第三章 轨道结构力学分析动车论坛.doc

第一节 概述
轨道结构力学分析，就是应用力学的基本理论，结合轮轨相互作用的原理，分析轨道在机车车辆不同的运营条件下所发生的动态行为，即它的内力和变形分布；对主要部件进行强度检算，以便加强轨道薄弱环节，优化轨道工作状态、提高轨道承载能力，最大眼度地发挥既有轨道的潜能，以尽可能少的投入取得尽可能高的效益。此项工作还可以对轨道结构参数进行最佳匹配设计，为轨道结构的合理配套和设计开发新型轨道结构类型及材料提供理论依据。因此，轨道结构力学分析是设计、检算和改进轨道结构的理论基础。
　　随着铁路运输向高速、重载方向的发展，运量大、密度高的状况都将对轮轨运输系统提出更多、更新的要求。行车速度愈高，安全问题愈突出，要保证高速列车运行平稳、舒适、不颠覆、不说轨。运载重量愈大，轮轨之间的动力作用越强，对轨道结构的破坏作用也越严重。因此，进一步深入研究轮轨相互动力作用规律，寻求降低轮轨相互作用的途径，对于保证轨道的强度和稳定，减少维修工作量，延长设备使用寿命都具有十分重要的现实意义。
　　分析轮轨相互作用的动力响应，首先应建立一个能较真实地反映轨道结构和机车车辆相互作用基本力学特征的模型，模型的选用取决于研究问题的侧重点及分析的目的，抓住主要环节，略去次要因素，既要求计算简单又要求有必要的精度，历来是简化分析模型的一条根本原则。在研究轨道结构的动力响应时，人们往往以轨道部分为主体，在模型中反映得要详细些，而对机车车辆部分则简化作为一个激扰源向主系统输入，按照激扰输入--传递函数(系统特性)--响应输出的模式来分析轨道系统的振动。
　　结构物的动力行为根本不同于其静力行为，前考比后者要复杂的多。由于机车车辆簧上及簧下部分质量的振动而产生的，作用于轨道上的动荷载，其频率较整个轨道，尤其是较钢轨的自振频率低很多，且碎石道床具有很高的阻尼消振作用，故而不能充分激发起轨道的振动，这种动荷载对轨道所产生的作用基本上相当于静荷载，基于这种认识，发展起来的传统的轨道强度计算理论与方法已形成比较成热的体系。为此，本章的内容首先由静力计算开始，然后逐步扩展。
　　轨道的力学分析，首先要确定作用在轨道上的力。轨道承受着非常复杂的力，而且有强烈的随机性和重复性。大体上可分为垂直于轨面的竖向力，垂直于钢轨轴向的横向水平力和平行于钢轨轴向的纵向水平力等。
　　1．竖向力包括静轮重和附加动压力。轮重是机车车辆静止时，同一个轮对的左右两个车轮对称地作用于乎直轨道上的轮载。列车行驶过程中，车轮实际作用于轨道上的坚直力称车轮动轮载。动轮载超出静轮载的部分称为动力附加值，产生的原因非常复杂，有属于机车车辆构造及状态方而的；有属于轨道构造及其状态的；也有属于机车车辆在轨道上的运动形态方而的。主要包括蒸汽机车蒸汽压力和传动机构运动时的惯性力以及过量平衡锤的离心力等产生的；由于车轮踏面不圆顺或车轮安装偏心引起的；轨道不平顺，诸如轨面单独不平顺、轨缝；错牙和折角等导致产生的，由不平顺产生的附加动压力随不平顺的长度、深度及行车速度、轴重等的不同而变，严重时可达静轮载的1-3倍。
　　2．横向水平力包括直线轨道上，因车辆蛇行运动，车轮轮缘接触钢轨顺产生的往复周期性的横向力；轨道方向不平顺处，车轮冲击钢轨的横向力，在曲线轨道上，主要是因转向架转向，车轮轮缘作用于钢轨侧面上的导向力，此项产生的横向力较其他各项为大。还有未被平衡的离心力等。
　　3．纵向水平力包括列车的起动、制动时产生的纵向水平力；坡道上列车重力的水平分力；爬行力以及钢轨因温度变化不能自由伸缩而卢乍的纵内水平力等，温度人对无缝线路的稳定性来说是至关重要的。
一、基本假设和计算模型
（一）基本假设
　　1．轨道利机车车辆均处于正常良好状态，符合铁路技术管理规程和有关的技术标推。
　　2．钢轨视为支承在弹性基础L—的等载面无限长梁；轨枕视为支承在连续弹性基础上的短梁。基础或支座的沉落值与它所受的压力成正比。
　　3．轮载作用在钢轨的对称面上，而且两股钢轨上的荷载相等；基础刚度均匀且对称于轨道中心线。
　　4．不考虑轨道本身的自重。
　（二）计算模型
　　把钢轨视为置于弹性基础上的无限长梁，基础梁模型按支承方式假设的不同，又可分为：
1．点支承模型如图3—1(a)所示。由于钢轨是支承在轨枕上的，所以称之为弹性点支承连续梁计算模型。图中a为轨枕间距；D为钢轨支座刚度。这种模型对钢轨的支承是间断不连续的，因此只能采用数值解法。最早的解法是把它当做有限跨连续梁来解，之后发展为用差分方程解法求解无限长梁。铁道部科学研究院谢天辅为广在我国推广应用此法，特编制了完备的计算参数哀，但随着计算机技术的发展，这些经典的数值解法已逐渐被结构矩阵分析力法所取代。

