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习题12
12-1．一半径为米的孤立导体球，已知其电势为(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。
解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，∴电势为：，
则：。
12-2．两个相距很远的导体球，半径分别为，，都带有的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。
解：半径分别为的电量为，电量为，
由题意，有：┄①，┄②，
①②联立，有：，。
12-3．有一外半径为，内半径的金属球壳，在壳内有一半径为的金属球，球壳和内球均带电量，求球心的电势．
解：由高斯定理，可求出场强分布：
∴
。
12-4．一电量为的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为、．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出和曲线.
解：由高斯定理，可求出场强分布：
∴电势的分布为：
当时，
；
当时，；
当时，。
12-5．半径，带电量的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径，外半径，带电量。试求距球心r处的P点的场强与电势。（1）（2）（3）。
解：由高斯定理，可求出场强分布：
∴电势的分布为：
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴（1），适用于情况，有：
，；
（2），适用于情况，有：
，；
（3），适用于情况，有：
，。
12-6．两块带有异号电荷的金属板和，相距，两板面积都是，电量分别为，板接地，略去边缘效应，求：（1）板的电势；（2）间离板处的电势。
解：（1）由有：，
则：，而，
∴，
离板处的电势：
12-7．平板电容器极板间的距离为d，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度为t(t<d)的金属板，求无金属板时和插入金属板后极板间电势差的比；如果保持两极板的电压不变，求无金属板时和插入金属板后极板上的电荷的比。
解：（1）设极板带电量为，面电荷密度为。
无金属板时电势差为：，
有金属板时电势差为：，
电势差比为：；
（2）设无金属板时极板带电量为，面电荷密度为，
有金属板时极板带电量为，面电荷密度为。
由于，有，即
∴。
解法二：
无金属板时的电容为：，有金属板时的电容为：。那么：
（1）当极板电荷保持不变时，利用知：；
（2）当极板电压保持不变时，利用知：。
12-8．实验表明，在靠近地面处有相当强的电场垂直于地面向下，大小约为.在离地面的高空的场强也是垂直向下，大小约为.
（1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)；
（2）计算从地面到高空的空气中的平均电荷密度．
解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用考察，选竖直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为，所以：
；
（2）如图，由高斯定理，有：
，则：，
得：。
12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为，电势为，外圆筒的内半径为，电势为.求其离轴为处(<<)的电势。
解：∵<<处电场强度为：，
∴内外圆柱间电势差为：
则：
同理，处的电势为：（*）
∴。
【注：上式也可以变形为：，与书后答案相同，或将（*）式用：计算，结果如上】
12-10．半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求：
（1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。
解：（1）首先考虑a和b的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：┄①，再由系统电荷为Q，有：┄②
两式联立得：，；
（2）根据电容的定义：（或），将（1）结论代入，
有：。
12-11．图示一球形电容器，在外球壳的半径及内外导体间的电势差维持恒定的条件下，内球半径为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。
解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：，
而电势差：，
∴，那么，场强表达式可写为：。
因为要考察内球表面附近的场强，可令，有：，
将看成自变量，若有时，出现极值，那么：
得：，此时：。
12-12．一空气平板电容器，极板的面积都是，极板间距离为．接上电源后，板电势，板电势．现将一带有电荷、面积也是而厚度可忽略的导体片平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片的电势。
解：由题意，，而：，
且，∴，则：。
导体片的电势：，
∴。
12-13．两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？
解：（1）设小球，大球，两球各自带有电量为，有：
接触之前的电势能：；
（2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为，大金属球带电为，
有：┄①和┄②，①②联立解得：，。
那么，电势能为：。
思考题12
12-1．一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有和的电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电场线应如何分布。
答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交，
两板的电场线接近板面时应该垂直板面。
12-2．在“无限大”均匀带电平面附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导体板，如图所示．已知上的电荷面密度为，则在导体板的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？
答：，。
12-3．充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力与两极板间的电压之间的关系是怎样的？
答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。
12-4．一个未带电的空腔导体球壳，内半径为，在腔内离球心的
距离为处(<)，固定一点电荷，如图所示，用导线把球壳
接地后，再把地线撤去．选无穷远处为电势零点，则球心处的电
势为多少？
答：
12-5．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体内，放一
带有电荷为的带电导体，如图所示，则比较空腔导体的
电势和导体的电势时，可得什么结论？
答：和都是等势体，；
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