理论力学第四章 空间力系.doc

  第四章 空间力系 
    本章将研究空间力系的简化和平衡条件。工程中常见物体所受各力的作用线并不都在同一平面内，而是空司分布的，例如车床主轴、起重设备、高压输电线塔和飞机的起落架等结构。设计这些结构时，需用空间力系的平衡条件进行计算。 
与平面力系一样，空间力系可以分为空间汇交力系、空司力偶系和空间任意力系来研究。 
§4-1   空间汇交力系 
1.力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解 
    若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为α 、β、γ，如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F的大小乘以与各轴夹角的余弦，即 

X=cosα 
Y=cosβ         (4-1) 
Z=cosγ 
    当力与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力先投影到坐标平面Oxy上，得到力，然后再把这个力投影到x、y轴上。在图4-2中，已知角γ和，则力在三个坐标轴上的投影分别为 

X=sinγcos 
Y=sinγsin            (4-2) 
Z=cosγ 
    若以、、表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿x、y、z坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则 
图4-2
=++=Xi+Yj+Zk            (4-3) 
由此，力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为:
=Xi，=Yj，=Zk            (4-4)
如果己知力F在正交轴系Oxyz的三个投影，则力F的大小和方向余弦为 
=
cos(,i)=
cos(,j)=            (4-5)
cos(,k)=
    例4-1  图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力的作用。已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) β和压力角α，试求力沿x、y和z轴的分力。

解:先将力向z轴和Oxy平面投影，得 
Z=-sinα 
=cosα 
再将力向x、y轴投影，得 
X=-sinβ=-cosαsinβ 
Y=-cosβ=-cosαcosβ 
则沿各轴的分力为 
=-cosαsinβi，=-cosαcosβj，=-sinαk
式中i、j、k为沿x、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。称为轴向力，称为圆周力，称为径向力。 
    例4-2　　己知力沿直角坐标轴的解析式为 
=3i+4ｊ-5k(kN) 
试求这个力的大小和方向，并作图表示。 
解:将上式与式(4-3)比较，可得 
X=3,Y=4,Z=-5
根据式(4-5)求得 
==5
cos(,i)==0.4243 
cos(,j)= =0.5657 
cos(,k)= =-0.7071 
则角度为 
（,i）=α=64.9° 
(,j)=β=55.55° 
(，k)=γ=180°-45°=135° 
如图4-5所示。 

2．空间汇交力系的合力与平衡条件 
    将平面汇交力系的合成法则扩展到空间，可得:空间汇交力系力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。合力矢为 
=++…+= (4-6) 
由式(4-3)可得 
=i+j+k 　　　　(4-7) 
其中、、为合沿x、y、z轴投影。由此可得合力的大小和方向余弦为 
= 
cos(,i)= 
cos(,j)= (4-8) 
cos(,k)=  
    例4-3　在刚体上作用有四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。

单位
X
1
2
0
2
kN
Y
10
15
-5
10
kN
Z
3
4
1
-2
kN
解: 
由上表得 
=l+2+0+2=5kN 
=10+15-5+10=30kN
=3+4+1-2=6kN 
代人式(4-5)得合力的大小和方向余弦为 
==31kN 
cos(,i)=,cos(,j)= ,cos(,k)=  
由此得夹角 
(,i)=80°43',(,j)=14°36',(,k)=78°50'
由于一般空间汇交力系合成为一个合力，因此，空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的合力等于零，即 
==0(4-9) 
由式(4-8)可知，为使合力为零，必须同时满足:
=0
=0
(4-10) 
=0 
于是可得结论，空间汇交力系平衡的必要和充分条件为:该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。式(4-10)称为空间汇交力系的平衡方程。 
应用解析法求解空间汇交力系的平衡问题的步骤，与平面汇交力系问题相同，只不过需列出三个平衡方程，可求解三个未知量。 
    例4-4 如图4-6a所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于。轴。已知:CE=EB=DE，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30°(参见图4-6b)，物重P=l0kN。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳子的拉力。 

