三角形的中位线知识讲解.doc

(完整word版)三角形的中位线知识讲解
三角形中位线定理

【学习目标】
1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
2。 掌握中点四边形的形成规律.
【要点梳理】
要点一、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理:三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
要点诠释：（1）三角形有三条中位线,每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系。
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形。因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
【典型例题】
类型一、三角形的中位线
1、如图,已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点,点P在BC上从B向C移动，点R不动,那么下列结论成立的是( ）

　　A．线段EF的长逐渐增大 　　　　B．线段EF的长逐渐变小
　　C．线段EF的长不变 　　　　　　D．无法确定
【答案】C；
【解析】连AR,由E、F分别为PA,PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则，而AR长不变，故EF大小不变.
【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．
举一反三:
【变式】（2015秋•青岛校级月考)在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．

【答案】5;
解：四边形MNEF是平行四边形．
理由如下:∵BE、CF是中线,
∴E、F分别是AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥BC且EF=BC，
∵M、N分别是BO、CO中点,
∴MN是△OBC的中位线，
∴MN∥BC且MN=BC，
∴EF∥MN且EF=MN,
∴四边形MNEF是平行四边形．
2、如图,△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若BC＝6,则DF的长是（　　)
A．2 B．3 C。 D．4

【思路点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系,得到DF＝DB,进而求出DF的长．
【答案解析】
解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点
∴DE∥AB
∴∠EDC＝∠ABC
∵BF平分∠ABC
∴∠EDC＝2∠FBD
在△BDF中,∠EDC＝∠FBD＋∠BFD
∴∠DBF＝∠DFB
∴FD＝BD＝BC＝×6＝3．
【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线,BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．

【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一"构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度．
【答案与解析】
解：延长BD交AC于点N．
∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，
∴ ∠BAD＝∠NAD,∠ADB＝∠ADN＝90°，
在△ABD和△AND中，

∴ △ABD≌△AND（ASA)
∴ AN＝AB＝12，BD＝DN．
∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，
∵ D、M分别为BN、BC的中点，
∴ DM＝CN＝＝3．
【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一"、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线,构造中位线等图形．
举一反三：
【变式】（2015春•泗洪县校级期中）如图，BE，CF是△ABC的角平分线,AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．

【答案】
证明:延长AN、AM分别交BC于点D、G．
∵BE为∠ABC的角平分线,BE⊥AG，
∴∠BAG=∠BGA，
∴△ABG为等腰三角形,
∴BN也为等腰三角形的中线,即AN=GN．
同理AM=DM，
∴MN为△ADG的中位线，
∴MN∥BC．

4、（鞍山一模）(1)如图1,在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．(提示取BD的中点H,连接FH，HE作辅助线）
（2)如图2，在△ABC中,且O是BC边的中点,D是AC边上一点，E是AD的中点,直线OE交BA的延长线于点G,若AB=DC=5，∠OEC=60°,求OE的长度．

【思路点拨】
（1）连结BD,取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；
（2)连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出EH=OH，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=．
【答案与解析】
（1）证明：连结BD，取DB的中点H,连结EH、FH．
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，
∵∠BME=∠CNE，
∴HE=HF，
∴AB=CD；

（2）解:连结BD，取DB的中点H,连结EH、OH，
∵AB=CD，
∴HO=HE,
∴∠HOE=∠HEO,
∵∠OEC=60°，
∴∠HEO=∠AGO=60°，
∴△OEH是等边三角形,
∵AB=DC=5，
∴OE=．

【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线,有一定难度．
举一反三：
【变式】如图,AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3,则EF的长是（　　)
A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D;
解：连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB,
∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
∴△DCE≌△HAE,
∴DE=HE，DC=AH，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF=BH，
∴BH=AB-AH=AB-DC=2，
∴EF=1．
类型二、中点四边形
5、(2016春•高邮市校级期末)如图，点O是△ABC外一点,连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD．
（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2)若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长．

【答案与解析】
解:（1）四边形DEFG是平行四边形，
理由是：∵线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G,
∴EF∥BC,EF=BC,DG=BC，DG∥BC，
∴EF∥DG，EF=DG，
∴四边形DEFG是平行四边形;

（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=180°﹣90°=90°，
∵M为EF的中点，OM=2，
∴EF=2OA=4，
∵EF=DG，
∴DG=4．
【总结升华】本题考查了中点四边形形状的判定，主要是利用中位线定理得出一组对边平行且相等，从而判定是平行四边形.