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第3章 截面图形的几何性质
任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关．如：计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面面积A，第4章计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I以及第6章计算弯曲应力时用到横截面的惯性矩Iz等。A、I和Iz等是从不同角度反映了截面的几何特性，因此称它们为截面图形的几何性质(geometrical properties of an area)。下面我们分别讨论材料力学中常用的一些截面图形的几何性质。
3.1 静矩和形心
设有一任意截面图形如图3—1所示，其面积为A。选取直角坐标系yoz，在坐标为(y,z)处取一微小面积dA，定义微面积dA乘以到y轴的距离z，沿整个截面的积分，为图形对y轴的静矩S(static moment)，其数学表达式

同理，图形对z轴的静矩为

截面静矩与坐标轴的选取有关，它随坐标轴y、z的不同而不同。所以静矩的数值可能是正，也可能是负或是零。静矩的量纲为长度的三次方。
确定截面图形的形心位置(图3—1中C点)时，我们借助理论力学中等厚均质薄片重心的概念，当薄片的形状与我们所研究的截面图形形状相同，且薄片厚度取得非常小时，薄片的重心就是该截面图形的形心．即

式中y、z为截面图形形心的坐标值．若把式(3—2)改写成

这就表明，截面图形对y,z轴的静矩，分别等于截面面积乘上形心的坐标值z,y．由式(3—2)可见，若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心．反之，若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零．由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。
工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形(如矩形、圆形等)组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩(SS)与形心坐标(y、z)时，可用以下公式

式中A，y，z分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值，n为组成组合图形的简单图形个数．
式(3—4)、(3—5)表明：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．

例3—1 已知半圆形截面半径为R(图3—2a)，试计算其静矩Sy、S及形心坐标值y、z。
解；(1)计算 取代入式

由于z为对称轴，故

(2)计算y、z 由式(3—2)求得

在计算S时，用三角函数表示dA也很方便．因为,所以

两种解法结果相同．
(3)计算弓形面积的S 当要求计算弓形面积(图3—2b)对过圆心的y轴的静矩S时，仍然可取如3—2a图上的微面积，只要将积分下限由零换成z，即

将上式中用弓形的拱高h来表示，即R-z=h代入上式得到

例3—2 已知T形截面尺寸如图3—3所示，试确定此截面的形心坐标值．
解：(1)选参考轴为y轴，z轴为对称轴，
(2)将图形分成I、两个矩形，则

(3)代入公式(3—5)

例3—3 如图3—4所示的截面图形，试求其形心位置。
解；(1)选参考轴y、z如图示。
(2)将图形分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形。
(3)按式(3—5)计算形心坐标值

组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的．例如图3—5所示截面，可认为是由矩形面积减去圆形面积所组成．在应用公式(3—5)计算形心位置时，圆孔的面积和它对坐标轴的静矩应取负值．

3.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
设任一截面图形(图3—6)，其面积为A。选取直角坐标系yoz，在坐标为(y、z)处取一微小面积dA，定义此微面积dA乘以到坐标原点的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩Ip(second polar moment of area)。微面积dA乘以到坐标轴y的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对y轴的惯性矩I（second axial moment of area）。极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩．
数学表达式为
极惯性矩
对y轴惯性矩
同理，对z轴惯性矩
由图3—6看到 所以有

即
式(3—8)说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。
在任一截面图形中(图3—6)，取微面积dA与它的坐标z、y值的乘积，沿整个截面积分，定义此积分为截面图形对y、z轴的惯性积(product of inertia)，简称惯积。表达式为

惯性矩、极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方．惯性矩与极惯性矩的积分式中只含坐标值的平方项，故I,I,I恒为正值．而惯性积I中含有坐标乘积yz，所以其值能为正，可能为负，也可能为零，它取决于截面图形在坐标系中的位置．若选取的坐标系中，有一轴是截面的对称轴，则截面图形对此轴的惯性积必等于零．如图3—7所示z轴为此图形的对称轴，在z轴对称的位置各取一微小面积dA，则它们的z坐标相同，y坐标数值相等符号相反，所以这两个微面积对y,z轴的惯性积yzdA与(-y)zdA在积分中相互抵消，故

当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时，称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴．对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩．而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴(或称主形心惯轴)．截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩(或称主形心惯矩)．例如，图3—7中若这对yz轴通过截面形心，则它们就是形心主惯性轴．对这两个轴的惯性矩即为形心主惯性矩．
工程应用中(如压杆稳定中)，有时将惯性矩表示成截面面积与某一长度平方的乘积，即
,
或写成
,
式中i分别称为截面图形对y轴、z轴的惯性半径。其量纲为长度的一次方。
例3-4已知两种圆截面图形尺寸如图3-8所示，试求其极惯性矩。
解：取极坐标、及dA=，代入公式(3-6)得圆截面的极惯性矩为

对于外径为D、内径为d的圆环截面(图3-8b)，其极惯性矩为

如果令d／D=，则

例3—5 已知矩形截面的尺寸b,h(图3—9)，试求它的形心主惯性矩。
解：取形心主惯性轴(即对称轴)y、z，及dA=dy，代入公式(3—7a、b)得

同理：

例3-6 设圆的直径为D(图3—10)，试求图形对其形心轴的惯性矩及惯性半径。
解：(1)求惯性矩 因为图形对称，y,z为对称轴，所以I＝I，根据例3-4和公式(3—8)，求得

