.集合与映射.

集合与映射

集合与映射

【高考要求】

内容
基本要求
集合的含义
会使用符号“”或“”表示元素与集合之间的关系；
集合的表示
能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题；
理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等
集合间的基本关系
理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念.在具体情景中，了解空集和全集的含义；
理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集
集合的基本运算
掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算.能使用维恩图表达集合之间的关系和运算.

1. 集合的含义，会使用符号“”或“”表示元素与集合之间的关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题；
3. 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等；
4. 理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义；
5. 理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
6. 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算．

【知识精讲】

板块一：集合的含义与表示
（一） 知识内容
1.集合的相关定义
⑴ 集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）.
⑵ 元素用小写字母表示；集合用大写字母表示.
⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作.
2.元素与集合间关系：属于；不属于.

3.集合表示法
⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法.
例如：，
⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{|描述特点}
例如：大于的所有整数表示为：
方程的所有实数根表示为：{|}

（二）典例分析：
1.集合的性质
【例1】 以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.
A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流
C. 方程的实数解 D. 周长为10cm的三角形

【例2】 已知，则集合中元素x所应满足的条件为 .

2.集合与元素间的关系
【例3】 用“”或“”填空：
⑴ 若，则___；___；
⑵ ___；
⑶ ___．

【例4】 用符号“”或“”填空
⑴______， ______，______
⑵（e是个无理数）
⑶________
3.集合的表示方法
【例5】 用列举法表示下列集合
⑴ 方程的根；
⑵ 不大于且大于的所有整数；
⑶ 函数与的交点组成的集合．

【例6】 下列命题正确的有（ ）
⑴很小的实数可以构成集合；
⑵集合与集合是同一个集合；
⑶这些数组成的集合有个元素；
⑷集合是指第二和第四象限内的点集．
A．个 B．个 C．个 D．个

板块二：集合间的基本关系
（一） 知识内容
1.子集：
对于两个集合，如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，我们就说集合为　　　集合的子集，记作（或），读作 “包含于”（或“包含”）.
规定：是任意集合的子集.
2.真子集：
如果集合，但存在元素，但，我们称集合是集合的真子集，
记作（或）.是任意非空集合的真子集.
3.相等：
如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，我们说集合与集合相等，记作=.
(二)典例分析
【例7】 用适当的符号填空：
⑴
⑵ ___
⑶ ___
⑷ ____
⑸ ___
⑹
⑺

【例8】 下列说法中，正确的是（ ）
A．任何一个集合必有两个子集；
B．若则中至少有一个为
C．任何集合必有一个真子集；
D．若为全集，且则
【例9】 设，若，则的取值范围是______

【例10】 已知，，，求的取值范围．

【例11】 若全集且，则集合的真子集共有 ．
A．个 B．个 C．个 D．个
【例12】 ，求满足条件的的个数．

【例13】 求集合的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出的子集和真子集的个数．

板块三：集合的基本运算
（一）知识内容
1．相关概念：
⑴ 并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，
记作（读作“并”），即或．
⑵ 交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，
记作 （读作“交”），即且．
⑶ 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作．
补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记作，即且．
（二）典例分析
【例14】 已知全集，，，
求：，，，，

【例15】 已知集合，若，求实数a的值．

【例16】 若为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）
⑴若，则
⑵若，则
⑶若，则
A．个 B．个 C．个 D．个

【例17】 已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．

【例18】 若集合，，且，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或或

【例19】 设全集，，，求．

【例20】 已知，，，则等于（ ）
A． B． C． D．

【例21】 设全集且为质数．若，且，求集合．

【例22】 已知全集中有15个元素，集合中有3个元素，中有5个元素，
中有4个元素．则集合中元素的个数（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6

【例23】 设，集合，，
．若中至少有一个不是空集，求实数的取值范围．

板块四：映射的定义
（一）知识内容
1.一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．
记作“f：AB”
说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
2.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。
注意点：（1）对映射定义的理解。
（2）判断一个对应是映射的方法。
3．一一映射：如果映射是集合到集合的映射，并且对于集合中的任一元素，在集合中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合到集合的一一映射．
（二）典例分析
【例24】 以下给出的对应是不是从集合到集合的映射？如果是映射，是不是一一映射．
⑴ 集合是数轴上的点，集合，对应关系：数轴上的点与它所代表的实数对应；
⑵ 集合是平面直角坐标系中的点，集合，对应关系：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
⑶ 集合是三角形，集合是圆，对应关系：每一个三角形都对应它的内切圆；
⑷ 集合是华星中学的班级，集合是华星中学的学生，对应关系：每一个班级都对应班里的学生．

【例25】 已知，，则从到的不同映射共有（ ）
A．4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

【例26】 已知集合，且使中元素和中的元素对应，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．

【例27】 ⑴若集合，，：A→B表示A到B的一个映射，且满足对任意都有为偶数，则这样的映射有_______ 个．
⑵设是从集合A到B的映射，，
，若B中元素在映射f下的原象是，
则k，b的值分别为________．

【家庭作业】

习题1. 用列举法表示集合：

习题2. 若全集且，则集合的真子集共有 ．
A．个 B．个 C．个 D．个

习题3. 若且，则 ．

习题4. 某班有学生人，其中体育爱好者人，音乐爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人．

习题5. 已知集合，，下列从A到B的对应不是映射的是（ ）
A． B．
C． D．

习题6. 已知全集是，，求，

【月测备选】

习题1. 若集合，下列关系式中成立的为（ ）
A． B． C． D．

习题2. 设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，像20的原象是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
习题3. 已知，，
则．

习题4. 设全集，集合，，
那么等于________________．