弯 曲 应 力计算.docx

弯 曲 应 力
1 基本知识点
1.1 基本概念
纯弯曲、横力弯曲、弯曲正应力、惯性矩、抗弯截面系数、弯曲切应力、弯曲中心、。
1.2 平面弯曲
工程实际中的梁，大多是具有一个纵向对称面的等直梁。
外载荷作用在梁的纵向对称面内产生的弯曲叫平面弯曲。当梁横截面上既有弯矩又有剪力时，梁的弯曲是横力弯曲；梁横截面上只有弯矩而没有剪力时，梁的弯曲是纯弯曲。
1.3 弯曲正应力
梁在纯弯曲时的正应力是综合运用变形关系、物理关系和静力平衡关系推导出来的，推导弯曲正应力公式的方法，与轴向拉压正应力公式和扭转剪应力公式的推导相同。弯曲正应力公式

式中M和分别为所研究截面的弯矩和截面图形对中性轴的惯性矩，y为所求应力点到中性轴的距离。计算时M和y均用代数值代入，所求点的应力符号可根据梁的变形情况来确定。梁弯曲正应力公式适用材料处于线弹性范围内的纯弯曲梁，可推广到横力弯曲以及小曲率梁的范围。
1.4 弯曲切应力
由于弯曲剪应力对梁的强度和刚度的影响是次要因素，故对弯曲剪应力公式没有完全按照变形、物理、平衡三方面关系进行推导，而是根据分析对的分布规律作出假定——平行于截面边界且沿厚度均匀分布，然后利用平衡关系直接导出矩形截面切应力公式

式中，为截面上的剪力；为整个截面对中性轴的惯性矩；为截面在所求应力点处的宽度；为面积对中性轴的静矩。
1.5 弯曲强度条件
1 正应力强度条件
弯曲正应力是影响梁强度的主要因素，对梁的强度计算主要是满足强度条件

式中称为横截面的抗弯截面系数。
2 切应力强度条件
对薄壁截面（例如工字型、槽型等）梁，有时需要校核剪应力的强度条件

一般发生在中性轴处，因此为中性轴以下（或以上）面积对中性轴的静矩。
1.6 弯曲中心的概念
当杆件横向力作用平面平行于杆件的形心主惯性平面且通过某一特定点时，杆件只发生弯曲变形而不发生扭转，这一点称为弯曲中心。弯曲中心只与截面的几何形状及尺寸有关，具有对称轴的截面的弯曲中心必在对称轴上。
2重点与难点
2.1 弯曲正应力的计算
平面弯曲时，既不伸长也不缩短的轴叫中性轴，中性轴通过截面的形心。横截面上的弯曲正应力呈线性分布，最大弯曲正应力发生在距离中性轴最远的点上。
2.2 梁的弯曲强度
梁的弯曲强度计算是材料力学的重要问题，应通过大量不同类型的弯曲强度计算去熟悉。
2.3 提高梁弯曲强度的途径
弯曲正应力公式可变形为
式左侧为由载荷引起的最大弯矩，是影响构件强度的外因；式右侧为构件的许用弯矩，是影响构件强度的内因，它与两个因素（和）有关。所以提高构件的强度不外乎从外因着手，即减小；或从内因着手，即提高和。
3解题方法要点
3.1 梁的弯曲强度计算基本思路
通常在进行弯曲强度计算时，应先画出梁的剪力图和弯矩图，在弯矩（绝对值）最大的截面校核弯曲正应力强度，在剪力（绝对值）最大的截面校核弯曲切应力强度。
3.2 截面设计
在进行梁的截面设计时，应同时满足正应力和切应力强度条件，一般先按正应力强度条件选择截面，然后再进行切应力强度校核。
4典型题精解
例题1：
外伸梁受力如图a所示。梁由钢板焊接而成，截面尺寸见右图所示。已知MPa，MPa，试校核梁的强度，并求焊缝ab处的剪应力。

解：（1）求支座反力并画内力图
由平衡条件求得 kN，kN
梁的剪力图和弯矩图分别如图b、c所示。

kN·m，发生在B截面处。
kN，发生在B左截面处。
（2）计算截面的几何性质
右图中为对称轴。选择参考坐标轴，确定形心C的位置。
（mm）
通过形心C的、轴为形心主轴，为中性轴。求形心主惯性矩。

