寒假讲义1——倍长中线专题.doc

中考数学之王
专题2A01：全等三角形—倍长系列
纵贯线
【引子1】（09丰台二模）操作:如图1,点为线段的中点,直线与相交于点,请利用图1画出一对以点为对称中心的全等三角形.
探究:如图2,在四边形中,AB∥DC,为边的中点,,与的延长线相交于点.试探究线段与之间的等量关系,并证明你的结论.

【引子2】求证：若三角形一边上的中线和它所对角的角平分线互相重合，则这是一个等腰三角形

解题思路及知识总结：

【例1】（难度★★★）（新年华题库）在△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上的一点，EF交BC于D，DE=DF.求证：BE=CF

【例2】（难度★★★☆）（新年华题库）已知：AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，且BC＝2AB．
　　求证：AC＝2AE．

【例3】（难度★★★）（新年华题库）已知：在△ABC中，AD是BC边的中线，过B作射线BE，分别交AC、AD于点E、F，若AF∶FD＝1∶5，求:AE∶EC

解题思路及知识总结：

【例4】（难度★★★☆）（新年华题库）已知AB为半圆的直径，C为圆周上一点，D为弧BC的中点，连结AD、AC、BD，延长AC、BD并相交于点F，E为AB的三等分点，连结EF，交AD于G。

求证：G为AD的中点。

【例5】（难度★★★★）（新年华题库）已知：抛物线y=－x2+mx+2m2(m＞0)与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，C是抛物线上一个动点(点C与点A、B不重合)，D是OC的中点，连结BD并延长，交AC于点E。
（1）用含m的代数式表示点A、B的坐标；（2）求的值；
（3）当C、A两点到y轴距离相等，且时，求抛物线和直线BE的解析式。

解题思路及知识总结：

【例6】（难度★★★）（新年华题库）已知：如图6，在△ABC中，D为BC边中点，FD⊥ED于点D,交AB、AC于点F、E。
求证：BF＋CE＞EF

【例7】（难度★★★★☆）（新年华题库）在△ABC中，点D，E是BC边的三等分点，求证AB+AC>AD+AE

解题思路及知识总结：

【例8】（难度★★★★）（新年华题库）已知：在△ABC中，AD为BC边上的中线，P为AD上任一点，连结BP、CP并延长分别交AC、AB边于点E、F，连结EF。
求证：EF∥BC

【例9】（难度★★★）（新年华题库）AD∥BE，C是∠DAB和∠EBA的角平分线的交点.求证：AD+BE=AB

【例10】（难度★★★★★）（08宣武二模）已知正方形ABCD和等腰，BE=EF，∠BEF=，按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，联结EG、CG.
（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；
（2）将图1中△BEF绕B点顺时针旋转，再联结DF，取DF中点G（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在到之间），再联结DF，取DF的中点G（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.

图1 图2 图3

课堂练习
1、（难度★★★）（新年华题库）已知：如图，△ABC中，，E是BD的中点。
求：

2、（难度★★★☆）（新年华题库）已知：如图在△ABC中，AD为BC的中线，E为AC上一点，BE与AD交于F，AE=EF.
证明：AC=BF

3、（难度★★★★）（新年华题库）矩形ABCD中,∠ONC=90°,求证：△ANO∽△DCN.
若DN=AN,求证: AO+CD=CO

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