考研数学微分中值讲义(卓越资料).docx

卓越考研 卓而优 越则成

卓越考研内部资料

（绝密）

卓而优 越则成

卓越考研教研组汇编

第三章 微分中值定理与导数的应用
§3.1 微分中值定理

A 基本内容
一、罗尔定理
设函数满足
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导；
（3）
则存在，使得

几何意义：
条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线；
条件（2）说明曲线在之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于轴的切线
条件（3）说明曲线在端点和处纵坐标相等。
结论说明曲线在点和点之间[不包括点和点]至少有一点，它的切线平行于轴。
二、拉格朗日中值定理
设函数满足
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导；
则存在，使得
或写成
有时也写成
这里相当或都可以，可正可负。

几何意义：
条件（1）说明曲线在点和点之间是连续曲线；
条件（2）说明曲线是光滑曲线。
结论说明曲线在之间至少有一点，它的切线与割线是平行的。
推论1．若在内可导，且，则在内为常数。
推论2．若，在内皆可导，且，则在内，其中为一个常数。
三、柯西中值定理
设函数和满足：
（1）在闭区间上皆连续；
（2）在开区间内皆可导；且
则存在使得

几何意义：考虑曲线的参数方程 点，点曲线在上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线。
值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。
四、泰勒定理（泰勒公式）
定理1．（皮亚诺余项的阶泰勒公式）
设在含的开区间内有阶导数，则有公式

其中 称为皮亚诺余项。
对常用的初等函数如和（为实常数）的阶泰勒公式都要熟记。
定理2（拉格朗日余项的阶泰勒公式）
设在包含的区间内有阶导数，则有公式

其中，（在与之间）
称为拉格朗日余项。
上面展开式称为以为中心的阶泰勒公式。当时，也称为阶麦克劳林公式。
如果，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。
B典型例题
一、用罗尔定理的有关方法
1、证明：或
方法：对或使用罗尔定理
2、证明：
方法：构造辅助函数，且，再用罗尔定理。
(1)积分法(原函数法)通过观察得。
①将换成得
②恒等变形，便于积分
③积分，分离变量得
(2)公式法：若欲证等式可变形为：，则应取辅助函数为
(3) 经验法：条件中有定积分，则辅助函数为被积函数

例1、设，证明多项式在内至少有一个零点。

例2、设在上连续，在内可导，且，，
试证：必存在，使

例3、设在上连续，在内可导，且，
证明：必存在使

二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理的有关方法
1、用拉格朗日中值定理的有关方法
例1．设，试证

例2、设不恒为常数的函数在上连续，内可导，且，证明内至少有一点，使得。

2、用柯西中值定理的有关方法
例、设在上连续，在内可导，
证明：必存在使

5