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数学问题全集
牛吃草问题
例1　牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，供25头吃几天？
设每天长出的草可供X 头牛吃，利用原草量是相等的关系 有
（10-X）× 20 = （15-X）× 10 =（25-X）× t
在这里，我们还是要紧紧抓住“牛吃的草可以分成两部分”来思考。我们可以将25头牛分成两部分：一部分去吃新生的草；另一部分去吃原有的草。因为草的生长速度是5头/天，所以新生的草恰好够5头牛吃，那么吃原有的草的牛应该有25－5＝20（头）。当这20头牛将草地原有的草量吃完时，草地上也就没有草了。
　　　　　100÷（25－5）＝5（天）

例2： 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人？

分析：这道题看起来与“牛吃草”毫不相关，其实题目中也蕴含着两个不变的量：“每小时漏水量”（相当于草的生长速度）与“船内原有的水量”（相当于草地上原有的草量）。

设x人在一小时内可掏尽匀速进入船内的水,y为2小时淘完要安排人数,则 
(10-x)*3=(5-x)*8=(y-x)*2
x=2,y=14

   牛吃草问题［综合练习］
（１）牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？

（２）有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水　吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？

（３）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

盈亏问题
例题1：将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3粒，就会余下糖果17粒；如果每人分5粒，就会缺少糖果13粒。问：幼儿园小班有多少个小朋友？这些糖果共有多少粒？这是盈亏问题中的“一盈一亏”的问题，解答这类问题的数量关系是：
（盈数+亏数）÷两次分得的差 = 人数
解：  （17+13）÷（5－3）   
=30÷2                       
=15（人）               
3×15+17=62（粒）
或：5×15－13=62（粒 ）
答：有15个小朋友，62粒糖。
例题2：学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，就有两人没有砖可搬。搬砖的学生有多少人？这批砖共有多少块？解：（4×5+5×2）÷（5－4）       
  =30÷1=30（人）   
4×30+4×5=140（块）
答：搬砖的学生有30人，这批砖共有140块。
例题3.  某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分18棵，就会余下24棵；如果每班分20棵，正好分完。这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？

这道题目是盈亏问题中的一种特例。题目中只出现“盈”，也就是一次分配多了，并没有出现“亏”。我们仍然可以按盈亏问题的思路来思考。在以后的题目中，我们还会遇到一道题目中两次都是“盈”的情况和两次都是“亏”的情况。

解： 24÷（20－18）=12（个）
20×12=240（棵）
答：这个学习有12个班，这批树苗有240棵。
［综合练习］
（1） 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？有多少粒糖果？

（２） 某校安排新生宿舍，如果每间住12人，就会有34人没有宿舍住；如果每间住14人，就会空出4间宿舍。这个学校有多少间宿舍？要安排多少个新生？

第三讲 最短路线问题
　　通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．

第三讲    周期问题
例题1.  有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？解：249÷（5+9+13）=9……6
红花有：5×9+5=50（朵）
黄花有：9×9+1=82（朵）
绿花有：13×9=117（朵）
答：最后一朵是黄花。红花有50朵，黄花有82朵，绿花有117朵。
例题2.  2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期几？
[思路点拨]
2002年平年。每7天为一个星期，也就是为一个周期；从2002年1月1日到2002年12月31日为365天，到2003年1月1日是第366天。关键在于一个周期的第一天是星期几
解：366÷7=52（周）……2天  本题一个周期的第一天是星期二，所以，余2天就是星期三。
    答：2003年的1月1日是星期三。
[练一练]
1、今天是星期四，从明天开始第1800天是星期几？
  2、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共160个，按4个红珠，，3个白珠，2个黑珠的顺序排列着。黑珠共有几个？第101个珠子是什么颜色？
[综合练习]
1、我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。如果1940年是龙年，那么，1996年是什么年？
2、科学家进行一项实验，每隔6小时做一次记录。做第10次记录时，挂钟的时针恰好指向7，问：做第一次记录时，时针指向几？
3、有同样大小的红珠、白珠、黑珠共160个。按4个红珠、3个白珠、2个黑珠的顺序排列着。黑珠共有几个？第101个珠子是什么颜色的？
4、 英文字母A、B、C、D按BCDABAACDABAACDABAACD……排列，共250个字母，最后一个字母是什么？A、B、C、D各是多少？

