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第四讲 中值定理的证明技巧

一、 考试要求
1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。
2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。
3、 了解定积分中值定理。

二、 内容提要

1、 介值定理（根的存在性定理）
（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m之间的任何值.
（2）零点定理
设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c(a、b)，使得f(c)=0
2、 罗尔定理
若函数满足：
（1）在上连续
（2）在内可导
（3）
则一定存在使得
3、 拉格朗日中值定理
若函数满足：
（1）在上连续
（2）在内可导
则一定存在，使得
4、 柯西中值定理
若函数满足:
（1）在上连续
（2）在内可导
（3）
则至少有一点使得

5、 泰勒公式
如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数, 则当在内时, 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即

其中 (介于与之间).

在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：
1．展开的基点；
2．展开的阶数；
3．余项的形式．
其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．
而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．

6、利用中值定理解题的技巧
（1）辅助函数的构造
微分中值定理通常用来证明一些等式、不等式及方程根的存在性。在证明方程根的存在性和不等式时，经常要构造出一个辅助函数，辅助函数的构造方法通常有三种：找原函数法；指数因子法；常数k值法。
①、方程根的存在性
方程根的存在性，常用介值定理和罗尔定理来证明。这里着重讲解罗尔定理。下面通过例题来给出三种构造辅助函数的方法。
②、存在多个中间值的证明
有一类问题，要证明存在两个或两个以上的中间值，满足一定的等式，由于用一次中值定理只能找到一个中间值，故这类问题通常至少要用两次中值定理才能解决。
（2）非构造性的证明
有一类证明题，在证明过程中，不需要构造辅助函数，只需对原题中的函数进行讨论，称这类问题为“非构造性的证明”。

7、利用泰勒公式解题的技巧
泰勒公式常用干处理与高阶导数相关的函数的性态研究，在解题方面，通常用于证明与中间值相联系的不等式以及求函数极限。
（1） 带拉格朗日型余项的泰勒公式
本公式常用于证明与中间值相联的不等式，其关键是注意泰勒公式中展开点x0的选择，通常选已知区间的端点、中间点或函数的极值点和导数为0的点。
这类题的特点是已知函数可导的阶数比较高（二阶以上），同时还有若干个已知的函数值或导数值。

（2）带皮亚诺型余项的泰勒公式
带皮亚诺型的泰勒公式较常用于函数极限的计算，尤其是对常规方法不好求时的极限，泰勒公式能有意想不到的作用。解题的关键是展开式中项数的确定，即展开到第几项合适。

8、 积分中值定理
若f(x)在[a、b]上连续，则至少存在一点c∈[a、b]，使得
f(x)dx=f(c)(b-a)

三、 典型题型与例题

题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在使或方程f(x)=0有根）

例1、设在[a,b]上连续，，证明存在 ，使得

例2、设在[a,b]上连续、单调递增，且，证明存在 使得

例3、设在[a,b]上连续且，证明存在使得 。
例4-1、设f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，
证明：

例4、设在[a,b]上连续，证明存在使得

例5、 设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1. 证明：在(0,1)内有且仅有一个实根。

例5-1、设f(x)在[0，1]非负连续，证明
（1）存在x0∈(0,1)，使得在[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于[x0,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积；
（2）又设f(x)在(0,1)可导，且，证明（1）中的x0是惟一的。

例6、设实数满足关系式，证明方程
，在内至少有一实根。

例7、（0234，6分）
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点使得

题型二、 验证满足某中值定理

例8、验证函数，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的
题型三、 证明存在, 使(n=1,2,…)

例9、设在[a,b]上可导且，证明至少存在一个
使得

例10、设在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且，证明存在一个使得

例11、设在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且，证明存在使得

题型四、 证明存在, 使
(1) 用罗尔定理
1) 原函数法:
例12、设在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且，求证存在使得

例13-1、设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，f(a)=f(b)=0，
证明：（1）对于任意的λ，；
（2）

例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且

证明：在(0,1)内至少存在一点x, 使

例14、 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a) g(x)在[a,b]上连续，试证对.

*例15、 设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且.
试证：使得 .

2) 常微分方程法:

例16、设在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且，证明存在使得

例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=1,
证明：对任意实数 , 使得

(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理
例18、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

例19、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

例20、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

例21、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

例21-1、设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且
。若极限存在，证明：
（1）在内；
（2）在内存在，使；
（3）在内存在与（2）中相异的点，使
。

（1）因存在，故
又因
（2）
法一、
设
用柯西中值定理，于是，使

即

法二、
设

令

在[a,b]上用罗尔定理即可。

（3）因，
在上应用拉格朗日中值定理，知使

从而由（2）的结论得
；
即

题型5、 含有(或更高阶导数)的介值问题

例22、 设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1), 试证至少存在一个, 使

例23、（012，8分）设在上具有二阶连续导数，f(0)=0
(1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。
(2) 证明在上至少存在一个使得

例24、 设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f¢(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点x，使得

题型6、 双介值问题

例25、例1、设在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，，求证存在使得

例26、（051，12分）已知函数在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且
证明：（1）存在，使得
（2）存在两个不同的点使得
题型7、 综合题
例27-1、f(x)在[0,1]连续，(0,1)可导，f(0)=0，f(1)=1，证明：对于任意的正数m1,m2，存在x1，x2∈(0,1)，使

只需证

故由介值定理，，
使

下面只需证明

由拉格朗日中值定理，
使

即
从而

例27、（011，7分）
设函数在（-1,1）内具有二阶连续导数，且，试证
（1） 对于(-1,1)内的任意,存在唯一的使得
成立
（2）

例28、试证明若在[a,b]上存在二阶导数，且，则存在使得

*例29、设e<a<b, 求证：在(a,b)内存在唯一的点ξ，使得

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