解:取起重杆AB与重物为研究对象，其上受有主动力P,B处受绳拉力与;球铰链A的约束反力方向一般不能预先确定，可用三个正交分力表示。本题中，由于杆重不计，又只在A、B两端受力，所以起重杆AB为二力构件，球铰A对AB杆的反力必沿A、B连线。P，，和四个力汇交于点B，为一空间汇交力系。 
取坐标轴如图所示。由已知条件知: ∠CBE=∠DBE=45°，列平衡方程 
=O, sin45°-sin45°=0
=O, sin30°-cos45°cos30°-cos45°cos30°=0
=0, cos45°sin30°+cos45°sin30°+oos30°-P=0
求解上面的三个平衡方程，得 
==3.54kN
=8.66kN
为正值，说明图中所设的方向正确，杆AB受压力。

§4-2   力对点的矩和力对轴的矩 
1．力对点的矩 
    对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足以概括它的全部要素。但是在空间的情况下，不仅要考虑力矩的大小、转向，而且还要注意力与矩心所组成的平面的方位。方位不同，即使力矩大小一样，作用效果将完全不同。例如，作用在飞机尾部铅垂舵和水平舵上的力，对飞机绕重心转动的效果不同，前者能使飞机转弯，而后者则能使飞机发生俯仰。因此，在研究空间力系时，必须引人力对点的矩这个概念;除了包括力矩的大小和转向外，还应包括力的作用线与矩心所组成的平面的方位。这三个因素可以用一个矢量来表示:矢量的模等于力的大小与矩心到力作用线的垂直距离h(力臂)的乘积;矢量的方位和该力与矩心组成的平面的法线的方位相同;矢量的指向按以下方法确定:从这个矢量的末端来看，物体由该力所引起的转动是逆时针转向，如图4-7所示。也可由右手螺旋规则来确定。 

力对点O的矩的矢量记作。即力矩的大小为 
=h=2△OAB 
式中△OAB为三角形OAB的面积。 
由图4-7易见，以r表示力作用点A的矢径，则矢积r×的模等于三角形OAB面积的两倍，其方向与力矩矢一致。因此可得 
=r×            (4-11) 
上式为力对点的矩的矢积表达式，即:力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。 
若以矩心O为原点，作空间直角坐标系Oxyz如图4-7所示，令i、j、k分别为坐标轴x、y、z方向的单位矢量。设力作用点A的坐标为A(x,y,z)，力在三个坐标轴上的投影分别为X、Y、Z，则矢径r和力分别为 
ｒ=xi＋yj＋zk
=Xi+Yj+Zk 
代人式(4-11)，并采用行列式形式，得 
=r×F =
=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(zY-yX)k?? (4-12) 
由于力矩矢量的大小和方向都与矩心O的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩心，不可任意挪动，这种矢量称为定位矢量。
2．力对轴的矩 
    工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力对绕定轴转动刚体的作用效果，必须了解力对轴的矩的概念。如图4-8a所示，门上作用一力，使其绕固定轴z转动。现将力分解为平行于z轴的分力和垂直于z轴的分力(此力即为力在垂直于z轴的平面Oxy上的投影)。由经验可知，分力不能使静止的门绕z轴转动，故力从对z轴的矩为零;只有分力才能使静止的门绕z轴转动。现用符号表示力对z轴的矩，点O为平面Oxy与z轴的交点,h为点O到力作用线的距离。因此，力对，轴的矩就是分力巧对点0的矩，即 
==±h 
=±2△OAB                (4-13)

于是，可得力对轴的矩的定义如下:力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩的大小。其正负号如下确定:从，轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴按逆时针转向技妥，则取正号，反之取负号。也可按右手螺旋规则确定其正负号，如图4-8b所示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。 
力对轴的矩等于零的情形:(1)当力与轴相交时(此时h=0);(2)当力与轴平行时(此时=0)。这两种情形可以合起来说:当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。 
力对轴的矩的单位为N·m。 
力对轴的矩也可用解析式表示。设力F在三个坐标轴上的投影分别为X、X、Z。力作用点A的坐标为x、y、z，如图4-9所示。根据合力矩定理，得 
==+ 
即 
=xY-yX 
同理可得其余二式。将此三式合写为 
=yZ-zY 
=zX-xZ            (4一14) 
=xY-yx
以上三式是计算力对轴之矩的解析式。 