（3）强度校核
沿B截面的高度正应力分布如图e所示，最大正应力发生在截面的下边缘处，
MPa<=120 MPa

沿B左截面的高度剪应力分布如图f所示，最大剪应力发生在中性轴处，
（mm3）
MPa<=60 MPa
该梁安全
（4）焊缝ab处的剪应力
在焊缝ab处将截面截为两部分，求出其中任一部分（例如左部分）对中性轴的静矩：
（mm3）
MPa
解题指导：
明确分析弯曲强度问题的计算步骤：外力——内力——危险面（、）——危险面上的应力分布——危险点的应力及其应力状态——强度条件。
例题2：
一铸铁梁的受力如图a所示，其截面尺寸如图b所示。铸铁材料的拉、压许用应力分别为及。试校核此梁是否安全。
解：（1）绘梁的内力图
梁的弯矩图如c所示。
（2）计算截面的几何性质
用与上例相同的方法，求得形心C距上、下边缘的距离为52mm和88mm，形心主惯性矩。
（3）强度校核
本例中因剪力在梁中引起的剪应力较小，故只对正应力进行校核。由于梁的截面上、下不对称于中性轴，而材料的拉、压许用应力又不相等，所以最大正弯矩的作用截面C和最大负弯矩的作用截面B均可能是危险面。最大压应力发生在B截面下边缘的各点处，其值为

最大拉应力发生在C截面下边缘的各点处，其值为

虽然大于，但没超过5%，故仍然认为是安全的。
试问若将梁倒着放置时，此梁是否仍然安全？
解题指导：
对于拉、压强度不等的梁，必须分别校核最大拉应力和最大压应力。对于横截面上、下不对称于中性轴的脆性材料梁，进行强度计算时既要校核最大正弯矩所在截面，也要校核最大负弯矩所在截面。
例题3：
T形截面铸铁梁 如图a所示。若，材料,,截面对形心轴z的惯性矩，，试按正应力强度条件校核该梁的强度。
解: 1. 作梁的弯矩图M，判断危险截面，确定:
梁的弯矩图M如图b所示，在固定端处有最大正弯矩
2.根据正应力强度条件校核梁的固定端截面：
固定端截面沿高度方向正应力的分布规律如图c所示，在下边缘a点有拉应力的极值：

在上边缘b点有压应力的极值：

3. 在B截面处有最大的负弯矩B截面上正应力分布规律如图d所示。由于，截面的上边缘e点有可能成为危险点，出现全梁最大的拉应力。因此还需对e点的正应力进行校核。

通过以上计算可知，当梁的截面中性轴不是对称轴，且最大正弯矩和最大负弯矩都较大时，和可能不在同一截面上，需同时校核所有可能成为危险点的地方。例如上述例题中的a,b,e点。
例题4：
梁AC的截面为№10工字钢，B点用圆钢杆BD悬挂，已知圆杆的直径mm，梁及杆的MPa，试求许用均布载荷。

解：
1．求支座反力并作梁的弯矩图M，判断危险截面，确定；:
图示结构中杆BD产生轴向拉伸变形，梁AC产生弯曲变形
由平衡条件求得 ，杆BD内的轴力
+

M

9q／32

q／2

梁AC的弯矩图如图所示

由图可知，发生在B截面处
2．分别由杆BD和梁AC的强度条件确定。
杆BD 解得
梁AC 解得
则
解题指导：
如果结构由多个杆件组成，在进行强度设计时应分别对每一杆件进行强度设计，最终选取公共部分，使每一杆件都符合强度要求。
例题5：
已知梁发生弯曲时测得A、B两点间伸长量为ΔL＝27×10－3mm，若E＝200Gpa，求梁截面上的M。
解：

例题6：
矩形截面梁由两种材料粘结在一起制成，受到弯矩M作用。设梁弯曲时平面假设仍然成立。已知。（1）绘出横截面上正应力沿截面高度的分布图。（2）求当kN·m，mm时，截面上的最大拉应力和最大压应力。

