自动控制原理第八章非线性控制系统分析.doc

第八章 非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念 非线性系统的定义。本质非线性和非本质非线性。典型非线性特性。非线性系统的特点。两种分析非线性系统的方法描述函数法和相平面法。（2）谐波线性化与描述函数 描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。谐波线性化的概念。描述函数定义和求取方法。描述函数法的适用条件。（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统 非线性系统的一般结构。借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。（5）相平面法的基本概念 非线性系统的数学模型。相平面法的概念和内容。相轨迹的定义。 （6）绘制相轨迹的方法 解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。 （7）从相轨迹求取系统暂态响应 相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。 （8）非线性系统的相平面分析 以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。8-1 非线性控制系统分析1 研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。非线性系统：含有非线性环节的系统。非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。r x y c _f2(x)f1(x)G1(s)G2(s)r x y c _f2(x)G(s)f1(x)r x y c _f (x)G(s)r x y c _G1(s)f (x)G2(s)2 非线性系统的特征2.1 不能用线性(微分)方程描述；方框图中，非线性环节不能随意移动(不能保持信号等效)；2.2 运动形式不仅与系统特性和有关，而且还与系统的初始状态有关；有的系统会出现自振荡；自持振荡：系统在无外部信号作用下维持的振荡，又称自激振荡，简称自振荡。线性系统只有在临界阻尼情况下才可能有自振荡。2.3 稳定性分析复杂；系统的稳定性不仅与系统结构参数有关还与系统的初始状态有关；2.4 频率响应有畸变；输入信号是正弦信号时，系统的稳态输出不是正弦信号，而是多种频率的正弦信号组合。3 非线性系统的分析与设计方法3.1 相平面法3.2 描述函数法3.3 逆系统方法这三种方法将在8-3、8-4和8-5节讨论。8-2 典型非线性特性及其对系统运动的影响非线性特性千差万别，在工程上允许用折线近似替代曲线，只要直线线段足够短，就有满意的近似精度。那么，通常的非线性环节都可以用多个典型非线性特性串联和并联组合而成。非线性特性的数学表达式和输入输出关系曲线都很重要。1 非线性特性的等效增益设非线性环节的输出为，输入为；输入输出关系为，是非线性函数；等效增益记为： 。有人将非线性系统看作是“变增益的线性系统”，简化非线性系统稳定性的分析过程。k-x0yxx00饱和区饱和区2 典型非线性特性对系统运动的影响(1) 饱和特性 ； 线性区；系统工作范围：，；r x y c _kG(s)线性增益；表示线性区宽度的参数，线性区宽度为，简称为线性区宽度。若，则该元件是线性元件。对系统稳定性的影响：系统进入饱和区，等效增益降低。若的全部极点均在S平面左半部，只要的开环增益小于临界增益，饱和特性不改变系统的稳定性。若的极点不全在S平面左半部，一旦系统进入饱和区，可能导致系统不稳定。实际系统工作时，为充分利用系统性能，在大偏差情况下大多工作在饱和状态。工程界有“大偏差，小增益；小偏差，大增益”的工作经验。兼顾了充分利用系统性能和较高的控制精度要求。饱和区饱和区k-x0yxx00k(2) 死区(不灵敏)特性 死 区；对系统稳定性的影响：系统进入死区，等效增益为零。若的全部极点均在S平面左半部，死区特性不改变系统的稳定性，只是降低了控制精度。若的极点不全在S平面左半部，通常会产生自振荡，这是工程中不满意的状态。在工程实践中，只要系统满足控制精度要求(稳态误差在允许误差范围内)，尽可能利用死区特性减少控制器的动作，其实际物理意义是减少能量损耗和设备磨损。