    例4-5  手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F,如图4-10所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为α。如果CD=α,杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力对x、y和z三轴的矩。 
解:将力F沿坐标轴分解为和两个分力，其中=Fsinα, =Fcosα。根据合力矩定理，力F对轴的矩等于分力和对同一轴的矩的代数和。注意到力与轴平行或相交时的矩为零，于是有 

==-(AB+CD)=-F(l+a)cosα 
==-BC=-Flcosα 
==-(AB+CD)=-F(l+a)sinα 
本题也可用力对轴之矩的解析表达式(4-14)计算。力F在x、y、z轴上的投影为
X=Fsinα,Y=0,Z=Fcosα 
力作用点D的坐标为 
x=-l，y=l+a，z=0
按式(4-14)，得 
?=yZ-zY=(l+a)(-Fcosα)-0=-F(l+a)cosα 
=zX-xZ=0-(-l)(-Fcosα)=-Flcosα 
=xY-yX=0-(l+a)(Fsinα)=-F(l+a)sinα 
两种计算方法结果相同。 
3．力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系 
    由矢量解析式(4-12)可知，单位矢量 i、j、k前面的三个系数，应分别表示力对点的矩矢在三个坐标轴上的投影，即
=yZ-zY 
=zX-xz            (4-15) 
=xY-yX 
比较式(4-15)与(4-14)，可得 
= 
=            (4-16)
= 
上式说明:力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。 
上述结论也可指就由力矩的定义来证明。设有力F和任意定O,如图4-11所示，作矢表示该力对点O的矩，他垂直于三角形OAB的平面，其大小为 
=2△OAB 

过点O作任意轴z。将力投影到通过O点且垂直于z轴的平面Oxy上，根据式(4-13)，求得力对z轴的矩为 
==2△Oab 
而△Oab是△OAB在平面Oxy上的投影。根据几何学中的定理，AQ访的 
面积等于八QAB的面积乘以这两三角形所在平面之间夹角的余弦。这两平面的夹角等于这两平面法线之间的夹角γ,也就是矢量与，轴之间的夹角(图4-11)，故 
△OABcosγ=△Oab 
则 
cosγ=
此式左端就是力矩矢在z轴上的投影，可用表示。于是上式可写为 
=
即式(4-16)的第三等式。同理可证得式(4-16)的另外两个等式。 
式(4-16)建立了力对点的矩与力对轴的矩之间的关系。因为在理论分析时用力对点的矩矢较简便，而在实际计算中常用力对轴的矩，所以建立它们二者之间的关系是很有必要的。 
如果力对通过点O的直角坐标轴x、y、z的矩是己知的，则可求得该力对点O的矩的大小和方向余弦为 
= 
cosα= 
cosβ= 
cosγ= 　　　　　　　　　　　　　　 (4-17)
式中α、β、γ分别为矢与x、y、z轴间的夹角。 
§4-3空间力偶 
1.力偶矩以矢量表示，空间力偶等效条件 
    由平面力偶理论知道，只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶可以在它的作用面内任意移转;只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，也可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，却不改变力偶对刚体的作用。实践经验还告诉我们，力偶的作用面也可以平移。例如用螺丝刀拧螺钉时，只要力偶矩的大小和力偶的转向保持不变，长螺丝刀或短螺丝刀的效果是一样的。即力偶的作用面可以垂直于螺丝刀的轴线平行移动，而并不影响拧螺钉的效果。由此可知，空间力偶的作用面可以平行移动，而不改变力偶对刚体的作用效果。反之，如果两个力偶的作用面不相互平行(即作用面的法线不相互平行)，即使它们的力偶矩大小相等，这两个力偶对物体的作用效果也不同。 
如图4-12所示的三个力偶，分别作用在三个同样的物块上，力偶矩都等于2OON·m。因为前两个力偶的转向相同，作用面又相互平行，因此这两个力偶对物块的作用效果相同(图4-12a、b)。第三个力偶作用在平面II上(图4-12c)，虽然力偶矩的大小相同，但是它与前两个力偶对物块的作用效果不同，前者使静止物块绕平行于x的轴转动，而后者则使物块绕平行于y的轴转动。 