5、有13名小朋友编成1到13号，依次围成一个圆圈。现在从1号开始，每数到第3个人发一粒糖。那么，最后一个拿到糖的人是几号？

第五讲 巧求面积

数学运算专题(一)：方阵问题
数学运算在近年来的考试中已经成为一个非常重要的考试内容，说它重要主要是因为它的难度越来越大，考生极易失分，所以应考者必须充分地进行备考复习。这一节我们谈一下数学运算中的方阵问题。
　　学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵(亦叫乘方问题).
　　方阵的基本特点是：
　　①方阵不论在哪一层，每边上的人(或物)数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2， 即里层比外层少8
　　②每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系：
　　每层四周人)数=[每边人数一1]×4；
　　每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1.
　　③中实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数×每边人(或物)数.
　　例1 有陆、海、空三兵种士兵组成的仪仗队，每兵种队伍400人，都分成8竖行并列行进。陆军队前后每人间隔1米，海军队前后每人间隔2米，空军队前后每人间隔3米。每兵种队伍之间相隔4米，三兵种士兵每分都走80米，三兵种队伍的仪仗队通过98米的检阅台需要多少分?
　　分析与解答 这道例题仍是植树问题的逆解题，相当于已知树数、每两株相邻树间的距离，求树列的全长。由于三兵种队伍的仪仗队要通过检阅台，除了三兵种队伍的仪仗队的长度，还必须加上检阅台的长度。知道总长度和士兵步行的速度，就可以求出通过检阅台的时间。
　　(1)三兵种队伍每竖行的人数是：400÷8=50(人)
　　(2)陆军队伍的长度是：1×（50-1)=49(米)
　　(3)海军队伍的长度是：2×（50-1)=98(米)
　　(4)空军队伍的长度是：3×（50-1)=147(米)
　　(5)三兵种队伍的间隔距离是：4×（3-1)=8(米)
　　(6)三兵种队伍的全长是：49+98+147+8=302<米)
　　(7)队伍全长与检阅台的总长度是： 302+98=400(米)
　　(8)通过检阅台所需的时间是： 400÷80=5(分)
　　请你试一试，看看怎样列综合算式?列式后你会应用简便方法进行计算吗?
　　综合列式计算：
　　[1×（400÷8-1)+2×（400÷8—1)+3×（400÷8—1)+4×（3—1)+98]÷80
　　=[49×（1+2+3)+8+98]÷80
　　=400÷80=5(分)
　　答：通过检阅台需要5分。
　　例2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？
　　　　(33+1)÷2=17(人)
　　17×17=289(人)
　　解法二 利用去掉横竖各—排时，去掉的总人数为：减少后的每行人数×2+1，求出减少人数后的团体操队列的每行人数，再求参加团体撮的运动员人数。
　　(33-1)÷2=16(人)
　　16×16+33=289(人)
　　答：参加团体操表演的有289人。
数学运算专题(二)：年龄问题
　　解决应用题，关键在于掌握题目中的数量关系，从已知条件寻找它们之间的内在联系，注意各种量之间的转换，然后统一到所求量上来。
　　年龄问题特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。
　　解答年龄问题的一般方法是：
　　几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差一小年龄，
　　几年前年龄＝小年龄一大小年龄差÷倍数差。
　　例1 父亲现年50岁，女儿现年14岁。问：几年前父亲年龄是女儿的5倍?
　　分析 父女年龄差是50-14＝36(岁)。不论是几年前还是几年后，这个差是不变的。当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁。这36岁是父亲比女儿多的5-1＝4(倍)所对应的年龄。
　　解法1 (50-14)÷（5-1)＝9(岁)
　　当时女儿9岁，14-9＝5(年)，也就是5年前。
　　答：5年前，父亲年龄是女儿的5倍。
　　解法2 设年前父亲的年龄是女儿年龄的5倍，是可列方程为：50— =(14— )×5， =5。
　　例2 甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在的岁数时，你将有67岁，甲乙现在各有：
　　A.45岁，26岁 B.46岁，25岁 C.47岁24岁 D.48岁，23岁材 (2005年中央真题)
　　解析：此题应直接选用代入法。
　　如果采用方程法，则甲的年龄为X，乙的年龄为Y，则可列方程
　　Y-(X-Y)=4
　　X+(X-Y)=67
　　解得X=46，Y=25
　　所以，正确答案为B。
　　例3 今年父亲年龄是儿子年龄的10倍，6年后父亲年龄是儿子年龄的4倍，则今年父亲、儿子的年龄分别是( )。 (2000年中央真题)
　　A.60岁，6岁 B.50岁，5岁 C.40岁，4岁 D.30岁，3岁
　　解析：依据“年龄差不变”这个关键和核心，　　即9倍儿子现在的年龄＝3×（儿子现在的年龄+6岁)
　　即6倍儿子现在的年龄＝3×6岁
　　儿子现在的年龄＝3岁
　　父现在的年龄＝30岁
　　注：此种类型题在真考时非常适合使用代入法，只要将四个选项都加上6，看看是否成4倍关系，只有D选项符合，用时不超过10秒，从而成为最优的方法，代入法是公务员考试最常使用的方法，请广大考生借鉴此法。
数学运算专题(三)：容斥原理
　　容斥原理是近年中央国家公务员考试的一个难点，很多考生都觉得无从下手，这一节我们举几个这方面的例题讲解一下，另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于解题。
　　例题1：2004年中央A类真题
　　某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。
　　A.22 B.18 C.28 D.26
　　解析：设A＝第一次考试中及格的人(26)，B＝第二次考试中及格的人(24)