　　2．连续支承模型如图3一l(b)所示。由于钢轨的抗弯刚度很大，而轨枕铺的相对较密，这样就可近似地把轨枕的支承看作是连续文承、从面进行解析性的分析。图中的u＝D/a，即把离散的支座刚度D折合成连续的分布支承刚度u，称之为钢轨基础弹性模量。该模型最初是由德国文克尔(E．Winkler，1867)提出的，后由德国A.Zimmermann、美国A．N．Talbot等所改进和完善。该法所求得的解析解是严密的理论解，可将轨道的内利变形分布写成函数的形式．应用起来既简单方便又直观，尤其对于静力计算，这一经典理论至今仍具有重要的理论和应用价值 现在世界各国和我国铁道部标准 TB2034—884《铁路轨道强度检算法》均采用达一模型，故本节仅对此模型和解法进行铰详细的讲述。
二、连续基础粱微分方程及其解
　　（一）文克尔假定
假设钢轨上作用有集中荷载p，以g(x)表示钢轨的挠度曲线，以向下为正。以q(x)表示基础对钢轨的分布反力，以向上为正。为建立基础梁微分方程，文克尔提出了如下假设:

　　即假设x坐标处的基础反力与x处的钢轨位移成正比。这相当于假设基础是由连续排列，但相互独立的线性弹簧所组成，即每个弹簧的变形仅决定于作用在其上的力，而与相邻弹簧的变形无关。由于实际的轨枕支承是有一定间距的，且碎石道床并不是连续介质，一根软枕的少许下沉，对相邻轨枕影响较小，所以文克尔假设对于分析轨道问题来说还是比较适合的。但对于钢轨挠度无论是向上或向下，钢轨基础弹性模量u均采用相同的数值，则与实际是有出入的。尽管如此，大量实验证明，用这种模型计算的结果是能够满足一般分析精度要求。

　　（二）连续基础梁微分方程
　　在图3——2所示的坐标条件下，钢轨挠曲线上凹时的曲率为负；并规定使梁在y的正向—侧受拉的弯短为正。从而由材料力学可知：　　

　　式中E为钢轨钢的弹性楔量；I为钢轨截面对水平中性轴的惯性短；M为钢轨弯矩；Q为钢轨截面剪力;q为基础分布反力集度。
　　 结合文克尔假定可得：　

　　 即为连续基础梁微分方程，它是一个四阶常系数线性齐次微分方程。式中称为钢轨基础与钢轨的刚比系数，亦称为轨道系统特性参数。k值一船在0.009-0.020cm-1之间。
　（三）微分方程的解　　式(3—2)的通解为

　　式中c1—c4为积分常数，由边界条件确定

　　 而作用在轨枕上的钢轨压力(或称轨枕反力)R则等于基础反力集度 q与轨枕间距a的乘积，得
于是可得弹性位移曲线
弯矩函数
轨枕反力函数

　　由以上各式可知，在一定荷裁P的作用下，y、M、及的量值及分布主要取决于刚比系数k。首先，当x＝0时，u=n=1，所以在坐标原点处，各函数取量大值，即：

　　由此可知，Mmax、Rmax与刚比系数k成正比，而则不仅与k成正比，同时还与u成反比。其次V和A都是kx的无量纲函数；都是由exp(kx)，sin(kx)，cos(kx)等基本初等函数复合而成的变幅周期函数，随着kx的增大，即离开轮载作用点愈远的钢轨截面上，y、M、R的值均有不问程度的减小，而当时，轮载的影响已非常小．通常可略去不计。
三 轨道的基本力学参数
　 （一）钢轨的抗弯刚度EI
　　 梁的弯矩方程为M=-EIY''，即粱的曲率y''与所受的弯矩成正比。因此，钢轨抗弯刚度EI的力学意义应为：使钢轨产生单位曲率所需的力矩。对于60kg／m钢轨，EI＝6．76x1010N.cm，表示欲将钢轨弯成1cm的单价曲率所属的弯矩是6．76x1010N.cm
　　(二)钢轨支座刚度D

　　采用弹性点支承梁模型时，钢轨支座刚度表示支座的弹性持征，定义为使钢轨支座顶面产生单位下沉时，所需施加于座顶面的力。量纲为力／长度。可把支座看成为 一个串联弹簧。如图3-3所示图中Dp为胶垫刚度;Ds为轨枕刚度；Db为道床及路基刚度。

