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合情推理（二）

预习案
一、 自学教材，思考下列问题
1、什么叫推理?推理由哪几部分组成?
2、合情推理的主要形式有 和 .
3、归纳推理是从 事实中概括出 结论的一种推理模式
4、归纳推理的特点:
5、 （均为实数），
请推测= = 。
二、 一试身手
对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: 。

导学案
一、 学习目标
1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
二、 学习过程
（1） 课内探究
春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的。这个推理过程是归纳推理吗？
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=bÞa+c=b+c; (1) a＞bÞa+c＞b+c
(2) a=bÞ ac=bc; (2) a＞bÞ ac＞bc;
(3) a=bÞa2=b2;等等 (3) a＞bÞa2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？

（2） 典型例题
由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

⑶ 检验猜想。即
观察，比较
联想，类推
猜测新的结论

例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 截面圆
弦 大圆
直径周长 表面积
圆面积 球体积

（3） 当堂检测

1、类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

2、若数列为等差数列，且，则。现已知数列为等比数列，且，类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？

（4） 课堂小结
1、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
2、类比推理的一般步骤：
a) 找出两类事物之间的相似性或者一致性。
用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）

拓展案

2、在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （ ）
(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B)
(C) (D)AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD2

5、在等差数列中，若，则有等式
成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.
6在DEF中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.

参考答案
一试身手
解析 由类比推理 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补
典型例题
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

拓展案
（1）分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边
体 积 面 积 ； 二面角 平面角
面 积 线段长； … …
由此，可类比猜测本题的答案：
，故选（C）。

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（2）猜测本题的答案为：
事实上，对等差数列，如果，则
. 所以有：
）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立
3．分析 根据类比猜想得出.
其中为侧面为与所成的二面角的平面角.
证明： 作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：
，
同乘以，得

即