　　显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32-4＝28，
　　则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝50-28＝22
　　所以，答案为A。
　　例题2：2004年山东真题
　　某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有(    )人
　　A.57 B.73 C.130 D.69
　　解析：设A＝会骑自行车的人(68)，B＝会游泳的人(62)
　　显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85-12＝73，
　　则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝130-73＝57
　　所以，答案为A。
　　例题3：电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？
　　解析：设A＝看过2频道的人(62)，B＝看过8频道的人(34)
　　显然，A＋B＝62＋34＝96；A∩B＝两个频道都看过的人(11)
　　则根据公式A∪B＝A＋B-A∩B＝96-11＝85
　　所以，两个频道都没有看过的人数＝100-85＝15
　　所以，答案为15。
　　例题4：2005年中央A类真题
　　对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：
　　A.22人 B.28人 C.30人 D.36人
　　解析：设A＝喜欢看球赛的人(58)，B＝喜欢看戏剧的人(38)，C＝喜欢看电影的人(52)
　　A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)
　　B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)
　　A∩B∩C＝三种都喜欢看的人(12)
　　A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)
　　根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A-A∩B∩C
　　C∩A＝A＋B＋C-(A∪B∪C＋A∩B＋B∩C-A∩B∩C)
　　＝148-(100＋18＋16-12)＝26
　　所以，只喜欢看电影的人＝C-B∩C-C∩A＋A∩B∩C
　　＝52-16-26＋12
　　＝22
数学运算专题(四)：行程问题

基本关系：路程＝速度×时间。
　　例1 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米。两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长。
　　分析 首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10(米)，乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15(米)。　　解：(10+15)×14
　　＝350(米)
　　答：乙车的车长为350米。

例3 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：
　　A.80级 B.100级 C.120级 D.140级 (2005年中央真题)
解析：这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速 度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可 列 方程如下，
　　(X+2)×40=(X+3/2)×50
　　解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=(2+0.5)×40=100
　　所以，答案为B。
　　例4 某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中顺流航行12千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是：
　　A.2.5：1 B.3：1 C.3.5：1 D.4：1 (2005年中央真题)
　　解析：典型流水问题。如果设逆水速度为V，设顺水速度是逆水速度的K倍，则可列如下方程：
　　21/KV+4/V=12/KV+7/V
　　将V约掉，解得K=3
　　所以，正确答案为B。

时钟问题新解

    时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。
    关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。
    一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1分钟时间，分针走1个小格（30度），时针指走了1/60*5=1/12个小格（6度），所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。

经典例题
例1  从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？
5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格（表面上每个数字之间为5个小格），如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/（11/12）=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。

例2    从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？
6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。

42.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有（ ）。
A. 27人 B. 25人 C.19人 D. 10