设在力R作用下，支座下沉为yD

　　木枕的弹性很好，不需胶垫；钢筋混凝土轨枕是不可压缩的，可近似认为因此，在混凝土轨枕上加胶垫的作用是很重要的。
(三)道床系数C
　　 道床系数是表征道床及路基的弹性特征，定义为使道床顶面产生单位下沉时所需施加于道床项面的单位面积上的压力，量纲为力/长度3。

　　 钢轨支座刚度D和道床系数c的关系可根据图3—4来推求。图中l为铣枕底面有效支承长度b为轨枕底面平均宽度为钢轨下截面的轨枕下沉量；ybc为轨枕的平均下沉量。今ybc=ayb，此处a是轨枕挠曲系数对于混凝土枕a＝l；对于木枕 a＝0．81-0．92。
根据定义
所以最后得C、D两个参数随轨道类型、路基、道床状况及环境因素而变化，离散性很大，在进行强度计算时，应尽可能采用实测值。木枕铣道的C、D值及混凝土枕轨道的D值分别参见表3一I及表3—2

（四）钢轨基础弹性模量u
　　采用连续基础梁模型时，钢轨基础弹性模量表尔钢轨基础的弹性特征，定义为使单位长度的钢轨基础产生单位下沉所需施加在其上的分布力，其良纲为力／长度2。
u=D/a　　　　　　　　　　　　(3-14)
　　即假定反力D均匀地分布在两枕跨间，采用钢轨每基础弹性模量就可将支座的离散支承等效成连续支承，从而可用解析力法求解。
(五)刚比系数k

由前文可知

　　轨道的所有力学多数及相互间的关系均反映在k中，任何轨道参数的改变都会影响k而k的改变又将影响整个轨道的内力分布和部件的受力分配，因此k又可称为轨道系统特性：参数。由钢轨弯矩M和枕上压力及的表达式(3-9)(3—10)可以看出M和R的分布不是由u或EI单独决定的，而是决定于比值u／EI，当K值较大，基础相对较硬时，则R较大、M较小，且向两侧衰减较快，荷载影响的范围较小；相反，如果钢轨的弯曲刚度EI较大，而基础相对较软，则荷载的影响将与上述情况相反。
（六）轨道刚度Ki
　　整个轨道结构的刚度Ki定义为使钢轨产生单位下沉所需的竖直荷载。由式(3—11)可知，在荷载作用点，钢轨的位移y=k/2uP，使y=1cm的荷载即为Ki,从而有

　　 由上式可知，如按相同比例增大u及EI，则刚比系数K不变，钢轨弯矩及枕上压力大小不变，但轨道刚度加大，位移减小．过大的轨道刚度将会增大由于轨道不平顺而引起的功荷载，加速轨道几何状态的恶化和轨道部件的失效。因此，铁路轨道既需要有足够的刚度．同时更需要有很好的弹性，尤其对高速铁路更是如此。
四、轮群作用下的y、M、R的计算
由于微分方程式(3—2)是线性的，其解式(3—8)-〔3一lO)的y M R、必然均与荷载P成正比，故力的叠加原理成立。当有多个轮载同时作用在轨道上时，考虑轮群作用的办法是：如要计算某一截面处的钢轨弯矩M，则将弯矩分布函数u的坐标原点O置于该截面处，称该截面为计算截面，如图3—5所示。然后分别计算各轮载对该计算截面的弯矩影响值，再将这些影响值叠加起来，即为各机车轮载在该截面所共同引起的弯矩。对钢轨挠度及枕上压力的计算办法也如此，具体计算公式如下：

　　由于相邻轮子的影响有正有负，因此，对于有多个车轮的机车．应分别把不同的轮位放在计算截面上，考虑左右邻轮对它的影内，从中找出产最大的轮队．我们称该轮位为最不利轮位，并把它作为计算依据。

概述
　　所谓结构动力分析的准静态计算，名义上是动力计算，而实质上则是静力计算。当由外荷载引起的结构本身的惯性力相对较小(与外力、反力相比)，基本上可以忽略不计，而不予考虑时，则可基本上按静力分析的方法来进行，这就是准静态计算，而相应的外荷载则称为准静态荷载。
　　 钢轨作为轨道结构主要部件、它的自振频率很高，高达1000Hz当轨道状态良好时，由机车车辆簧上及簧下部分质量的振动顺产生的作用于轨道上的动荷载，其频率一般只有几十赫兹，不能激起钢轨的振动，而且碎石道床具有很高的阻尼消振作用，冈此，在列车最后一个轮对过后根本测不到钢轨的振动。实测说明即使列车速度高达200Km/h,进动波形状与步行速度下的形状仍是一样的。这些都充分说明机车车辆作用于轨道的动荷载一般不能激发起钢轨的振动；高速条件下钢轨位移弹性曲线与按静载计算所得的弹性曲线基本上是相同的。这正是轨道强度的动力计算可以按准静态进行计算的理论和实验依据。
　　 由于机车车辆的振动作用，作用在钢轨上的动荷载要大于静荷载，引起动力增值的主要因素是行车速度、钢轨偏载和列车通过曲线的横向力，分别用速度系数、偏载系数和横向水平力系数加以考虑，统称为荷载系数。

