广西大学数学建模考试试题A及参考答案.doc

广西大学数学建模考试试题A及参考答案

一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）

1、  什么是数学模型？(5分)
答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

2、  数学建模有哪几个过程？(5分)
答：数学建模有如下几个过程：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。

3、试写出神经元的数学模型。
答：神经元的数学模型是      

其中x＝（x1，…xm）T 输入向量，y为输出，wi是权系数；输入与输出具有如下关系：

θ为阈值，f（X）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数．（5分）

二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）

1、（l）以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。(5分)
（2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族。根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。(5分)
答：（l）雇员的无差别曲线族f（w，t）=C是下凸的，如图1，因为工资低时，他愿以较多的工作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作时间．
（2）雇主的计时工资族是w=at，a是工资率．这族直线与f（w，t）=c的切点P1，P2，P3，…的连线PQ为雇员与雇主的协议线．通常PQ是上升的（至少有一段应该是上升的），见图1．

2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。(7分)又问命题对长凳是否成立，为什么？(3分)
答：(一)假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。
如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD的中心为坐标系原点。　　　　　　　　　

图二
记 H 为脚A,C 与地面距离之和， G 为脚B,D 与地面距离之和，θ 为AC连线与X轴的夹角，不妨设H(0)>0 , G(0)=0,(为什么?)     　               
令  f(θ) = H(θ) - G(θ)  则f是θ的连续函数,且 f(0)=H(0)>0，将方凳旋转 90°,则由对称性知H(π/2)=0, G(π/2)=H(0)从而 f(π/2)= -H(0) < 0由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0,π/2)，使 f(θ) = 0
   (二)命题对长凳也成立，只须记 H 为脚A,B 与地面距离之和，  G 为脚C,D 与地面距离之和，θ 为AC连线与X轴的夹角，将θ旋转1800同理可证。

三、模型计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）
1、
，
试用和法求其最大特征根及对应的特征向量及一致性指标。(9分)
答：

中各列归一化       

各行求和       

再归一化         
=
  即为对应最大特征根的特征向量。                  （ 3分）
而
，（ 2分），
所以最大特征根为
   （2分）
其一致性指标为：
CI=      （ 2分）

2、甲、乙、丙三人经商，若单干，每人仅能获利1元，甲乙合作可获利7元，甲丙合作可获利5元，乙丙合作可获利4元；三人合作可获利10元，问三人合作时怎样合理地分配10元的收入。
解：甲、乙、丙三人记为，经商获利定义为上的特征函数，即
，
，
，
，
，
 ……3分
下表是关于甲的分配的计算。

{1}    {1、2}     {1、3}       I

1        7          5         10

0        1          1          4

1        6          4          6

1        2          2          3

1/3      1/6        1/6        1/3

1/3       1         2/3        2
（元）             ……………………3分
同法可算得：（元），  （元）   ………………3分
3、产品每天需求量为常数r, 每次生产准备费用为C1,每天每件产品贮存费用为C2,试作一合理假设，建立不允许缺贷的存贮模型，求生产周期及产量使总费用最小。
解:模型假设:
1.   产品每天需求量为常数r                                             
2.   每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2                     
3.   生产能力无限大                                                     
4.   生产周期为T，产量为Q                                      (3分)
模型建立
一周期总费用如下:            
                       (1分)
   一周期平均费用为         
                     (1分)
模型求解:  用微分法解得周期     
                          (2分)
产量
                                (2分)
4、设渔场鱼量满足下列方程：（10分）

试求其平衡点，并指出平衡点的稳定性。
解:平衡点由

确定,解得平衡点
               （4分）

得平衡点

是稳定的                   （5分）
5、某城市经过对300人的抽样调查得知：原饮水果酒的人仍然喜欢饮水果酒的占85%，改饮啤酒的人的占5%，改饮白酒的占10%，原饮啤酒的人仍然喜欢饮啤酒的占90%，改饮水果酒和白酒的各占5%，原饮白酒的仍喜欢饮白酒的占80%，改饮水果酒和啤酒的各占10%。试构造马氏链模型，它是正则链吗？若是，请求其稳态概率。
解：状态定义为（水果酒） 2（啤酒）  3（白酒） 容易求得，转移概率阵为：
               （3分）
因为P >0,所以这是正则链                （2分）
记为稳态概率，则有
   （2分）

四、建模题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）
1、假设人对某种传染病一旦患病而痊愈，则以后就不会再患病。将人群分为未感染者S、患者I、已治愈者（包括死亡者R）三种人，试作出必要的假设并写出该传染病的扩散微分方程模型（不必求解）。(10分)
答：假设：(1) 设一个病人在单位时间内能传染的病人数i(t)与当时的未感染人数s(t)成正比，比例系数为（称为感染率）；
(2) 设在t时刻，已治愈人数（包括死亡人数）为 r(t)；
(3)设在单位时间内病人的治愈率为μ,即
；                       （4分）
(4)病人痊愈后不会再被传染。则有：
（6分）
2、某食品加工厂拟安排生产计划，已知一桶牛奶加工12小时后可生产A产品3公斤，A产品可获利24元/公斤 ，或一桶牛奶加工8小时可生产B产品4公斤，B产品可获利16元/公斤。现每天可供加工的牛奶为50桶，加工工时至多为480小时，且A产品至多只能生产100公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型（不必求解,10分）。
答：设每天安排x1桶牛奶生产A产品，x2桶牛奶生产B产品，则有：

     参考评分标准：目标函数3分，约束条件7分