M-MyxyxM-M0(3) 继电特性(3-1) 理想继电特性 ； 理想继电器：-x0yxx00M-M-x0yxx00M-M(死区特性后接理想继电特性)(3-2) 仅具有死区的继电特性 ；(3-3) 仅具有滞环的继电特性0yxh M-M-h mh -mh 或；(既有死区又有滞环)(3-4) 一般继电特性 或；：理想继电特性；：仅具有死区的继电特性；：仅具有滞环的继电特性。-x0x0yx0(4) 间隙(齿隙)特性 ；yM-M0(5) 摩檫特性 ；8-3 相平面法相平面法是在非线性系统线性部分的阶次小于等于二阶时的图解分析方法，该方法将系统(非线性环节的输入信号)运动姿态绘制在相平面上，直观清、楚地反映系统的稳定性、平衡状态、稳定精度和有无自振荡；使用相平面法分析系统的稳定性很方便。在应用相平面法分析系统稳定性时，都将典型输入的作用等价为系统的初始状态，假定系统输入恒为零，即分析系统的自由运动特性。1 相平面的基本概念二阶非线性系统： ，；式中 是和的非线性函数或线性函数 相平面法：求解二阶非线性系统的图解方法，用于分析系统稳定性。 相变量：二阶系统中的和称为相变量 。 相平面：平面；横坐标为相变量；纵坐标为相变量。相轨迹：平面上的点表示系统在给定初始状态时，某一时刻的状态。系统运动在相平面上留下的轨迹，是一条具有方向的曲线，称为相轨迹。相轨迹斜率：。可得，代入系统(运动)方程，得到相轨迹方程。相轨迹方程(斜率)：。轴上某点使得，其斜率值不确定，称为奇点。相轨迹特点：(1) 相平面上半部，相轨迹都是向右方运动；(2) 相平面下半部，相轨迹都是向左方运动；(3) 在轴上，除奇点外，相轨迹垂直穿过横轴；(4) 同一个系统的不同起点的相轨迹互不相交；若一条相轨迹的起点在另一条相轨迹上，该条相轨迹是那条相轨迹的一部分。若能够得到非线系统的解和，则以为参变量在相平面上绘出相轨迹。多数情况下，求解很烦琐，绘制相轨迹也是件令人讨厌的事情，幸亏我们只是分析非线性系统的稳定性，只需要相轨迹的趋势和终点。若是变量可分离的微分方程，能够采用以下解法：； ，。说明：解得和，就可以得知系统的稳定性、平衡状态和稳定精度，不必绘制相轨迹图。绘制相轨迹的基本方法：(仅含典型非线性环节的系统，能方便地解得) 根据和的表达式，逐点描绘，。概略绘制相轨迹要点：(1) 相轨迹起点；(2) 与横轴的交点；(3) 与纵轴的交点；(4) 在讨论非线性系统时，与分区边界的交点：边界值，计算值，或边界值，计算值；(5) 按相应的线性系统相轨迹连接标出的各点。2 绘制相轨迹的等倾线法等倾线法是绘制相轨迹的近似方法，避免求解非线性微分方程。在相轨迹方程中令，。得等倾线方程；等倾线在相平面上相轨迹斜率相同点的连线。例 系统，；试用等倾线法绘制相轨迹。解：相轨迹斜率方程；等倾线方程；整理得，这是一条斜率为的直线，取不同值时，是一簇过原点的直线。参见P362页图8-17。作图：选取适当的一系列值，使等倾线在相平面上分布均匀，并具有合适密度。若要分析系统稳定性可在等倾线上均匀画出与其值对应的短直线，若短直线相连就会形成相轨迹簇。本例，起点在轴上，开始画一的短线，直到下一条等倾线，再按对应的值，画短线，循此继进，直到画不清楚或画不出为止。3 线性系统的相轨迹研究线性系统的相轨迹是用相平面法分析非线性系统的基础。(1) 线性一阶系统的相轨迹： (a) ；相轨迹簇在两条起始于原点斜率为的直线上，见图8-14(a)，系统不稳定；(b) ；相轨迹簇在两条起始于原点斜率为的直线上，见图8-14(b)，系统稳定。(2) 线性二阶系统的相轨迹：，相轨迹形状与阻尼比有关；相轨迹斜率；相轨迹起点；奇点；(a) ：，；式中 ，；，。相轨迹是一簇螺旋线，起始于初始状态，终止于奇点。系统稳定。系统具有一对负实部复数极点，奇点称为稳定焦点。参见图8-17。(b) ：，；式中 ，；，。相轨迹是一簇抛物线，起始于初始状态，终止于奇点。系统稳定。系统具有两个负实极点，奇点称为稳定节点。参见图8-18。该条件下：有两条等倾线的斜率与其对应的相轨迹斜率相等。若初始状态(起点)满足或，则有：或；这表达了4条趋于奇点的相轨迹(有两条过原点的等倾线)，称为渐近线(奇线)；所有相轨迹不与渐近线相交。(c) ：，；，；相轨迹是一簇曲线，起始于初始状态，终止于稳定节点。系统稳定。等倾线方程为；渐近线条件；得；当初始状态(起点)满足，相轨迹沿直线趋于奇点。参见图8-20。(d) ：，；，；易知：，这是椭圆方程；相轨迹是一簇以原点为中心点的椭圆，起始于初始状态，无终止点。