速度系数
　　列车在直线区间轨道上运行时，由于轮轨之间的动力效应，导致作用在钢g轨上的动轮载Pd要比静轮载大，其增量随行车速度的增加而增大。
　　一般用速度系数a表示动载增量与静轮载之比，可以写作：
（3-24）
则

　　速度系数 a与轨道状态，机车类型等有关．可以通过大量试验确定。各国所采用的速度系数公式不尽相同，一般都是经验公式，大多与行车速度成线性或非线性关系。我国采用的计算式如表3—3所示，仅适用于行车速度v小于等于120km/h的情况。
表3—3速度系数

偏载系数
　　列车通过曲线时，由于存在未被平衡的超高(欠超高或余超高)，产生偏载，使外轨或内轨轮载增加，其增量与静轮载的比值称为偏载系数，用ß表示。

式中 P1——外轨(或内轨)上的轮载
　　P。——静轮载。
　　 如图3—10所示，以欠超高为例推求ß的计算公式。

　　把合力R分解为垂直于轨面线的合力F和平行于轨面线的分力F1，则由静力平衡条件可得：
(3-26)

式中 H——车体重心高度，货车一般取2．1—2．3m；
　　S1——左右钢轨中心线间距离．取1500mm。

代人式(3—26)得： (3-27)
代人式(3—25)得：

　　若取我国机车最大重心高度H＝2300mm，s1=1500mm代人上式，则偏载系数可简化为：
横向水平力系数
　　横向水平力系数f是考虑横向水平力和偏心竖直力联合作用下，使钢轨承受横向水平弯曲及扭转，由此而引起轨头及轨底的边缘弯曲应力增大而引入的系数，它等于钢轨底部外缘弯曲应力与中心应力的比值。可写作：
(3-28)

　　式中为轨底外绦和内线的弯曲应力；f可以根据对不同机车类型及线路平面条件下的大量实测资料，通过统计分折加以确定，如表3—4所示。仅在计算钢轨应力的动弯短Md中考虑f值。
表3-4横向水平力系数f

准静态计算公式
　　用准静态法计算钢轨动弯矩yd、钢轨动弯矩Md和枕上动压力Rd的计算公式如下：
（3-29）

　　式中yi、Mi 、Ri分别为钢轨的静挠度、静弯矩和静压力。
钢轨应力计算
　　钢轨应力包括残余应力、总本应力、局部应力和附加应力等。
　　（一）基本应力计算
　　检算钢轨强度时，基本应力包括竖直荷载作用下的动弯应力和因温度应力。力。
　　钢轨动弯应力用下式求取：

(3-30)

　　式中 为轨底最外纤维拉应力和轨头最外纤维反应力(MPa)；W1、W 2为钢轨底部和头部的断面系数，随钢轨类型及垂直磨耗量而异。
　　钢轨温度应力，对普通线路可按表3—5取值，对无缝线路应用式3—31进行计算。
表3-5温度应力

(3-31)

式中 为当地最高或最低轨温与锁定轨温之差值(0C)。
　　钢轨应力的检算条件为:
轨底 (3-32)
轨头

　　(二)局部应力计算
　　 局部应力包括车轮蹋面与钢轨接触处产生的接触应力和螺栓孔周围及钢轨截面发生急剧变化处的应力集中。接触应力由于轮轨接触面积很小，出现局部应力的高度集中，大大超过钢轨的屈服极限，引起头部压溃、钢料流动或形成高低不平的波浪形轨面，而在钢质较脆时．会产生头部劈裂和其它种类的钢轨伤损。
　　根据经典的赫兹接触理论．假定车轮和钢轨是两个互相垂直的弹性圆柱体，两者的接触面是一个椭圆形，最大接触应力qo发生在椭圆形中心。
其值为 (3-33)

　　式中 P——两圆柱体间的压力(N)
M一一椭圆形面积、等于,a 、b分别为椭圆形的长半轴和短半轴（cm）其值可由下式求出：

其个 r1、r2—车轮踏面及钢轨顶面半径(cm);

　　沿着椭圆面的法向压应力q，按半椭圆体规律分市：

　　轮轨接触产生的剪应力，根据前苏联H.M.begreb教授的研究，最大剪应力发生在轮轨接触面以下的某一深度，其值约为：
(3-34)

　　在接触面以下发生最大剪应力的深度h和半轴a及b0的大小有关。

(3-35)

表3-7 m9 及n0的值

　　对于接触应力和其他局部应力不进行直接验算，而是根据研究问题的件质、通过理论分析或实验方法确定局部应力与基本应力之间的关系，并与基本应力为表达式建立局部府力的强度条件。
轨枕强度检算
（一）木枕项面承压应力
(3-36)