综上所述，空间力偶对刚体的作用除了与力偶矩大小有关外，还与其作用面的方位及力偶的转向有关。 
由此可知，空间力偶对刚体的作用效果决定于下列三个因素:
(1)力偶矩的大小;
(2)力偶作用面的方位;
(3)力偶的转向。 
空间力偶的三个因素可以用一个矢量表示，矢的长度表示力偶矩的大小，矢的方位与力偶作用面的法线方位相同，矢的指向与力偶转向的关系服从右手螺旋规则。即如以力偶的转向为右手螺旋的转动方向，则螺旋前进的方向即为矢的指向(图4-一13b);或从矢的末端看去，应看到力偶的转向是逆时针转向(图4-13a)。这样，这个矢就完全包括了上述三个因素，我们称它为力偶矩矢，记作M由此可知，力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。 

应该指出，由于力偶可以在同平面内任意移转，并可搬移到平行平面内，而不改变它对刚体的作用效果，故力偶矩矢可以平行搬移，且不需要确定矢的初端位置。这样的矢量称为自由矢量。 
为进一步说明力偶矩矢为自由矢量，显示力偶的等效特性，可以证明:力偶对空间任一点O的矩都是相等的，都等于力偶矩。 
如图4-13c所示，组成力偶的两个力和'对空间任一点O之矩的矢量和为 
=+=×+×' 
式中与分别为由点O到二力作用点A，B的矢径。因'=- 
故上式可写为 
=×+×'=(-)×=× 
显见，×的大小等于d，方向与力偶(，')的力偶矩矢一致。由此可见，力偶对空间任一点的矩矢都等于力偶矩矢，与矩心位置无关。 
综上所述，力偶的等效条件可叙述为:两个力偶的力偶矩相等 ，则它们是等效的。 
2．空间力偶系的合成与平衡条件 
    可以证明，任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即 
-=++…+=            (4一18)
证明:设有矩为和的两个力偶分别作用在相交的平面I和II内，如图4-14所示。首先证明它们合成的结果为一力偶。为此，在这两平面的交线上取任意线段AB=d，利用同平面内力偶的等效条件，将两力偶各在其作
用面内移转和变换，使它们的力偶臂与线段AB重合，而保持力偶矩的大小和力偶的转向不变。这时，两力偶分别为(，')和(,')，它们的力偶矩矢分别为和。将力与合成为力，又将力'与'合成为力'。由图显然可见，力与等值而反向，组成一个力偶，即为合力偶，它作用在平面III内，令合力偶矩矢为。 

下面再证明:合力偶矩矢等于原有两力偶矩矢的矢量和。由图4-14易于证明四边形ACED与平行四边形Aced相似，因而ACED也是一个平行四边形。于是可得 
=+ 
如有ｎ个空间力偶，按上法逐次合成，最后得一力偶，合力偶的矩矢应为 
= 
合力偶矩矢的解析表达式为 
=i+j+k            (4-19) 
其中、、为合力偶矩矢在x、y、z轴上的投影。将式(4-18)分别向x、y、z轴投影，有 
=++…+= 
=++…+=            （4-20） 
=++…+= 
即合力偶矩矢在x、y、z在轴上投影等于各分力偶矩矢在相应轴上 
投影的代数和。 
算出合力偶矩矢的投影后，合力偶矩矢的大小和方向余弦可用下列公式求出，即:
=
cos(,i)= 
cos(,j)=            (4-21) 
cos(,k)= 
    例4-6    工件如图4-15a所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x、y、z轴上的投影、、，并求合力偶矩矢的大小和方向。 
解:先将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢量表示，并将它们乎行移到点A，如图4-15b所示。根据式(4-20)，得:
=--cos45°-cos45°=-193.1N·m
==-=-80N·m
==--cos45°-cos45°=-193.1N·m
再根据式(4-21)求得合力偶矩矢的大小和方向余弦为 
==284.6N·m 
cos(,i)= =-0.6786 
cos(,j)= =-0.2811 
cos(,k)= =-0.6786 
由于空间力偶系可以用一个合力偶来代替，因此，空间力偶系平衡的必要和充分条件是:该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即 
=0　　　　　　　　　　(4-22)
由上式，有 
==0 
欲使上式成立，必须同时满足 
=0
=0            （4-23） 
=0 
上式为空间力偶系的平衡方程。即空间力偶系平衡的必要和充分条件为:该力偶系中所有各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 
上述三个独立的平衡方程可求解三个未知量。
§4-4    空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩 
    现在来讨论空间任意力系的简化问题。与第三章平面任意力系的简化方法一样，应用力的平移定理，依次将作用于刚体上的每个力向简化中心O平移，同时附加一个相应的力偶。这样，原来的空间任意力系被空间汇交力系和空间力偶系两个简单力系等效替换，如图4-16b所示。其中 

