏子分别买了个,则

消去z得 ①
所以
由0<y<40得
即
又 5|5 y,5|380,(5,17)=1,由①得5| x.所以x=15或x=20.
当x=15时, y=25, z=0,不合题意.
因此x=20, y=8, z=12.
因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.
14一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?
[分析与解答]
设获一、二、三等奖的人数分别为,根据题意有:
①
②

2×②得 ③
③-①得 ④
解④求得整数解为x=1, y=2.
代入②可求得z=5.

练习题
1、采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B种物若干,其中B种个数多于A种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A种物品和B种物品的个数互换,找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个,B物几个?
[分析与解答]
设买A种物品a个, B种物品b个,找回100元的m张,10元的n张,则有:
①
②

其中b>a,n<10.
①-②得 ③
所以 ,故,
由b>a,n<10知 m<n<10,因此, m-n=8,从而b-a=9.
由此推知n=9, m=1, b=a+9.
代入①式,解得a=3. B=12.
答:购A物3个,B物12个.

2、某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?
[分析与解答]
因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x)度,乙用电(50- y)度.因为甲比乙多交33角电费,所以有:8x+5y=33.
容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.