第二章 复变函数钟玉泉版习题解答提示.docx

第二章 习题解答提示
（一）
1.（定理）设连续曲线，有，则（试证）曲线C在点有切线。
分析 1）在的某去心领域内能联结割线；
2）割线的极限位置就是切线。
证1）使，有，即C在的 对应去心领域内无重点，即能够连接割线，否则就存在数列使。于是
，
这与假设矛盾。
2），

（对割线倾角的极限）

。
因此,割线确实有极限位置,即曲线在点的切线存在,其
倾角为.
3. 设
试证在原点满足条件,但却不可微.
证 1) 有公式(2.5)及(2.6)有

2) 但当沿直线时,
随而变.
4. 试证下列函数在平面上任何点都不解析:
(1) ; (2) ; (3) ; (4) .
分析 由于孤立的可微点不是解析点,故只须证明各函数
个别点外处处不满足解析的必要条件:条件.
证 (1) 当时,即至少有一时,或有
或有故至多在原点可微;
(2) 在C上处处不满足条件;
(3) 的结论同(2);
(4) 除原点外,条件处处不成立.
5. 判断下列函数的可微性和解析性:
(1) (2)
(3) (4)
分析 如只在孤立点或只在直线上可微,都未形成由可微点
构成的圆邻域,故都在其上不解析;利用推论2.3考查可微性,然后应用解析的定义.
解 (1) 仅当时

且此四偏导数在原点连续,故只在原点可微,且

6. 若函数在区域内解析,且满足下列条件之一,试
证在内必为常数.
(1) 在内 (2)在内解析;
(3) 在内为常数;
(4) 或在内为常数.
分析 分别由各题设条件及条件得:在内
从而在内为常数.
引理* 在区域内
(A)
在内为常数.
事实上,1) 设为内一定点.

是内任一点.若这两点能用全含于内的直线段来联结,
则有:

这是因为,”若令则有

而
由数学分析中的微分中值定理得

于是式成立.”
从而由知即.即在内为常数.同理,在内为常数.
2) 若联结两点与的直线段不全含于内,由区域的连通性知,可用全含在内的折线段将与连接.若是折线上后面的一个顶点,则在段中的表达式中, 令立即得

如此逐步推算,由一顶点至另一顶点,最后可得

即在内为常数. 同理,在内为常数.引理*证毕.
证 (1)
(2) 由题设条件及在内解析,再由
条件可推得最后有引理*可得证.
(3) 由题设,在内常数.
1)
2)
证一 在内解析,于是由题(2)得知内为常数.
证二 分别对微分,再应用 条件,讨论解二元一次方程组,即得在内

(4) 由条件推得,在内
8. 试证下列函数在平面上解析,并分别求出其导函数.
(1)
(2)
(3)
(4)
证 应用定理2.5及求导公式(2.7).
(1)
及
（2）
证一 分别证明（1）和（2）.按定义将正,余弦函数表成指数函数,再等比级数求和的公式简化.
注 由于和是复数,不能从(1)+(2)着手化简后,再比较实,虚部.
证二 先将(1)和(2)式两端各乘去分母后,再应用三角函数中积化和差的公式,代入左端化简.
16. 试证：（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）.
证 （1）、（2）应用定义2.5及2.7；（3）由（1）；（4）由（2）；（5）、（6）由定义2.6、及2.7及（1）、（2）.
17. 试证：（1）；（2）；
（3）.
证 （1）由16题（1）、（2）；（2）由本题（1）；（3）由16题（1）、（2）.
18. 若试证：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
证 （1）、（2）应用16题（1）、（2）；（3）、（4）分别应用本题（1）、（2）及17题（1）.
20. 试解方程：（4）；（5）.
解 （4）
（为整数）.
（5）

+
21. 设，试证
.
证 设，则.
22. 设确定在从原点起沿正实轴割破了的平面上，并且，试求之值.
解一 ，
（：；）
1） 利用定求.
解二 作图2.0.1
.