'=，'=，…，'= 
=,=，…，= 
作用于点O的空间汇交力系可合成一力'(图4-16c)，此力的作用线通过点0，其大小和方向等于力系的主矢，即 
'===i+j+k? 　　　　(4-24) 
空间分布的力偶系可合成为一力偶(图4-16c)。以表示其力偶矩矢，它等于各附加力偶矩矢的矢量和，又等力对于点O之矩的矢量和，即原力系对点0的主矩 
===??? 　　　　(4-25) 
由力矩的解析表达式(4-12)，有 
=i+j+k 
(4-25)’ 
于是可得结论如下:空间任意力系向任一点O简化，可得一力和一力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O;这力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。与平面任意力系一样，主矢与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。 
由式(4-24)，此力系主矢的大小和方向余弦为 
'=
cos(',i)= 
cos(',j)=             （4-26） 
cos(',k)=  
式(4-25)'中，单位矢量i、j、k前的系数，即主矩沿x、y、z轴的投影，也等于力系各力对x、y、z轴之矩的代数和()、 
()、()。 
则此力系对点O的主矩的大小和方向余弦为 
=
cos(,i)= 
cos(,j)= 
cos(,k)=             (4-27) 
下面通过作用在飞机上的力系说明空间力系简化结果的实际意义。飞机在飞行时受到重力、升力、推力和阻力等力组成的空间任意力系的作用。通过其重心O作直角坐标系Oxyz，如图4-17所示。将力系向飞机的重心O简化，可得一力'和一力偶，力偶矩矢为。如果将这力和力偶矩矢向上述三坐标轴分解，则得到三个作于重心O的正交分力'、'、'和三个绕坐标轴的力偶、、。可以看出它们的意义是:

'——有效推进力;
'——有效升力;
'——侧向力;
——滚转力矩;
——偏航力矩;
——俯仰力矩。 
§4-5空间任意力系的简化结果分析 
    空间任意力系向一点简化可能出现下列四种情况，即(I) '=O，≠0;(2) '≠0, =0;(3) '≠0, ≠0;(4) '=O，=0。现分别加以讨论。 
1.空间任意力系简化为一合力偶的情形 
    当空间任意力系向任一点简化时，若主矢'=0，主矩≠0，这时得一力偶。显然，这力偶与原力系等效，即原力系合成为一合力偶，这合力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。 
2·空间任意力系简化为一合力的情形·合力矩定理 
    当空间任意力系向任一点简化时，若主矢'≠0，而主矩=0，这时得一力。显然，这力与原力系等效，即原力系合成为一合力，合力的作用线通过简化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。 