解： （1）因平面假设仍然成立，故应变沿截面高度为线性分布，式仍然成立。式中为中性层的曲率半径，为截面上的点到中性轴的距离。因，但，故中性轴不再通过截面形心，而要偏向材料1的一侧。设中性轴距截面下边缘的距离为（），如图b所示，则横截面上正应力沿截面高度的分布如图c所示。
（2）平面假设成立，则
（a）
根据物理关系，在材料1和2中的应力分别为
， （b）
利用的条件确定中性轴的位置。设中性轴距截面下边缘的距为,为对称轴。则

求得 （c）
利用的条件确定曲率。

求得 （d）
材料1中的最大拉应力和最大压应力分别为

材料2中的最小压应力和最大压应力分别为

将kN·m，mm，代入以上各式求出各点的应力值，则应力沿截面高度的分布如图d所示。
解题指导：
1 已知内力求应力属于静不定问题，因此应力公式推导中必须综合应用变形、物理和平衡三方面关系。
2 弯曲正应力是影响梁的强度的主要因素，进行了较严格的推导。例题7：
悬臂梁由两根尺寸完全相同的矩形截面木梁叠加而成，载荷如图所示。已知b=200mm h=200mm L=3m 设木材的许用应力[σ]＝10MPa , 试求梁的许用载荷。如果在自由端用两个螺栓将梁连接成一整体，问此时梁的许用载荷有无改变？若螺栓材料的许用剪应力[τ]=100MPa , 试求螺栓的最小直径。
解：
1 未加螺栓时：若不计梁间的摩擦力，两根梁将各自自由弯曲，每根梁都有自己的中性轴，由此梁内的最大正应力

由正应力强度条件；

2 加螺栓后，两根梁共同变形，梁内的最大正应力

由正应力强度条件；

所以，加螺栓后承载能力提高了一倍。
3 确定螺栓直径：在许用载荷作用下，中性轴处有最大剪应力，由剪应力互等定理，中性层（即两梁结合处）最危险

两个螺栓所受剪力之和为
对于每个螺栓：由剪切强度条件

所以取d=25.2mm
例题8：
简支梁在跨中受集中载荷kN，m，MPa。
（1）试为梁选择工字钢型号。
（2）当提高为40kN时，原工字钢型号不变，试问采取什么措施使梁仍能满足强度条件。
解：（1）选择工字钢型号
图a简支梁的发生在跨中
（kN·m）
根据强度条件
（mm3）
选择工字钢№28a cm3，cm4
（2）当kN时，提高梁承载能力的措施
方法一：在原梁上增加一长度为的副梁CD，将作用在副梁上，如图b所示。使，而，。

根据强度条件，副梁的截面应为
（mm3）
副梁CD工字钢的型号为№25b，cm3。
方法二：在原梁上下艺缘各焊一长度为a，截面为80mm×10mm的钢板条，如图c所示。加焊钢板后截面对中性轴的惯性矩为
（mm4）
MPa<MPa
焊钢板后的截面能满足梁的强度条件。
自 测 题

1 T形截面外伸梁，受力与截面尺寸如图所示，其中C为截面形心，mm4。梁的材料为铸铁，其抗拉许用应力= 30MPa，抗压许用应力= 60MPa。试校核该梁是否安全。

2 简支梁受力如图所示。采用普通热轧工字型钢，且已知= 160MPa。试确定工字型钢型号，并按最大切应力准则对梁的强度作全面校核。
解：1．FRA = FRB = 180kN（↑）

3 .图示矩形截面简支梁，承受均布载荷q作用。若已知q＝2 kN/m，l＝3 m，h＝2b ＝240 mm。试求：截面竖放(图c)和横放(图b)时梁内的最大正应力，并加以比较。

答 案

1.
解：1．，FRA = 37.5kN（↑）
kN·m

m

(a)

kN·m

(b)
2． C截面
MPa，
不安全
3． B截面
MPa
MPa
∴ 不安全。

习题8-30图
2
解：1．FRA = FRB = 180kN（↑）
kN·m
kN·m
kN

(a)

m3
查型钢表，选工字钢No.32a：
W = 692.2 cm2，Iz = 11075.5 cm4
cm
E截面：
MPa
MPa
2． A＋、B－截面：
MPa
MPa
3．C－、D＋截面：
MPa

MPa
∴ 选No.32a工字钢安全。

3 .
解：

习题5－10图

1．计算最大弯矩：

2．确定最大正应力：
平放：

竖放：

3．比较平放与竖放时的最大正应力：