这是较简单的解法。本例也可以取微面积dA，按积分法来求得。
(2) 求惯性半径 由式(3-10)

一些常用简单图形的几何性质列于表3.1中，以便直接查用．

3.3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式
设任一截面图形(图3-10)对其形心轴Y,Z的惯性矩已知．有另一对坐标轴y, z分别平行y轴。两平行轴间距分别为a、b．现讨论截面对这两平行坐标轴的惯性矩之间的关系．
根据定义．截面对形心轴的惯性矩、惯性积分别为
,
同样，截面对y, z轴的惯性矩、惯性积分别为

由图3—10可知，z=z+a，代入(b)的第一式
表3.1 常用简单图形的几何性质

截面图形
惯性矩
抗弯截面模量
惯性半径

因为

则上式简化为
同理
公式(3—11)称为惯性矩、惯性积的平行移轴公式．即截面图形对某轴的惯性矩，等于它对与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上两轴间距离的平方乘以截面面积，截面图形对任一正交轴系的惯性积，等于它对与该轴系平行的形心轴系的惯性积，加上两坐标系轴间距的乘积再乘以截面面积．式(3—11)中前二式恒为正，第三式中a,b均为代数值，故I可正、可负或为零．
组合截面图形的惯性矩和惯性积可用下面公式来计算

式中I,,分别表示每个简单图形对自身形心轴的惯性矩、惯性积。a分别表示每个简单图形的形心坐标轴到组合图形y,z轴的距离．A表示各简单图形的面积。
例3-7 已知截面图形尺寸如图3-12所示，试求图形对水平形心轴的惯性矩I。
解：(1)将图形分成三个小矩形①、②、③
(2)选参考轴在①的形心上．
(3)由公式(3-5)求形心

=
=124.89
因为z是对称轴，故

(4)由公式(3—12)。第一式计算I

=
+

例 由20a号工字钢和16号槽钢组合而成的截面如图3—13所示。试求对其形心轴的惯性矩I。
解：(1)将图形分成①、②两部分。
(2)选参考轴在①形心处。
(3)由公式(3—5)求形心 查型钢表，将计算用到的数据标明在图上或列出如下
20号工字钢
16号槽钢

(4)由公式(3—12)求I

+

3.4 惯性矩、惯性积的转轴公式

设任一截面图形(图3—14)对坐标轴y，z轴的惯性矩、惯性积为I。若将坐标轴y，绕其原点o旋转一角(以逆时针转为正，顺时针转为负，图3—13的为正)，得到新的坐标轴y。此时，图形对y轴的惯性矩与惯性积为I。现研究与和I之间的关系。
在图中任取一微面积dA，它在yoz坐标系的坐标为(y、z)，在y坐标系的坐标为(y)。由图有几何关系

按定义

将(a)式分别代入(b)式，利用三角函数关系

整理后得到
（3-13）
(3—13)式即为惯性矩和惯性积的转轴公式。它反映了惯性矩、惯性积随而改变的规律。将式(3—13)的前两式相加，可得

这说明截面图形对正交轴系的惯性矩之和为一常数。
现在我们来研究(3—13)的第三式。I随a而改变，当=0时，相应的坐标轴为主惯性轴，用y表示，即

由此求得 (
上式中的和 表示了主轴的方位角．
将关系式(3—14)代入转轴公式(3—13)第一、第二式，运算时利用三角函数关系

可以求得截面图形的主惯性矩

若将公式(3—13)的第一式对求一阶导数且令其为零，即可得到惯性矩的极值，即

可见，上式与(c)式一致．这说明由公式(3-15)求得的主惯性矩就是截面图形的最大或最小惯性矩。
例3-9 已知截面图形尺寸如图3—15所示。试求其形心主惯性矩I。

解：(1)确定形心位置 由于截面是反对称的，所以形心在其对称中心C点。以C点为原点，取坐标轴y、z如图所示。
(2)将截面分成三个小矩形①、②、③。
(3)由式(3—12)计算惯性矩、惯性积

=

=1.84

(4)由式(3—14)确定形心主轴的方位

由于,所以图形对绝对值较小的所确定的形心主轴的惯性矩为最大值，另一轴的惯性矩为最小值．如图3—14所示的图形，对y轴的形心主惯性矩为最大值，对z轴的形心主惯性矩为最小值。
(5)由公式(3-15)计算形心主惯性矩

=
=3.46

习 题
试求下列各图形对y轴的静矩，并求图形的形心坐标值。

确定下列各截面图形对水平形心轴y的惯性矩。
试从型钢表中查出或计算出下列各型钢的形心位置，截面面积和对形心轴的惯性矩。

试求题3—2h图、题3-3a图的形心主惯性矩的方位及大小值．
试求题3—1c图和题3—2g.h图的惯性积．
题3—3d图中当要求时，两槽钢间距a应为多少?
试求题3—2a图对z轴的惯性矩.且设.
试求题3—2c图对z轴的惯性矩。