若空间任意力系向一点简化的结果为主矢'≠0，又主矩≠0，且' ⊥(图4-18a)。这时，力'和力偶矩矢为的力偶('，)在同一平面内(图4-18b)，如平面力系简化结果那样，可将力'与力偶(，)进一步合成，得作用于点O'的一个力(图4-18c)。此力即为原力系的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，即 
= 
其作用线离简化中心0的距离为 
d=            (4-28) 
由图4-18b可知，力偶(，)的矩等于合力对点O的矩，即 
=() 
又根据式(4-25)，有 
= 
故得关系式 
=            (4-29) 
即空间任意力系的合力对于任一点的矩等于各分力对同一点的矩 
的矢量和。这就是空间任意力系的合力矩定理。 
根据力对点的矩与力对轴的矩的关系，把上式投影到通过点 
O的任一轴上，可得 
=            (4-30)
即空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于各分力对同一轴的矩 
的代数和。 
3．空间任意力系简化为力螺旋的情形 
    如果空间任意力系向一点简化后，主矢和主矩都不等于零，而'∥，这种结果称为力螺旋，如图4-19所示。所谓力螺旋就是由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。例如，钻孔时的钻头对工件的作用以及拧木螺钉时螺丝刀对螺钉的作用都是力螺旋。 
力螺旋是由静力学的两个基本要素力和力偶组成的最简单的力系，不能再进一步合成。力偶的转向和力的指向符合右手螺旋规则的称为右螺旋(图4-19a)，否则称为左螺旋(图4-19b)。力螺旋的力作用线称为该力螺旋的中心轴。在上述情形下，中心轴通过简化中心。 

如果'≠0，≠0，同时两者既不平行，又不垂直，如图4-2Oa所示。此时可将分解为两个分力偶和'，它们分别垂直于'和平行于'如图4-2Ob所示，则和'可用作用于点O'的力来代替。由于力偶矩矢是自由矢量，故可将'平行移动，使之与共线。这样便得一力螺旋，其中心轴不在简化中心O，而是通过另一点O'，如图4-2Oc所示。O、O'两点间的距离为 
d==            (4-31) 
可见，一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋。 
4.空间任意力系简化为平衡的情形 
    当空间任意力系向任一点简化时，若主矢'=0,主矩=0,这是空间任意力系平衡的情形，将在下节详细讨论。

§4-6   空间任意力系的平衡方程 
    空间任意力系处于平衡的必要和充分条件是:这力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零，即:
'=0 
=0
根据式(4-26)和(4-27)，可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程 
=O
=O
=O
=0            (4-32) 
=0 
=0
于是得结论:空间任意力系平衡的必要和充分条件是:所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零。 
与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。我们可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意力系等平衡方程。现以空间平行力系为例，其余情况读者可自行推导。 

设物体受一空间平行力系作用，如图4-21所示。令z轴与这些力平行，则各力对于z轴的矩等于零。又由于x和y轴都与方程组(4-3幻中，第一、第二和第六个方程成了恒等式。因此，空间平行力系只有三个平衡方程，即:
=0
=0            (4-33)
=0 
§4-7空间约束的类型举例 
    前几章己陆续介绍了一些工程中常见的约束及其约束反力的分析方法。一般情况下，当刚体受到空间任意力系作用时，在每个约束处，其约束反力的未知量可能有1个到6个。决定每种约束的约束反力未知量个数的基本方法是:观察被约束物体在空间可能的6种独立的位移中(沿x、y、z三轴的移动和绕此三轴的转动)，有哪几种位移被约束所阻碍。阻碍移动的是约束反力;阻碍转动的是约束反力偶。现将几种常见的约束及其相应的约束反力综合列表，如表4-1所示。 
分析实际的约束时，有时要忽略一些次要因素，抓住主要因素，作一些合理的简化。例如，导向轴承能阻碍轴沿y和z轴的移动，并能阻碍绕y轴和z轴的转动，所以有4个约束反作用、、和;而径向轴承限制轴绕y和z轴的转动作用很小，故和可忽略不计，所以只有两个约束反力和。又如，一般小柜门都装有两个合页，形如表4-1中的蝶铰链，它主要限制物体沿y,z方向的移动，因而有两个约束反力和。合页不限制物体绕转轴的转动，单个合页对物体绕y、z轴转动的限制作用也很小，因而没有约束反力偶。而当物体受到沿合页轴向作用力时，其中一个合页将限制物体轴向移动，应视为止推轴承。 
如果刚体只受平面力系的作用，则垂直于该平面的约束反力和绕平面内两轴的约束反力偶都应为零，相应减少了约束反力的数目。例如，在空间任意力系作用下，固定端的约束反力共有6个，即、、、、和;而在Oyz平面内受平面任意力系作用时，固定端的约束反力就只有3个，即、和。

