河南省濮阳市南乐县张果屯乡中学八年级数学上册《11.3角平分线的性质（1）》教案 新人教版.doc

《11.3角平分线的性质（1）》教案

教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理；
　　 （2）能够运用性质定理证明两条线段相等；
：角平分线的性质定理及它的应用。
教学难点：角平分线定理的应用；
教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法
教学过程：
1、 复习引入
★ 什么是角的平分线？
★怎样画一个角的平分线？？
操作
1）不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？（对折）
2） 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
A
D
B
C
　如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。

原理：将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的
两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?

证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）

3）根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（要求尺规作图）
E

2、 探究新知
（1）尺规作角的平分线
画法：　１）以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
2）分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3）作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
试一试：
　　平分平角∠AOB．反向延长ＯＣ．得直线ＣＤ，则直线ＣＤ与直线ＡＢ是什么关系？
　　结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
（2）探究角平分线的性质
实验：将∠AOB对折后，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
下面证明之。
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
图1
E
D
O
B
A
P
C
∴ ∠AOC= ∠BOC（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠AOC= ∠BOC （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学符号 表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

思考：如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD吗?为什么?
D
O
A
C
E
P
B

小试牛刀：（ 2007广东茂名）在Rt∆ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，CD=2，则点D到AB的距离是（　　）
A．1　 B．2 　　 C．3 　　 D．4
3．例题讲解
例1. 已知：如图，∠C=∠C′=90°，∠ABC=∠ABC ′.
求证：（1） AC=AC′ ；
（2）BC=BC′ .（要求不用三角形全等）
C
B
A
C′

练一练
1.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
若AB＝10，BC＝8，AC＝6。求BE，AE的长和△AED的周长。
E
D
C
B
A

2.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F。
求证：EB=FC
A
B

D
E
F
C

图2
E
D
O
B
A
P
C
5． 小结与拓展
本节课我学到了:
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).

方法:用尺规作角的平分线.