河北省石家庄市第三十一中学八年级数学下册《二元一次方程组》创新题例题解析 新人教版.doc

二元一次方程组创新题型展示
近几年涌现出一大批以二元一次方程组为背景，内涵丰富、设计新颖独特的创新试题，下面选取几例，供欣赏。
一、残缺说理题
例1．印尼爪哇省发生强烈地震，给当地人民造成巨大的经济损失。某学校积极组织捐款支援灾区，七年级（1）班55名同学共捐款500元，捐款情况如下表。表中捐款8元和10元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由。

解析：设捐款8元的有人，捐款10元的有人，根据题意，得
解得
点评：这既是一道残缺型试题，又是一道说理型试题。本题以向灾区捐款为背景，巧设墨水污染为悬念，使问题富有探索性。
二、阅读理解题
图2
图1
例2．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2。图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图2－1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图2－2所示的算筹图我们可以表述为（ ）
A． B． C． D．
解析：读懂题中算筹的表示规律，不难得出正确的答案是A。
点评：此类题通过阅读范例所提供的信息与所求问题的相似性，运用类比方法进行知识迁移，使问题得到解决，本题着重考查了考生的阅读理解能力、类比迁移能力及化归的思想方法。
三、数形结合题
例3．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3，请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（ ）．
9cm
14cm
图3
（A）106cm （B）110cm （C）114cm （D）116cm
分析：由图可知，欲求把100个纸杯整齐叠放在一起时的高度，需先求出一个纸杯的高度，及叠放时每增加一个纸杯所增加的高度．两个未知量，故可用构造二元一次方程组模型解之．
解：设一个纸杯的高度为㎝，叠放时每增加一个纸杯高度增加㎝，根据图中的信息，得
即解这个方程组，得
所以100个纸杯的高度是7＋1×（100－1）=106（㎝）．故选（A）．
四、表格信息题
例4．某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数
(千克)
不超过
20千克
20千克以上但不超过40千克
40千克以上
每千克价格
6元
5元
4元
张强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次)，共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克?
分析：解答此类问题，必须准确掌握表格中隐含的信息，在解题过程中注意“对号入座”，根据问题的具体特点进行分类使用，体现分类思想。由于两次共买香蕉50千克(第二次多于第一次)，根据表中信息以20千克和40千克为界分类讨论。
解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克．由题意，得 0<x<25．
①当0<x≤20，y≤40时，由题意，得
②当0<x≤20，y>40时，由题意，得(不合题意，舍去)．
③当20<x<25时，25<y<30．此时张强用去的款项为5x+5y=5(x+y)=5×50=250<264(不合题意，舍去)
综合①②③可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克.
五、实物信息题
例5．某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？
共计145元
共计280元

分析：本题从实物可以发现解题信息：信息1：买1盒“福娃”玩具和2枚徽章需要145元；信息2：买2盒“福娃”玩具和3枚徽章需要280信息．这两个信息正好是列二元一次方程组求解的两个等量关系．
解：设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为元和元，
根据题意，得，解得.
答：一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为元和元．
六、对话题
例6．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解.”提出各自的想法.甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”.参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 .

分析：本题是一道设计新颖的题目，要探究方程组的解， 则需要找到该方程组与已知方程组的关系，为此，可将代入已知方程组，把方程组转换成关于a1，b2的方程组，将方程组中的每个方程的系数都扩大5倍，最后变形来确定方程组的解.
解： 将代入方程组得，所以，
所以，与方程组比较可以发现所以这个题目的解是
点评：抓住方程组的特征以及已知中两方程组之间的关系是解决问题的关键.
例7．
解析：观察图中的四个人的对话可以知道：买1本笔记本和1支钢笔刚好6元；买1本笔记本和4支钢笔刚好18元。设一本笔记本需元，则一只钢笔需元，根据题意，得
解得
答：1本笔记本需2元，1支钢笔需4元。
点评：处理这类题目，一定要读懂每一个对话线索，领会其实质，寻找其中的等量关系，才能使问题获解。
七、密码题
例8．已知加密规则为：明文对应的密文．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为（　　）
Ａ．4，5，6 Ｂ．6，7，2 Ｃ．2，6，7 Ｄ．7，2，6
分析：根据加密规则可知明文对应的密文，当已知收到的密文分别是7，18，15时，求解密得到的明文a，b，c，实际上相当于解方程组求方程组的解.
解：根据已知可得方程组，解得故选B.
八、逆向构造题
例9．请写出一个以、为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：
①由两个二元一次方程组成；②方程组的解为这样的方程组可以是 。
析解：构造方程组，一般从方程组的解入手，可先列出与有关的等式，如然后用进行代换，这时等式就变成了方程组
用这种方法可以构造出许多符合要求的方程组。
点评：正向问题解决了，逆向问题不一定解决，而逆向问题如果解决了，正向问题就容易得多了，因为逆向问题是在正向问题的基础上提出来的。因此在实际的学习过程中，同学们要注意逆向思维在解题中的灵活运用。
九、组合开放题
例10．已知三个二元一次方程组：
（1）；（2）；（3）。
请从这三个方程组中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解。
析解：本题是一道组合开放型的题目，选择的方程应以系数简单为原则，如选择（1）和（2）组成方程组，可解得解为。
另（1）和（3）组成方程组的解是；（2）和）3）组成方程组的解是。
点评：本题形式比较新颖，打破了原来传统的直接解方程组的单一类题目，需要仔细观察，先选择出合适的方程组成方程组，再求解。
十、规律探究题
例11．下图是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n.
(1)将方程组1的解填入图中；
(2)请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n和它的解直接填入集合图中；
(3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合(2)中的规律？

分析：本题是一道与方程组有关的探索型创新题，观察方程组集合可以发现方程组集合中，每个方程组的第一个方程都是x+y=1，第二个方程x的系数都是1，y的系数与常数存在一定的关系，确定了这个关系，也就写出了一般规律.通过观察每个方程组对应的解与方程组中第二个方程的系数，也比较容易写出方程组的一般解.
解： (1)1,1;(2).
(3)把x=10,y=-9代入x-my=16,得10+9m=16,m=,此方程组不符合(2)中的规律.
评注：解决与方程组有关的规律性问题，应仔细观察分析方程组每个方程的特征以及方程中系数之间可能存在的关系，应一般的形式表示出来也就得到了规律.
十一、判断说理题
例12．某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．
解：（1）设1个大餐厅可供名学生就餐，1个小餐厅可供名学生就餐，根据题意，得 解这个方程组，得
答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．
（2）因为，
所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐．
点评：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下，易激活学生的数学思维．
十二、方案设计型
例13．2007年女足世界杯赛公布四分之一决赛门票价格是：一等席300元，二等席200元，三等席125元，某商场在促销活动中，组织获得特等奖、一等奖的36名顾客到上海观看比赛。除去其他费用后，计划买两种门票，用完5025元，你能设计出几种购票方案，供该商场选择？并说明理由。
解析：这是一道以2007年女足世界杯为背景的应用型问题，由于是三种门票选择两种，因此购票方案应分类讨论。
（1）若购买一等席门票张，二等席门票张，根据题意，得
解得（此方案不可行，舍去）
（2）若购买一等席门票张，三等席门票张，根据题意，得
解得
（3）若购买二等席门票张，三等席门票张，根据题意，得
解得
综上所述，共有两种购票方案：分别购一、三等席门票3张、33张；分别购二、三等席门票7张、29张。
点评：本题题型设计新颖，有一定的生活背景，体现了数学的应用价值。本题的分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，同学们要认真领会，真正把握，并学会运用它解决实际问题。