§4-8    空间力系平衡问题举例 
    空间任意力系的平衡方程有六个，所以对于在空间任意力系作用下平衡的物体，只能求解六个未知量，如果未知量多于六个，就是静不定问题;对于在空间平行力系作用下平衡的物体，则只能求解三个未知量。因此，在解题时必需先分析物体受力情况。 
    例4-7    图4-22所示的三轮小车,自重=8kN，作用于点E，载荷=lOkN，作用于点C。求小车静止时地面对车轮的反力。 

解:以小车为研究对象，受力如图4-22所示。其中和是主动力，、和为地面的约束反力，此5个力相互平行，组成空间平行力系。取坐标系Oxyz如图所示，列出三个平衡方程:
=0,- -+++=O                        (a) 
=0,-0.2-1.2+2=0                     (b) 
=0,0.8+0.6-0.6-l.2=O            (c) 
由式(b)解得 
=5.8kN
代人式(c)，解出 
=7.777kN
代人式(a)，解出 
=4.423kN 
    例4-8 在图4-23a中，皮带的拉力=2，曲柄上作用有铅垂力=20OON。已知皮带轮的直径D=400mm，曲柄长R=300mm,皮带1和皮带2与铅垂线间夹角分别为α和β, α=30°, β=60°(参见图4-23b)，其它尺寸如图所示。求皮带拉力和轴承反力。 

解:以整个轴为研究对象。在轴上作用的力有:皮带拉力、;作用在曲柄上的力;轴承反力、、和。轴受空间任意力系作用，选坐标轴如图所示，列出平衡方程:
=-0，sin30°+sin60°++=0 
=0，0=0 
=0,- cos30°-cos60°-++=0
=0, cos30°×2OO+cos6O°×200
-×200+×400=0 
=0，-(-)=0 
=0, sin30°×200+sin60°×200-×400=0
又有 
=2 
联立上述方程，解得 
=300ON, =600ON 
=-1004N, =9397N
=3348N，=-1799N 
此题中，平衡方程=0成为恒等式，独立的平衡方程只有5个;在题设条件=2之下，才能解出上述6个末如量。 
    例4-9 ? 车床主轴如图4-24a所示。已知车刀对工件的切削力为:径向切削力=4.25kN，纵向切削力-=6.8kN,主切削力(切向) =17kN，方向如图所示。与几分别为作用在直齿轮C上的切向力和径向力，且=0.36。齿轮C的节圆半径为R=5Omm,被切削1件的半径为r=30mm。卡盘及工件等自重不计，其余尺寸如图(单位为mm)。求:(1)齿轮啮合力及;(2)径向轴承A和止推轴承B的约柬反力;(3)三爪卡盘E在O处对工件的约束反力。 

图4-24 
解:先取主轴、卡盘、齿轮以及工件系统为研究对象，受力如图4-24a所示，为一空间任意力系。取坐标系Axyz如图所示，列平衡方程: 
=0，-+-=0 
=0，-=0 
=0, +++=0 
=0，-(488+76) -76+388=0 
=0，R-r=0 
=0，(488+76)-76-30+388=0 
又，按题意有 
=0.36
以上共有七个方程，可解出全部7个未知量，即 
=10.2kN, =3.67kN
=15.64kN, =-31.87kN
=-1.19kN, =6.8kN, =11.2kN 
再取工件为研究对象，其上除受3个切削力外，还受到卡盘(空间插人端约束)对工件的6个约束反力、、、、、，如图4-25所示。 

取坐标轴系Oxyz如图，列平衡方程 
=0，-=0 
=0，-=0 
=0，-=0
=0, +1OO=0 
=0, -30=0 
=0，+1OO-30=0 
求解上述方程，得 
=4.25kN,??? =6.8kN, =-17kN
=-1.7kN·m，=0.51kN·m，=-0.22kN·m
空间任意力系有6个独立的平衡方程，可求解6个未知量，但其平衡方程不局限于式(4-32)所示的形式。为使解题简便，每个方程中最好只包含一个未知量。为此，我们在选投影轴时应尽量与其余末知力垂直;在选取矩的轴时应尽量与其余的未知力平行或相交。投影轴不必相互垂直，取矩的轴也
不必与投影轴重合，力矩方程的数目可取3个至6个。现举例如下。 
    例4-10　图4-26所示均质长方板由六根直杆支持于水平位置，直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为在A处作用一水平力，且=2。求各杆的内力。 

