信号与线性系统题解阎鸿森 第三章.doc

信号与线性系统题解 阎鸿森 第三章 习题答案
3.1 计算下列各对信号的卷积积分：
(a) （对和两种情况都做）。
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) 和如图P3.1(a)所示。
(g) 和如图P3.1(b)所示。

图P3.1
解：(a)
当时，
当时，
(b) 由图PS3.1(a)知，
当时，
当时，
当时，
当时，
(c) 由图PS3.1(b)知，当时，
当时，

(d) 由图PS3.1(d)知：
当时，
当时，
当时，
(e) 如下图所示：

(f) 令，则
由图PS3.1(h)知，

(g) 是周期信号，由此可推知也是周期的，且周期也为2。因此只需求出的一个周期。由图PS3.1(j)可知：
当时，
当时，
的一个周期为

图PS3.1
3.2 计算下列各对信号的卷积和
(a)
(b)
(c)
(d) 和如图P3.2(a)所示。
(e) 和如图P3.2(b)所示。
(f) 和如图P3.2(c)所示。

图P3.2
解：(a)

(b) 当时，
当时，

(c) 由图PS3.2(a)知，当或时，
当 时，
当 时，
(d) 由图PS3.2(b)知，当或时，
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
(e) 利用列表法计算，由表3.2-1可得：

当或时，
(f) 由表3.2-2可得, 当或时，

3.3 各信号波形如图P3.3所示，求下列卷积:
(a) (b)
(c) (d)

图P3.3
解：

图PS3.3
3.4 某LTI系统的单位冲激响应为，当输入为时，输出为（如图P3.4所示）。现给出以下各组单位冲激响应和输入，分别求（用表示即可），并画出的波形图。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)

图P3.4
解：(a)
如图PS3.4(a)所示。
(b)
如图PS3.4(b)所示。
(c)
如图PS3.4(c)所示。
(d)
如图PS3.4(d)所示。
(e) 如图PS3.4(e)所示。

3.5 对图P3.5所示的两个LTI系统的级联，已知：

输入为
求输出。

图P3.5
解：

3.6 对图P3.6-1所示的LTI系统的互联：
(a) 用表示总的单位脉冲响应；
(b) 当

时，求。
(c) 如图P3.6-2所示，求(b)中所给系统的响应，并画出响应的波形图。

图P3.6-1

图P3.6-2
解：(a)
＝
(b)

(c)
其中如图PS3.6(a)所示，如图PS3.6(b)所示。

3.7 某线性时不变系统的输入输出关系由下式表示：

(a) 该系统的单位冲激响应是什么？
(b) 当如图P3.7所示时，确定系统的响应。

图P3.7
解：(a)

(b) 由图PS3.7知，当时，
当时，
当时，

图PS3.7
3.8 某LTI互联系统如图P3.8所示，已知：

(a) 求互联系统总的单位冲激响应；
(c) 当输入如图P3.7所示时，求系统的输出响应。

图P3.8
解：(a)
由图PS3.8知，当时，
当时，
当时，

当时，

当时，

图PS3.8
(b)
其中即为3.7(b)中所求得的响应。
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
3.9 判断下列说法是否正确。对你认为是正确的加以证明，对你认为是错误的举出相反的例子。
(a)
(b)
(c) 如果，则
(d) 如果，则
(e) 如果和都是奇函数，则是偶函数。
解：(a) 错误。例如，当时，有，从而
而。
(b) 正确。
证明：

(c) 正确。
证明：令

(d) 错误。例如，当时，有
，从而可得

但，；
(e) 正确。
证明：且与均为奇函数
，令
，即是偶函数。
3.10 判断下列说法是否正确，并说明理由：
(a) 如果是一个LTI系统的单位冲激响应，且是周期性的非零函数，那么该系统是不稳定的。
(b) 一个因果LTI系统的逆系统也是因果的。
(c) 如果对任何有，其中是一个给定的数，那么以为单位脉冲响应的LTI系统是稳定的。
(d) 如果一个离散时间LTI系统具有有限持续期单位脉冲响应，则该系统是稳定的。
(e) 如果一个LTI系统是因果的，则该系统是稳定的。
(f) 一个非因果系统和一个因果系统的级联必定是非因果的。
(g) 对一个连续时间LTI系统来说，当且仅当它的阶跃响应绝对可积，也就是：

时，该系统是稳定的。
(h) 对一个离散时间LTI系统来说，当且仅当对它的阶跃响应为零时，该系统是因果的。
解：(a) 正确。为周期性非零函数时，。
(b) 错误。若系统的冲激响应为，则其逆系统的冲激响应为，显然是非因果的。
(c) 错误。若，显然；但，因此系统不稳定。
(d) 正确。为有限长时，必然有。
(e) 错误。若，显然系统是因果的，但由于，因此系统不稳定。
(f) 错误。若系统A的冲激响应，系统B的冲激响应；系统A非因果，系统B因果；但它们级联后有，显 然是因果的。
(g) 错误。若某系统的，显然该系统稳定，但其阶跃响应并不绝对可积。
(h) 正确。，如果时，，则必有时，，从而系统是因果的。反之，若系统因果，则时，，从而必有，。
3.11 判断下列每一个系统的稳定性和因果性。
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
解：(a) 时，， 系统是因果的。
又 系统是稳定的。
(b) 时，， 系统是非因果的。
又
系统是稳定的。
(c) 时，，时，， 系统反因果。
又 ， 系统不稳定。
(d) 时，, 系统非因果。
又 ， 系统稳定。
(e) 时，， 系统是因果的。
又 ， 系统稳定。
(f) 时，， 系统非因果。
又 ， 系统不稳定。
(g) 时，， 系统非因果。
又， 系统稳定。
(h) 时，， 系统是因果的。
又， 系统稳定。
3.12 对图P3.12所示的级联系统，已知系统A是LTI系统，系统B是系统A的逆系统。设表示系统A对的响应，是系统A对的响应。
(a) 系统B对输入的响应是什么？这里和是常数。
(b) 系统B对输入的响应是什么？

图P3.12
解：(a) 系统B是系统A的逆系统，图P3.12所示的整个系统是恒等系统。系统A对
的响应为，因此系统B对输入的响应为。
(b) 系统A对的响应是，
系统B对的响应是。
3.13 已知图P3.13(a)所示的连续时间LTI系统的单位阶跃响应为：
。
现对图P3.13(b)所示的系统，如果，求
系统响应，并绘出的波形图。

图P3.13
解：

3.14 已知某连续时间LTI系统当输入为图P3.14(a)的所示的时，输出为图P3.14(b)所示
的。现若给该系统施加的输入信号为，求系统的输出响应。

(a) (b)
图P3.14
解：

3.15 一个零初始状态的LTI系统由以下差分方程描述：

现已知如图P3.15所示，用递归法解差分方程，求出系统的响应。

图P3.15
解： 系统最初松弛， 当时，
由 可递推得出

时，
3.16 用直接Ⅱ型结构实现下列每个连续时间LTI系统，假定这些系统都是最初松弛的。
(a)
(b)
(c)
解：(a) 直接Ⅱ型结构如图PS3.16(a)所示。
(b) 直接Ⅱ型结构如图PS3.16(b)所示。
(c) 将方程两边微分一次得

其直接Ⅱ型结构如图PS3.16(c)所示。

图PS3.16
3.17 用直接Ⅱ型结构实现下列每个离散时间LTI系统，假定这些系统都是最初松弛的
(a)
(b)
解：(a) 直接Ⅱ型结构如图PS3.17(a)所示。
(b) 直接Ⅱ型结构如图PS3.17(b)所示。

图PS3.17