式中一木枕横纹承压动应力(MPa)；
　　F——轨底或垫板与木枕的接触面积(cm2)；
　　Rd——钢轨动压力(N)；
　　[]——木材横纹允许承压应力，对松木取1．4MPa，杉木取10．4MPa，桦木取3．9MPa
　　桉木取4．2MPa。
　　混凝土枕抗压强度大、一般不检算其承压应力。
（二）混凝土轨枕弯矩
计算轨枕弯矩时，通常把它视为支承在弹性基础上的短梁，分别取最不利支承图式。检酸轨下截面正弯矩Mg。采用图3——11所示的道床支承方式，是假定轨枕中间部分完全掏空，可得Mg的检算公式：

式中al——荷裁作用点至枕端距离，取a1=50cm；
　　e——一股钢轨下，轨枕的全支承长度，取e＝95cm
　　b’——轨下衬垫宽度，一般取gui 5底宽(cm)；
　　Ks——轨枕设计系数，暂定为1；
　　[Mg]——轨下截面允许弯矩，与软枕类型有关，I型枕可取为11．9kN.m、
　　II型枕可取13．3kN·m。
　　 检算中间截面负弯矩Mc时，采用图3—12所示的道床支承方式，即轨枕中部为部分支承，道床支承反力取全支承时的3/4。

　　Mc的检算公式为：
(3-38)
式中 l——轨枕长度(cm)；
　　[Mc]——中间截面允许负弯矩，与轨枕类型有关，I型枕可取8．8kN·m，II型枕可取
　　10．5kN·m；
　　[Mg]、[Mc]可由轨下断面和中间断面未开裂极限弯矩防以相应的安全系数求得；
　　木枕有足够的抗弯强度，一般不进行此项检算。
道床应力分析
　　（一）道床项面应力
　　道床顶面的应力，无论是沿轨枕纵向还是横向，分布都是不均匀的，压力分布如图
3-13所示。
　　道床顶面上的平均压应力为
(3-39)

式中 b——轨枕底面宽度，木枕b=22cm，混凝土枕取平均宽度b＝27.5cm；
　　e'---一股钢轨下的轨枕有效支承长度、木枕e'=110cm，混凝土枕中间部分掏空时，取e'=95cm(适用I型枕)；中间不掏空时e'=3l/8+e/4。当l＝250cm，e=95cm时，e'＝l17．5cm(适用II型枕)。

　　考虑到实际应力分布的不均匀性，道床顶面上的最大压应力为
(3-40)
　　式中 m——应力分布不均匀系数，取M＝1．60。
　　(二)道床内部及路基顶面应力
　　常用的道床应力近似计算法，有如下假设：

(1)道床上的压力以扩散角2按直线扩散规律从道床顶面传递到路基顶面；
(2)不考虑相邻轨枕的影响；
(3)道床顶面的压力是均匀分布的。道床内部压力的传递如图3—14所示。
轨枕横向及纵向的压力扩
散线交点分别为k1、k2，距枕底高度分别为h1、h2。由图中

可求得

　　根据h1、h2将道床划分为三个区域．三个区域中应力计算的公式也不相同。
　　(1)第一区域
　　从图中可见，如在深度h处作一水平层面，层面上的压应力分布形成—梯形台体，台体的 高度为该处的道床应力。台体的体积V=b.e'..相邻道床顶面压力Rd应相等、由此得出

　　考虑到道床顶面应力的不均匀性，因此，此区域道床应力为
(3-41)

(3-42)

(3-43)

　　路基面应力可根据道床厚度h的不问，分别按L(3—41)—(3—43)进行计算。
　　(三)道床及路基面的强度检算

道床 (3-44)
路基面 (3-45)

式中 []——道床允许承压应力，对碎石道床[]＝0.5MPa，筛选卵石道床[]=0.4MPa，冶金矿碴道床[]＝0.3MPa；
　　[]——路基表面允许承压应力，新建线路路基[]＝0.3MPa，既有线路基[]=0.15MPa。
钢轨接头受力分析
　　英国铁路Derby技术中心在70年代韧，曾对钢轨接头的轮轨冲击问题做了大量深入的研究工作。首先是莱昂(Lyon)用弹性地基上的欧拉(Enler)梁模型提出了对接头轮轨力的分析结果，如图3—15所示。它表明轮轨力P(t)随时间而变化，并存在两个峰值。车轮越过接头后1/4--1/2ms时间内，出现第一个力的蜂值P1，这是个高频力。车轮越过接头约ms后出现了第二个峰值P2，是个中频力。当行车速度为160Km／h时，p2力将作用在接头驶入端的第一根轨枕上。P1是高频瞬时冲击荷载，其作用很快被钢轨及轨道的惯性反作用力所抵消。P1力的破坏作用对钢轨最严重，其次由于P1引起的道床振动加速度对道床断面的稳定性也有较大的破坏作用。而P2则是小频的推静态动力荷载，其对轨枕、道床和路基基面的破坏作用较大。

