专题七 质数与合数(教师版).doc

专题七 质数与合数
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【基础知识】
1.定义
质数：只有1和其本身两个正因数的自然数称为质数（又称素数）.例如：2，3，5等.
合数：正因数多于两个的自然数称为合数.例如：4，6，8，9等.
这样，就可把全体非零自然数（正整数）分为三类：1，质数和合数.
2.性质
(1) 如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；　
(2)如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2；
(3)质数必有无限个；
(4)若质数p满足p|ab，则p|a或p|b；
(5)若正整数a, b的积为质数p，则一定是p=a或p=b；
(6)若p是质数，则对任一正整数a，或者p|a，或者（p，a）=1；
3.唯一分解定理
3. 任何整数可以唯一地分解为：,其中是质数，是正整数.的所有因子（包括1和A本身）的个数等于.
4.哥德巴赫猜想　
1956年，中国的王元证明了“3 + 4”，稍后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”.
1962年，中国的潘承洞证明了“1 + 5”， 稍后证明了“1 + 4”.
1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”.

【例题解析】
例1.判断269，437两个数是合数还是质数.

例2.判断数1111112111111是质数还是合数？
　1111112111111=1111111000000+1111111
例3.判定298+1和298+3是质数还是合数？
　2,4,8,1,+1 尾数为5　
除以7，余数分别为2,4,1+3 余数为7，恰好整除

例4.已知A是质数，（A+10）和（A+14）也是质数，求质数A.
A根据3的整除性来分类，3k+1,3k+2都不可以，则A=3

例5.设p(≥5)是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数．
P为3k+2，然后代入

例6.是否存在连续88个自然数都是合数？
89的阶乘分别+2，+3，。。。+89，每个都是合数

例7. 证明：当n＞2时，n与n！之间一定有一个质数．

　　3n

例8.证明：每一个大于11的自然数都是两个合数的和．
3k+1=3(k-1)+4 3k+2=3（k-2）+8

例9. 一个四位数有这样的性质：用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数(如果它的十位数是0，就只用个位数去除)，且这个平方数正好是前两位数加1的平方.例如48022=2401=492=(48+1)2，则具有上述性质的最小四位数是 （1994年四川省初中数学联合竞赛试题）
1805 寻找11 19 21.。。的平方

例10. 三个质数a、b、c的乘积等于这三个质数和的5倍，则a2+b2+c2= (1996年“希望杯”初二试题)

必有一个为5，然后bc=5+b+c 因式分解

例11.试证：一个整数的平方的个位数字为6时，十位数字必为奇数.

分类4,6为尾数

例12.　三人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得是乙的2倍，已知糖的总块数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11，试求每人得糖的块数.（安徽省初中数学联赛试题）

例13.如果p与p+2都是大于3的质数，那么6是p+1的因数.(第五届加拿大数学奥林匹克试题)

3k+2 且k为奇数

例14.证明有无穷多个n，使多项式n2+3n+7表示合数.
11k+1

例15.求证：22001+3是合数

2,4,8,6 尾数为5

例16.证明：n (n+1)+1(n是自然数)不能是某个整数的平方.

