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数学问题全集牛吃草问题例1牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，供25头吃几天？设每天长出的草可供X 头牛吃，利用原草量是相等的关系 有 （10-X） 20 = （15-X） 10 =（25-X） t 在这里，我们还是要紧紧抓住“牛吃的草可以分成两部分”来思考。我们可以将25头牛分成两部分：一部分去吃新生的草；另一部分去吃原有的草。因为草的生长速度是5头/天，所以新生的草恰好够5头牛吃，那么吃原有的草的牛应该有25520（头）。当这20头牛将草地原有的草量吃完时，草地上也就没有草了。100（255）5（天）例2： 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人？分析：这道题看起来与“牛吃草”毫不相关，其实题目中也蕴含着两个不变的量：“每小时漏水量”（相当于草的生长速度）与“船内原有的水量”（相当于草地上原有的草量）。设x人在一小时内可掏尽匀速进入船内的水,y为2小时淘完要安排人数,则 (10-x)*3=(5-x)*8=(y-x)*2 x=2,y=14 牛吃草问题综合练习（）牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？（）有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？（）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？盈亏问题例题1：将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3粒，就会余下糖果17粒；如果每人分5粒，就会缺少糖果13粒。问：幼儿园小班有多少个小朋友？这些糖果共有多少粒？这是盈亏问题中的“一盈一亏”的问题，解答这类问题的数量关系是：（盈数+亏数）两次分得的差 = 人数解： （17+13）（53） =302 =15（人） 315+17=62（粒）或：51513=62（粒 ）答：有15个小朋友，62粒糖。例题2：学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，就有两人没有砖可搬。搬砖的学生有多少人？这批砖共有多少块？解：（45+52）（54） =301=30（人） 430+45=140（块）答：搬砖的学生有30人，这批砖共有140块。例题3. 某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分18棵，就会余下24棵；如果每班分20棵，正好分完。这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？这道题目是盈亏问题中的一种特例。题目中只出现“盈”，也就是一次分配多了，并没有出现“亏”。我们仍然可以按盈亏问题的思路来思考。在以后的题目中，我们还会遇到一道题目中两次都是“盈”的情况和两次都是“亏”的情况。解： 24（2018）=12（个）2012=240（棵）答：这个学习有12个班，这批树苗有240棵。综合练习（1） 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？有多少粒糖果？（） 某校安排新生宿舍，如果每间住12人，就会有34人没有宿舍住；如果每间住14人，就会空出4间宿舍。这个学校有多少间宿舍？要安排多少个新生？第三讲 最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题第三讲 周期问题例题1. 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？解：249（5+9+13）=96红花有：59+5=50（朵）黄花有：99+1=82（朵）绿花有：139=117（朵）答：最后一朵是黄花。红花有50朵，黄花有82朵，绿花有117朵。例题2. 2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期几？思路点拨2002年平年。每7天为一个星期，也就是为一个周期；从2002年1月1日到2002年12月31日为365天，到2003年1月1日是第366天。关键在于一个周期的第一天是星期几解：3667=52（周）2天 本题一个周期的第一天是星期二，所以，余2天就是星期三。 答：2003年的1月1日是星期三。练一练1、今天是星期四，从明天开始第1800天是星期几？ 2、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共160个，按4个红珠，3个白珠，2个黑珠的顺序排列着。黑珠共有几个？第101个珠子是什么颜色？综合练习1、我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。如果1940年是龙年，那么，1996年是什么年？2、科学家进行一项实验，每隔6小时做一次记录。做第10次记录时，挂钟的时针恰好指向7，问：做第一次记录时，时针指向几？3、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共160个。按4个红珠、3个白珠、2个黑珠的顺序排列着。黑珠共有几个？第101个珠子是什么颜色的？4、 英文字母A、B、C、D按BCDABAACDABAACDABAACD排列，共250个字母，最后一个字母是什么？A、B、C、D各是多少？5、有13名小朋友编成1到13号，依次围成一个圆圈。现在从1号开始，每数到第3个人发一粒糖。那么，最后一个拿到糖的人是几号？第五讲 巧求面积数学运算专题(一)：方阵问题数学运算在近年来的考试中已经成为一个非常重要的考试内容，说它重要主要是因为它的难度越来越大，考生极易失分，所以应考者必须充分地进行备考复习。这一节我们谈一下数学运算中的方阵问题。学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵(亦叫乘方问题).方阵的基本特点是：方阵不论在哪一层，每边上的人(或物)数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2， 即里层比外层少8每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系：每层四周人)数=每边人数一14；每边人(或物)数=四周人(或物)数4+1.中实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数每边人(或物)数.例1 有陆、海、空三兵种士兵组成的仪仗队，每兵种队伍400人，都分成8竖行并列行进。陆军队前后每人间隔1米，海军队前后每人间隔2米，空军队前后每人间隔3米。每兵种队伍之间相隔4米，三兵种士兵每分都走80米，三兵种队伍的仪仗队通过98米的检阅台需要多少分?分析与解答 这道例题仍是植树问题的逆解题，相当于已知树数、每两株相邻树间的距离，求树列的全长。由于三兵种队伍的仪仗队要通过检阅台，除了三兵种队伍的仪仗队的长度，还必须加上检阅台的长度。知道总长度和士兵步行的速度，就可以求出通过检阅台的时间。(1)三兵种队伍每竖行的人数是：4008=50(人)(2)陆军队伍的长度是：1（50-1)=49(米)(3)海军队伍的长度是：2（50-1)=98(米)(4)空军队伍的长度是：3（50-1)=147(米)(5)三兵种队伍的间隔距离是：4（3-1)=8(米)(6)三兵种队伍的全长是：49+98+147+8=302米)(7)队伍全长与检阅台的总长度是： 302+98=400(米)(8)通过检阅台所需的时间是： 40080=5(分)请你试一试，看看怎样列综合算式?列式后你会应用简便方法进行计算吗?综合列式计算：1（4008-1)+2（40081)+3（40081)+4（31)+9880=49（1+2+3)+8+9880=40080=5(分)答：通过检阅台需要5分。例2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？