　　以下介绍的内容主要来自许实儒教授的研究工作。
　　1.轮轨冲击的必要条州在车轮不脱离钢轨的前提下，产生冲击的必要条件是在某一瞬间轮轨有两点接触、如图3—16所示．钢轨接头处右侧钢轨沉陷角ø，接头错牙为h。设车轮以速度v0运行，在钢轨接头处以A点为瞬心以绝对速度Vp冲击钢轨B点。

　　式中 称为冲击角；
　　 将VB分解为法向速度Vc和切向速度Vt，从而有
(3-47)

　　Vc即碰撞速度。这时钢轨给车轮以冲击反力．P通过车轮质心，对车轮来说成了对心正碰撞问题，P力即为所求冲击压力，切向反力PT则阻止车轮滑动，如图3—17所示。

图3—17冲击压力 图3一18 P1力计算模型

　　2．Pl的计算
　　经典力学的碰撞问题多不考虑冲击体的静载。采用图3一18的计算模型，簧下质量mu以速度Vc冲击轨端。将轨道的参振质量简化为一个集中的有效质量Mt。对轮与轨分别取隔离体并列出相应的动力平衡方程。坐标及符号规定为：轮轨各自的坐标原点为开始接触瞬间轮轨各自的重心位置，轮轨位移均以向下为正。由牛顿第二定律可得：
(3-48)
(3-49)

　　式(3-48)减(3—49)得
(3-50)

　　由弹性力学的赫兹理论知：p=na3/2
　　式中P——轮轨压力(N)；
　　a——轮轨接触时相互压缩的距离(mm)；
　　n——按照赫兹理论推导出来的常数，此处轮轨按两个相互垂直的圆柱体相接触考虑。
　　当轨顶圆弧半径r2＝300mm．车轮直径2r1=840mm时，n=2.85x106N/mm3/2。
　　 出a的定义可知有
(3-52)
　　将式(3-51)及(3—52)代入(3—50)得

　　注意此时巳将轮及轨的坐标转换为相对位移坐标、且小得为负值。
　　将上式两边各乘以da/dt

积分得 (3-53)

　　当轮轨碰撞达到最大压缩时，相对速度为零，亦即da/dt=0、这时最大压缩距离为amax，由此可得
(3-54)
可直接求出 (3-55)

　　将式(3—55)代人式(3—51)并代入Vc=ßVo
　　P1力则可表示为
(3-56)

　　Pl的大小与静轮载无关，受簧下质量mu影响很小，或者说P1的大小基本上与机车车辆无关，要减小P1主要靠减小钢轨垫板的动刚度，以减小轨枕的参与质量。P1的规律对所有冲击荷载具有普遍意义。

　　3.P2力计算
　　在钢轨接头处，车轮以速度vo冲击钢轨。现将轮轨系统简化为单自由度Mu-Kt系统，如图3-19所 示。这样，问题就成为：在初速度Vc作用下，车轮质量Mu在轨道弹簧Kt上的自由振动问题o按钢轨在车轮荷载作用下产生最大位移的条件确定P2力 由于作用时间很短，可不考虑阻尼的作用。以静荷载Po作用下的静平衡位置作为坐标原点，可采用两种方法计算P2力：
　　(1)动力方程法

取簧下质量为自由体可得:
(3-57)

(3-58)

　　当sinWut＝1时，得ymax，从而得最大动力附加荷载
(3-59)
　　由于Vc=ßVo，加上静裁，井考虑到接头处的轨道刚度较低，应乘以小于l的系数。
　　最后得 (3-60)

　　(2)能量法
　　簧下质量具有初速Vc，则其具有动能MuVc2/2，当达到最大位移时，动能全部转化为势能，即达到ymax时y’＝0，从而
　　加上静裁，并考虑后得：