解:取长方体刚板为研究对象，各支杆均为二力杆，设它们均受拉力。板的受力图如图所示。列平衡方程:
=0, -a-=0            (a)
解得 
=-(压力)
=0, =0                 (b)
=0, =0                (c)
=0, ---=0  (d)
将=-代入式(d)，得 
=0
=0, -+-=0            (e)
得 
=1.5
=0, ---cos45°b=0            (f)
得 
=-(压力) 
此例中用6个力矩方程求得6个杆的内力。一般，力矩方程比较灵活，常可使一个方程只含一个未知量。当然也可以采用其他形式的平衡方程求解。如用乏代替式(d)，同样求得，=0;又，可用乏=0代替式(f)，同样求得=-。读者还可以试用其他方程求解。但无论怎样列方程，独立平衡方程的数目只有6个。空间任意力系平衡方程的基本形式为式(4-32)，即三个投影方程和三个力矩方程，它们是相互独立的。其它不同形式的平衡方程还有很多组，也只有六个独立方程，由于空间情况比较复杂，本书不再讨论其独立性条件。 
§4-9重心 
1.重心的概念及其坐标公式 
    在地球附近的物体都受到地球对它的作用力，即物体的重力;重力作用于物体内每一微小部分，是一个分布力系。对于工程中一般的物体，这种分布的重力可足够精确地视为空间平行力系，一般所谓重力，就是这个空间平行力系的合力。不变形的物体(刚体)在地表面无论怎样放置，其平行分布重力的合力作用线，都通过此物体上一个确定的点，这一点称为物体的重心。 
重心在工程实际中具有重要的意义。如重心的位置会影响物体的平衡和稳定，对于飞机和船舶尤为重要;高速转动的转子，如果转轴不通过重心，将会引起强烈的振动，甚至引起破坏。 
下面通过平行力系的合力推导物体重心的坐标公式，这些公式也可用于确定物体的质量中心、面积形心和液体的压力中心等。如将物体分割成许多微小体积，每小块体积为△，所受重力为。这些重力组成平行力系，其合力的大小就是整个物体的重量，即 
=            (4-34) 
取直角坐标系Oxyz，使重力及其合力与z轴平行，如图4-27所示。设任一微体的坐标为，，，重心C的坐标为，，。根据合力矩定理，对x轴取矩，有 
-=-(++…+)=- 
再对y轴取矩，有 
=++…+= 
为求坐标，由于重心在物体内占有确定的位置，可将物体 M，连同坐标系Oxyz一起绕x轴顺时针转90。，使y轴向下，这样各重力及其合力都与y轴平行。这也相当于将各重力及其合力相对于物体按逆时针方向转90°，使之与y轴平行，如图4-27中虚线箭头所示。这时，再对x轴取矩，得 

-=-(++…+)=-
由以上三式可得计算重心坐标的公式，即 
=  =   =(4-35)
物体分割得越多，即每一小块体积越小，则按式(4-35)计算的重心位置愈准确。在极限情况下可用积分计算。 
如果物体是均质的，单位体积的重量为γ=常值，以△表示微小体积，物体总体积为V=。将=γ△代人式(4-35)，得 
==
==            (4-36)
== 
上式的极限为 
=, ?=, ?=　　　　　　(4-36) 

可见，均质物体的重心与其单位体积的重量(比重)无关，仅决定于 
物体的形状。这时的重心称为体积的重心。 
工程中常采用薄壳结构，例如厂房的顶壳、薄壁容器、飞机机翼等，其厚度与其表面积5相比是很小的，如图4-28所示。若薄壳是均质等厚的，则其重心公式为:
==
==            (4-37)
==
这时的重心称为面积的重心。曲面的重心一般不在曲面上，而相对于曲面位于确定的一点。 
如果物体是均质等截面的细长线段，其截面尺寸与其长度l相比是很小的，如图4-29所示。则其重心公式为 
==
==