再由公式（2.25）计算
23. 设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上，并且（这是边界上岸点对应的函数值），试求之值.
解一 由定从而
解二 作图2.0.2.，而

又再应用公式（2.25）计算.
24. 已知在轴上点（）的初值为，令由起沿正向再以原点为中心的圆周上走圆周而至轴的点，问在点的终值为何？
分析 题设的函数是具有四个有限支点的二值函数，讨论起来比较繁难，而经过变数代换后，就简化成具有单有限支点-1的二值函数.
z
A
B

解 在平面上沿以为心，为半径的圆周c从A走到B，经过变换，其象点w在w平面上w=0为心，为半径的象圆周从走到，刚好绕的交点-1转一整周.故它在的值为.因此.
25. 试证：在将平面适当割开后，函数

能分出三个单值解析分支.并求出在点取负值的那个分支在的值.
分析 仿例2.3.14，2.3.15及2.3.16解之.

证 的支点是在沿割开的平面的区域内，能分出三个单值解析分支.
证一 令，

当时，.由已知定.然后计算

证二 作图2.0.4.由2到，取路线.再按公式（2.25）计算
证三 作图2.0.4.由2到I,取路线,.再按(2.25)计算.
(二)
1.设,试证
证 .
2.设,试证

证
3.若函数在上半平面内解析，试证函数在下半平面内解析.
证一设分别为下半z平面内的定点及动点，可证
.
由的任意性及解析的定义得证.
证二在上半平面内解析
1)在可微，且
2),

考查，则可证：
1)在内可微，且由式有
2），
.
4．(形式导数)(1)设二元函数有偏导数.此函数可以写成及的函数

试证(形式地)

(2)设复变函数,且和都有偏导数.试证(形式地):对于,柯西—黎曼(Cauchy-Riemann)条件可以写成

(由此可见,解析函数是以条件为其特征的.因此,我们不妨说,一个解析函数与无关,而是z一数的函数.)
证 （形式地）（1）由于.
这里视为两个独立变量.根据复合函数求偏导的法则，即可形式地得证。
（2）.
.
5.试证.
证 设.由本章习题（一）18（3）可证得前一不等式；后一要证不等式可应用的定义及三角不等式来证明。
6.若试证
证 应用：本章习题（一）18（3）；17（1）.
8.试证多值函数在割去线段的z平面上可以分出四个单值解析分支.求函数在割线上岸取正值的那个分支在点的值.
分析 类似本章习题（一）26.
证 因f(z)的支点为-1,1,取支割线[-1,1],作图2.0.5.
1)
.
2).
.
9.已知在z=0的值为1.令z描绘路线OPA（如图2.0.6）.A点为2.试求f(z)在A点的值.
分析 类似本章习题（一）26
解 f(z)的支点为及，支割线可取：沿虚线轴割开;沿实轴割开路线OPA未穿过支割线。记路线OPA为C.

.
.
10.试证在割去线段的z平面上能分出两个单值解析分支.并求出在支阁线[0,1]上岸取正值的那一支在的值,以及它的第二阶导数在的值.
证 f(z) 的支点为0和1.取支割线[0,1]（图2.3.8）.按复合函数求导法则：

,

取路线C如图2.3.8.,并由(2.25)得
.
2)代入（1）得
Ⅲ.类题或自我检查题
1. 证明: 的实、虚部在.(0,0)点满足C.-R.条件,但在不可微.
2. 设再区域D内解析，试证：在D内.
3. 设,问取何值时,在平面上解析?
(答:
4. 设(1)在区域D内解析;(2)在D内.则在D内为常数.
5. 设.取,通过计算,验证中值定理在复数域内不成立.
6. 设, 问在哪些点对可导？并求出.
(答:在的点可导.)
7. 证明:.
8. 解方程(1)(2)
(答:(1)(2))
9. 试证:
10. 设区域D是沿负虚轴割破的平面,确定在D内,求在D内满足的单值连续解析分支在处之值.(答:
11. 求的一切值.(答:
12. 求的一切值.(答:
13. 设下列函数在是的辅角为零,求当从2出发绕以原点为中心的圆周回到2时(反时针方向)的辅角.
(1)(2)(3)(4)

(5)(答(1)(2)(3);(4);(5) 0.)
14. 求下列多值函数的支点.这些多值函数在怎样的区域内可以分出单值解析分支?
(1)互不相同,
(2)互不相同,
(3)
(4),a,b,c互不相同;
(5)
(提示:参看本章3,6段所叙述的判断方法.)
15. 设试证明:在沿实轴上区间割开的平面上,可分出两个单值解析分支,并求在取正值的那一支在出的值.(答:
16. 设有函数并设在时,若由此点出发,沿下列路线至终点,求在终点处之值.(1)当路线为直线段;(2)当路线为半圆周.(答:(2))