　　由于簧下质量振动而引起的动力附加荷栽是中频的，性质是准静态的。这种准静态荷载不只是在接头处存在，沿着线路延长方向是普通存在的(量值是随机的)，对轨道结构来说是主要荷载。由式(3—59)可知这种荷载与成正比，由此可见增加轨道弹性，限制及减小机车车辆簧下质量对减小轮轨相互动力作用的重要意义，尤其对高速铁路来说更是如此。
摩擦中心法
　　古典曲线通过理论一摩擦中心法，是指南德国学者Heumann和英国学者Porter分别于1913年和1934年完成的,以最小方法为原理的图解法及以平衡人程为基础的分析法。该理论直至60年代一直作为唯—的方法，用于机车车辆曲线通过的分析。在现时，对小半径曲线钢轨导向力的计算仍然适用。
　　（一）基本假设与计算模型
　　（1）假设转向架为刚件转向架，即前后轮轴对于转向架纵铀不能做相对转动。
　　（2）假设车轮踏面为圆柱形。即不考虑其锥度。
　　（3）假设备车轮的轮重均相等，与轨顶面的摩擦系数亦均相同。
　　（4）不考虑牵引力的作用，假设各力均作用于轨顶而的平而内。
　　转向架在曲线轨道上行驶，从运动学角度看。这是—种有几何约束的平面运动。它可以看成是两种运动的合成：一种是转向架沿切向的平动，另—钟是绕转动中心(实为基点）的转动，转动中心c位于曲线半径与转向架纵轴或其延长线的垂直交点上。转向架的前轴外轮称为导向轮，钢轨给导向轮一导向力N，迫使转向架转向。N作用于导向轮轮轨侧向接触点A处。转向架纵轴与A点切线的交角a称为冲角。
　　把转向架作为刚体看待，它的平面运动应有三个自由度，对它的平衡问题求解应有三个静力平衡条件。由于在假设中不考虑纵向力，剩下的两个自由度可用前后轴的外轮距外轨的距离表示。由于假设前轴外轮是贴靠外轨的，或者是转向架是靠导向力使之转向的，剩下的后轴外轮距外轨的距离这样一个自由度可以用转动中心C 距前轴的距离X1表不，亦即转向架相对于曲线轨道的位置可由—个广义坐标X1来决定。但此时却多了一个导向力(或说约束力，为未知量，所以计算模型是一个自由度两个未知量的力学问题，需用两个独立的平衡方程求解。
　　(二)问题的求解
　　图3—20所示为一个转向架在曲线上作稳态行驶时的受力情况。图中所示各力，均为作用于转向架上的力，其中导向力N着力点与前轴的距离称做超前值，因数值很小，在计算上忽略不计。钢轨顶面对各轮踏面的滑动阻力均为uP。
　　将摩擦阻力uPi分解为沿转向架纵轴方向的分力Ti和与其垂直方向的分力Hi。

　　因车轴移动，使车轴中点与轨道中点不重合所形成的偏差很小．在计算中忽略其影响。
　　所以有 (3-61)

式中x1——转动中心至前轴的距离；
　　s1——内外钢轨顶面中点间距离；
　　i——车轮编号i＝1—4。
　　由
得 （3-62）
由
得 （3-63）

式中 J——车辆分配到—个转向架上的离心力(N)，其值为mv2/R。
　　式(3一62)是只含一个未知量xl的超越方程，需用试算法术解。
　　求得x1后，代入(3—63)即可求得导向力N。
　　对导向轮来说，作用在轨道项面的H1与作用在钢轨侧面的导向力N，在竖直向只相隔几毫米，实测不能直接测得H1或N，只能测得它们的差值F1=N-H1，称F1为导向轮作用于外轨的横向水平力。其它车轮对钢轨作用的横向水平力等于接触面上的摩擦力的横向分力，而符号与图示方向相反。
蠕滑中心法
　　摩擦中心法的最大优点是模型简单、计算方便、便于推广应用。由于历史条件的限制，摩擦中心法也存在着明显的不足之处。最主要的是假定车轮路面为圆柱面，因而无法考虑轮对通过曲线时内外轮滚动圆半径差，其结果是不仅不能反映轮对的自导向作用，甚至不能明显的反映不同半径的影响，即在一定的末被平衡超高的条件下，该法对不同半径的曲线求出的导向力是相同的。其次是假设各轮踏面与钢轨接触处的切向作用力都是摩擦力，即相当于认为各车轮都是打滑的，这种情况只在小半径曲线上才会发生。另外，未考虑轮对的偏载效应、对计算结果也有一定影响。
　　蠕滑中心法，运用当代机车车辆动力学的研究成果，对摩檫中心法作了重要改进．即采用了锥形踏面，计人了轮对的偏载效应，引用了蠕滑理论，并考虑了蠕滑系数的非线性。
　　（一）蠕滑率和蠕滑力分桥
　　转向架通过曲线时，其轮对不可能总是实现纯滚动，亦即车轮的前进速度不等于其滚动形成的前进速度，车轮相对于钢轨会产生根微小的滑动，即所谓蠕滑。在轮轨之间接触面上存在着切向力，这个切向力与轮轨的弹性变形有关，这就是所谓的蠕滑力。蠕滑力的方向总是与滑动的方向相反．其大是由蠕滑率决定的。无因次的蠕滑率表示车轮实际滚动状态相对纯滚动状态的偏离程度，实则为相对滑动率。Carter早在本世纪20年代首先认识蠕滑的作用并将其应用于轮轨动力学中，他定义纵向蠕滑率相横向蠕滑率为
=(实际前进速度—纯滚动的前进速度)／由滚动形成的前进速度
＝(实际横向速度—纯滚动的横向速度)／由滚动形成的前进速度

　　上式中的速度差称为蠕滑速度，当曲线几何参数一定时，可由轮对在曲线上占有的几何位置来决定。
　　蠕滑力F和蠕滑率之间的关系只行在较小的蠕滑率范围内，才是线性的：在线性范围内即小蠕滑的情况下，该直线的斜率叫做蠕滑系数，如图3- 21所示：

