备战高考数学――名师精编预测题跟踪演练详解系列2.doc

备战09高考数学――名师精编预测题跟踪演练详解系列二
1. (本小题满分12分)
已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.
(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.
(2) 对任意n ³ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n)
解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,
∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分
（2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数,
∴ 当n ³ a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n £ n n – ( n + a)n. 2分
又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分
( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分
∵( n + a ) > n ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分
2. (本小题满分12分)
已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,vÎ[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .
(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？
(2) 判断函数g(x)=，是否满足题设条件？
解： (1) 若u ,v Î [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u2 – v2 |=| (u + v )(u – v) |，
取u = Î[–1，1]，v = Î[–1，1],
则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = | u – v | > | u – v |，
所以p( x)不满足题设条件.
（2）分三种情况讨论：
10. 若u ,v Î [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；
20. 若u ,v Î [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；
30. 若uÎ[–1，0]，vÎ[0，1]，则：
|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;
40 若uÎ[0，1]，vÎ[–1，0], 同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件.
3. (本小题满分14分)
已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x ¹ –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ¹ 0 ).
(1) 求证：| ac | ³ 4;
(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增.
(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
证：(1) ∵ tÎR, t ¹ –1,
∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 ³ 0 ，
∵ c ¹ 0, ∴c2a2 ³ 16 , ∴| ac | ³ 4.
(2) 由 f ( x ) = 1 – ,
法1. 设–1 < x1 < x2, 则f (x2) – f ( x1) = 1– –1 + = .
∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1 – x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,
∴f (x2) – f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , ∴x ³ 0时，f ( x )单调递增.
法2. 由f ` ( x ) = > 0 得x ¹ –1,
∴x > –1时，f ( x )单调递增.
（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ³ > 0 ,
∴f (| c | ) ³ f () = =
f ( | a | ) + f ( | c | ) = + > +=1.
即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
4．（本小题满分15分）
设定义在R上的函数（其中∈R，i=0,1,2,3,4），当
x= －1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．
（1） 求f (x)的表达式；
（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；
（3） 若，求证：
解：（1）…………………………5分
（2）或…………10分
（3）用导数求最值，可证得……15分
5．（本小题满分13分）
设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．
解：设点的坐标
则……1分
………………………………………………………3分
由（1）－（2）可得………………………………6分
又MN⊥MQ，所以
直线QN的方程为，又直线PT的方程为……10分
从而得所以
代入（1）可得此即为所求的轨迹方程.………………13分
6．（本小题满分12分）
过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
解法（一）：（1）设
由得：

………………………………3分
直线PA的方程是：即 ①
同理，直线PB的方程是： ②
由①②得：
∴点P的轨迹方程是……………………………………6分
（2）由（1）得：

…………………………10分

所以
故存在=1使得…………………………………………12分
解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且
∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且
设PA的直线方程是
由得：
即…………………………3分
即直线PA的方程是：
同理可得直线PB的方程是：
由得：
故点P的轨迹方程是……………………………………6分
（2）由（1）得：

………………………………10分

故存在=1使得…………………………………………12分
7．（本小题满分14分）
设函数在上是增函数.
（1） 求正实数的取值范围；
（2） 设，求证：
解：（1）对恒成立，
对恒成立
又 为所求.…………………………4分
（2）取，，
一方面，由（1）知在上是增函数，

即……………………………………8分
另一方面，设函数

∴在上是增函数且在处连续，又
∴当时，
∴ 即
综上所述，………………………………………………14分
8．(本小题满分12分)
如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1) 设双曲线的方程为，
则．
由，得，即．
∴ （3分）
解之得，∴．
∴双曲线的方程为． （5分）
(2) 设在轴上存在定点，使．
设直线的方程为，．
由，得．
即 ① （6分）
∵，
，
∴．
即． ② （8分）
把①代入②，得
③ （9分）
把代入并整理得

其中且，即且．
． （10分）
代入③，得
，
化简得 ．
当时，上式恒成立．
因此，在轴上存在定点，使． （12分）
9．(本小题满分14分)
已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记．
(1) 求；
(2) 试比较与的大小（）；
(3) 求证：，（）．
解：(1) ∵， ①
∴． ②
②－①，得
，
即． （3分）
在①中令，可得．
∴是首项为，公比为的等比数列，． （4分）
(2) 由(1)可得．
．
∴， （5分）
．
而，且，
∴，．
∴，（）． （8分）
(3) 由(2)知 ，，（）．
∴当时，．
∴
， （10分）
（当且仅当时取等号）．
另一方面，当，时，

．
∵，∴．
∴，（当且仅当时取等号）．（13分）
∴．（当且仅当时取等号）．
综上所述，，（）．（14分）