(33+1)2=17(人)1717=289(人)解法二 利用去掉横竖各排时，去掉的总人数为：减少后的每行人数2+1，求出减少人数后的团体操队列的每行人数，再求参加团体撮的运动员人数。(33-1)2=16(人)1616+33=289(人)答：参加团体操表演的有289人。数学运算专题(二)：年龄问题 解决应用题，关键在于掌握题目中的数量关系，从已知条件寻找它们之间的内在联系，注意各种量之间的转换，然后统一到所求量上来。年龄问题特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄大小年龄差倍数差一小年龄，几年前年龄小年龄一大小年龄差倍数差。例1 父亲现年50岁，女儿现年14岁。问：几年前父亲年龄是女儿的5倍?分析 父女年龄差是50-1436(岁)。不论是几年前还是几年后，这个差是不变的。当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁。这36岁是父亲比女儿多的5-14(倍)所对应的年龄。解法1 (50-14)（5-1)9(岁)当时女儿9岁，14-95(年)，也就是5年前。答：5年前，父亲年龄是女儿的5倍。解法2 设年前父亲的年龄是女儿年龄的5倍，是可列方程为：50 =(14 )5， =5。例2 甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在的岁数时，你将有67岁，甲乙现在各有：A.45岁，26岁 B.46岁，25岁 C.47岁24岁 D.48岁，23岁材 (2005年中央真题)解析：此题应直接选用代入法。如果采用方程法，则甲的年龄为X，乙的年龄为Y，则可列方程Y-(X-Y)=4X+(X-Y)=67解得X=46，Y=25所以，正确答案为B。例3 今年父亲年龄是儿子年龄的10倍，6年后父亲年龄是儿子年龄的4倍，则今年父亲、儿子的年龄分别是( )。 (2000年中央真题)A.60岁，6岁 B.50岁，5岁 C.40岁，4岁 D.30岁，3岁解析：依据“年龄差不变”这个关键和核心，即9倍儿子现在的年龄3（儿子现在的年龄+6岁)即6倍儿子现在的年龄36岁儿子现在的年龄3岁父现在的年龄30岁注：此种类型题在真考时非常适合使用代入法，只要将四个选项都加上6，看看是否成4倍关系，只有D选项符合，用时不超过10秒，从而成为最优的方法，代入法是公务员考试最常使用的方法，请广大考生借鉴此法。数学运算专题(三)：容斥原理 容斥原理是近年中央国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手，这一节我们举几个这方面的例题讲解一下，另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于解题。例题1：2004年中央A类真题某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。A.22 B.18 C.28 D.26解析：设A第一次考试中及格的人(26)，B第二次考试中及格的人(24)显然，AB262450；AB32-428，则根据公式ABAB-AB50-2822所以，答案为A。例题2：2004年山东真题某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有( )人A.57 B.73 C.130 D.69解析：设A会骑自行车的人(68)，B会游泳的人(62)显然，AB6862130；AB85-1273，则根据公式ABAB-AB130-7357所以，答案为A。例题3：电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？解析：设A看过2频道的人(62)，B看过8频道的人(34)显然，AB623496；AB两个频道都看过的人(11)则根据公式ABAB-AB96-1185所以，两个频道都没有看过的人数100-8515所以，答案为15。例题4：2005年中央A类真题对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：A.22人 B.28人 C.30人 D.36人解析：设A喜欢看球赛的人(58)，B喜欢看戏剧的人(38)，C喜欢看电影的人(52)AB既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)BC既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)ABC三种都喜欢看的人(12)ABC看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)根据公式：ABCABCABBCCA-ABCCAABC-(ABCABBC-ABC)148-(1001816-12)26所以，只喜欢看电影的人C-BC-CAABC52-16-261222数学运算专题(四)：行程问题 基本关系：路程速度时间。例1 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米。两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长。分析 首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000360010(米)，乙车的速度是每秒钟54000360015(米)。解：(10+15)14350(米)答：乙车的车长为350米。例3 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：A.80级 B.100级 C.120级 D.140级 (2005年中央真题)解析：这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速 度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可 列 方程如下，(X+2)40=(X+3/2)50解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=(2+0.5)40=100所以，答案为B。例4 某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中顺流航行12千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是：A.2.5：1 B.3：1 C.3.5：1 D.4：1 (2005年中央真题)解析：典型流水问题。如果设逆水速度为V，设顺水速度是逆水速度的K倍，则可列如下方程：21/KV+4/V=12/KV+7/V将V约掉，解得K=3所以，正确答案为B。 时钟问题新解 时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。 关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。 一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1分钟时间，分针走1个小格（30度），时针指走了1/60*5=1/12个小格（6度），所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。经典例题 例1 从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格（表面上每个数字之间为5个小格），如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/（11/12）=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。例2 从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。42.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有（ ）。A. 27人 B. 25人 C.19人 D. 10