介于n平方 n+1平方之间

【习题精练】
一、 选择题
1.在整数0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，设质数的个数为x，偶数的个数为y，完全平方数的个数为z，合数的个数为u，则x+y+z+u的值是 ( )
A、17 B、15 C、13 D、11
2.设n为大于1的自然数，则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是 （　　 ）
A、3n2-3n+3 B、5n2-5n-5 C、9n2-9n+9 D、11n2-11n-11
3.有3个数，一个是最小的奇质数，一个是小于50的的最大质数，一个是大于60的最小质数，则这3个数的和是 ( )
A、101 B、110 C、111 D、113
4.两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是 ( )
A、 B、 C、 D、
5.a、b为正整数，且56a+392b为完全平方数，则a+b的最小值等于 ( )
A、6 B、7 C、8 D、9
6.3个质数p、q、r满足等式p+q=r，且p<q<r，则p的值是 ( )
A、2 B、3 C、5 D、7
7.以下结论中个结论不正确. ( )
(1)1既不是合数也不是质数;(2)大于0的偶数中只有一个数不是合数;(3)个位数字是5的自然数中,只有一个数不是合数;(4)各位数字之和是3的倍数的自然数,个个都是合数.
A.1 B.2 C.3 D.4 (2001年“五羊杯”竞赛题)
8.若p为质数,p3+5仍为质数,p5+7为 ( )
A.质数 B.可为质数也可为合数
C.合数 D.既不是质数也不是合数 (湖北省黄冈市竞赛题)
9.超级计算机曾找到的最大质数是2859433-1,这个质数的末尾数字是 ( )
A.1 B.3 C.7 D.9
10. 若正整数a、b、c满足a2+b2=c2,a为质数,那么b、c两数 ( )
A.同为奇数 B.同为偶数 C.一奇一偶 D.同为合数
二、填空题
11.在1,2,3,…,n这n个自然数中,已知共有p个质数,q个合数,k个奇数,m个偶数,则(q-m)+(p-k)=________.
12.p是质数,并且p6+3也是质数,则p11-52=________. (北京市竞赛题)
13.若a、b、c、d为整数,且(a2+b2)(c2+d2)=1997,则a2+b2+c2+d2=_________.
14.已知a是质数,b是奇数,且a2+b=2001,则a+b=________. (第16届江苏省竞赛题)
15.若p、q为质数,m,n为正整数,p=m+n,q=mn,则=________.
16.若质数m、n满足5m+7n=129,则m+n=_______. (河北省竞赛题)
17.已知三个质数m、n、p的积等于这三个质数的和的5倍,则m2+n2+p2=_____. (2004年武汉市选拔赛试题)
18.一个两位质数,将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数,我们称它为“无暇质数”,则所有“无暇质数”之和等于________.
19.机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色:凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色,不合上述要求的自然数都染成黄色,若被染成红色的数由小到大数下去,则第1992个数是________. (北京市“迎春杯”竞赛题)
20.使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是 .
21.如果一个正整数减去54，是一个完全平方数，这个正整数加上35后，是另外一个完全平方数，那么这个正整数是 .
22.一个质数的平方与一个正奇数的和等于125，则这两个数和积是 .
23.p是质数，p2+2也是质数，则1997+p4=
24.若n为自然数，n+3，n+7都是质数，则n除以3所得的余数是 .
25.设自然数n1>n2，且，则n1= ，n2= .

三、解答题
26.两个质数的和是39，求这两个质数的积.

27.A、B、C为三个的质数，A+B+C=30，且A<B<C，求这三个质数.

28.A、B、C为三个不同的质数，已知3A+2B+C=22，求A、B、C.

29.从小到大写出五个质数，要求后面的质数都比它前面一个质数大12.
5k,5k+12.+24,36,48 可以得到最小的数为5

30.九个连续自然数中最多有几个质数？为什么？

31.三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数.

32.设n为自然数,n+3与n+7都是质数,求n除以3所得的余数.

33.证明有无穷多个n,使多项式n2+n+41.(1)表示合数;(2)为43的倍数.

34.已知正整数p、q都是质数,且7p+q与pq+11也都是质数,试求pq+qp的值. (湖北省荆州市竞赛题)

35.1与0交替排列,组成下面形式的一串数101,10101,1010101,101010101,……
请你回答:在这串数中有多少个质数?并证明你的结论.(2002年北京市竞赛题)

36.A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数.试求出所有满足要求的质数A.

37. 判断266+388是不是质数.

38.把一个一位数的质数a写在另一个两位数的质数b后边，得到一个三位数，这个三位数是a的87倍，求a和b.

39.求360的约数的个数

40.已知p和8p2+1都是质数，求证：8p2-p+2也是质数.

杭州英特外国语学校英数学思维班 专题七 第6页 共6页