　　蠕滑力
　　负号表示蠕滑力的方向和滑动的方向总是相反的。
　　在车轮产生大蠕滑以至打滑的情况下，蠕滑力趋向饱和、最大的蠕滑力即库仑摩擦力。

　　可以证明 yo＝—酱，如图3—22所示。
　　式中负号表示y。在曲线中心线外侧。
　　ro——车轮半径；
　　2bo——轮对的左右两轮与钢轨接触点之间的距离；
　　——锥形踏面的斜率，是一个常数；
　　R——曲线半径。
　　对于一定的轮对踏面斜率和一定半径的曲线，纯滚线的位置是确定的。
　　如转向架的轮对中心不在纯滚动线上，轮轨之间必有滑动，从而产生纵向蠕滑力。蠕滑力的大小及方向皆由相对位移y*=y-y。决定。y是轮对中心相对线路中心线向外移动的距离，规定向外为负，向内为正，如图3—23所示。也就是说当轮对中心移向纯滚线之外时，y*为负，此时外轮滚动半径大于纯滚动所需的半径，滚动一周所走距离相对于纯滚动时的位置是超前的。相反，内轮的滚动半径则小于纯滚动时的半径，滚动一周所走的距离相对于纯滚动时的位置是滞后的。由于车轮踏面的锥形效应，此时外轮必将向后滑动．内轮必将向前滑动，因此，外轮所受的纵向蠕滑力与滑动方向相反，是向前的，内轮的纵向蠕滑力是向后的。同理，当轮对中心相对线路中心线向外移动的距离较小，y*为正时，就会出现与上述相反的情况。不论怎样，外轮与内轮上的纵向蠕滑力方向总是相反的，在小蠕滑情况下大小近似相等，形成一个蠕滑力偶。对于大半径曲线，y。量值很小，这就有可能形成一个顺时针方向的力矩，有利于转向架转向，必减小导向力的作用，甚至完全实现儒滑导向。对小半径曲线来说，纵向儒滑力产生逆时针的力矩，导向力势必增大才能转向，因此导向力随曲线半径的增大而减小这是必然的。

　　根据定义，蠕滑速度Av=实际的速度 - 纯滚动的速度 。
在纵向有
　　下角标r、L分别表示右轮和左轮
　　相应的蠕滑率
(3-64)

　　纵向蠕滑力
(3-65)

　　轮对中心在外移的同时，轮对中轴线相对于径向线偏转 一 个微小的角度¢。可将前进的速度V分解为一个垂直于轮对中轴线力方向的分速度Vl和 一个与中轴线方向相同的分速度V2。
应有
则横向蠕滑率 (3-66)
横向蠕滑力 (3-67)

　　¢角规定顺时针转为正．逆时针转为负。
　　由于本方法应用于从小半径到大半径的所有曲线，故必须考虑蠕滑力的非线性特性，可以采用推理法非线性模型进行近似计算。
　　（二）计算模型
　　蠕滑中心法仍采用刚性转向架和一个自由度的力学模型，转向架相对曲线规道的位置可由一个广义坐标来决定，也就是说一旦转动中心的位置确定了，整个轮轨间的相对位置也就因之而定。
　　假设车轮踏面为锥形，在轮轨接触面k作用着纵向和横向的蠕滑力。蠕滑力由蠕滑率决定，而蠕滑率在一定的轴载和轮轨踏面形状的条件下，则可由轮对运动学条件和偏载值决定。蠕滑力和蠕滑率的关系采用非线性模型，同时考虑因未被平衡超高造成内外轮轮载的不相等对蠕滑力的影响。
　　其他力学条件与摩檫中心法相同。
　 （三）计算方法
　　(1)以一个右曲线为例，规定坐标系的正向如图3—24所示。

　　1.计算蠕滑系数及蠕滑力
　　由Kalker公式确定蠕滑系数
　　f11(纵向)=E(a.b).C11
　　f22(横向)=E(a.b).C22
　　式中a和b——接触椭圆的长短半轴；
　　E——材料的抗拉弹性模量；
　　Cij--无量纲的Kalker系数,(i为坐标方向j为滑动方向，1为纵向v,2为横向)
　　与泊桑比及a／b有关，可从Cij的数值计算表中查得。
　　蠕滑力由下列公式确定
(3-69)
式中x，y——纵向和横向；
　　q ——由未被平衡的超高引起的轮重变化率；
　　前轴横移量yl为定值、即等于轮轨游间之半，而后轴横移量y2可内几何关系求得,

是x1的函数。前轴偏转角亦即冲角．，总为负值，后轴偏转角，可正可负．由转动中心位置r1而定 以以上可知，作用在各轮上的蠕滑力均可唯一地确定。蠕滑力和蠕滑率非线性关系的近似计算、可采用Johnson逼近公式，先确定缩减因子c，然后确定缩减后的纵横向 蠕滑力。

　　(2)计算末被平衡离心力

式中 W——轮重；