系统不稳定(临界稳定)。系统具有一对纯虚数极点，奇点称为中心点。参见图8-21。(e) ：，；式中 ，；，。相轨迹是一簇螺旋线，起始于初始状态，趋于无穷远，反向延长交于奇点。系统不稳定。系统具有一对正实部复数极点，奇点称为不稳定焦点。参见图8-22。(f) ：，；，；式中 ，；，。相轨迹是一簇抛物线，起始于初始状态，趋于无穷远，反向延长交于奇点。系统不稳定。系统具有两个正实极点，奇点称为不稳定节点。参见图8-23。(g) 线性二阶系统；相轨迹斜率；相轨迹起点；奇点；等倾线方程为；渐近线条件；得；系统具有符号相反的两个实极点，奇点是不稳定的，称为鞍点。相轨迹参见图8-15。当，相轨迹退化为斜线，参见图8-16。4 奇点和奇线(渐近线)，略，已讲过。对于一般非线性系统，先要得到奇点邻域的线性化相轨迹方程，再判断奇点的类型。(P366,例8-2)极限环 非线性系统的持续振荡在相平面的曲线称为(稳定的)极限环。5 由相轨迹求取时间间隔(略)相轨迹图虽未直接表示系统运动与时间的关系，但从相轨迹上可近似求得相轨迹上两点间的时间间隔。(a) 解析法：若有和的解析表达式(包括分区的表达式)，能够得到，可准确地获得时间间隔。例如 已知相轨迹是椭圆方程，则，与起点有关。(b) 增量法：用一系列短直线段近似替代相轨迹，各段起点到终点所需时间为，。(c) 积分法：；图解值，参见图8-26。(d) 圆弧法：用一系列圆心在轴上的短圆弧近似替代相轨迹，各段起点到终点所需时间为该段圆弧所对的圆心角。参见图8-27。说明：如果相轨迹图的精度有限，只能得到时间间隔的近似值。要点：应用两个非线性系统的相轨迹比较两系统的时间关系。例如：BA0BA06 非线性系统的相平面分析典型非线性环节都是“分区线性”的，那么，由典型非线性环节和线性部分组成的非线性系统也是“分区线性”的。因此，只要掌握各区线性运动方程及对应奇点的类型，不难参照线性系统相轨迹，做出该区的概略相轨迹。再根据相轨迹图，就可以判断系统的稳定性。以三个例子说明分析方法。(1) 具有死区特性的非线性系统(图8-28，图8-29)系统初始状态为零，；等价为 ，；非线性环节 ；线性部分 ；及，； 两条分区边界(开关线)；区：；奇点，若奇点在本区，称为实奇点，否则称为虚奇点；相轨迹永远不能到达虚奇点。当时，本区相轨迹是趋于稳定焦点的螺旋线，相轨迹必然进入区。否则，是趋于稳定节点的抛物线，有可能进入区。区：；无奇点，相轨迹满足方程，是斜率为的斜线，斜线与线段的交点是相轨迹的终点。该区下部的相轨迹可能进入区；上部的相轨迹可能进入区。区；本区分析类似区。奇点；当时，本区相轨迹是趋于稳定焦点的螺旋线，相轨迹必然进入区。否则，是趋于稳定节点的抛物线，有可能进入区。稳定性分析：无论初始状态如何，相轨迹必然终止于区间上，非线性系统稳定。稳态误差绝对值。 绘制概略相轨迹（略）(2) 具有饱和特性的非线性系统(图8-30，图8-31，图8-32)系统初始状态为零，分别讨论系统在和时的稳定性。非线性环节；线性部分；及，； 两条分区边界(开关线)；：；区：；等倾线方程，平行于轴的直线；渐近线；渐近线在轴的上方；本区无奇点，所有相轨迹必然进入区。区：；奇点为原点，是实奇点；当时，本区相轨迹是趋于稳定焦点的螺旋线。否则，是趋于稳定节点的抛物线。系统相轨迹的末段一定在本区，终止于实奇点。该区下部的相轨迹可能进入区；上部的相轨迹可能进入区。区；本区分析类似区。等倾线方程，平行于轴的直线；渐近线；渐近线在轴的下方；本区无奇点，所有相轨迹必然进入区。稳定性分析：响应阶跃输入时，无论初始状态如何，相轨迹必然终止于原点，非线性系统稳定。稳态误差为零。：；区：；等倾线方程，平行于轴的直线；渐近线； 本区无奇点；渐近线在轴的上方，所有相轨迹必然进入区； 区：；奇点为；若为实奇点；若为虚奇点；本区相轨迹是趋于稳定奇点曲线。奇点为实奇点时。系统相轨迹的末段可能在本区终止于实奇点。该区下部的相轨迹可能(必然)进入区；上部的相轨迹可能(必然)进入区。(虚奇点)区；本区分析类似区。本区无奇点；等倾线方程，平行于轴的直线；渐近线； 若，即区有实奇点，渐近线在轴的下方，所有相轨迹必然进入区；若区有虚奇点，渐近线在轴的上方，渐近线上方的相轨迹趋向无穷远；下方相轨迹趋于渐近线，或进入区，或趋向无穷远。若时，相轨迹方程；该区的相轨迹将终止于轴上，或进入区。稳定性分析：响应速度输入时，系统稳定性与值有关；若(区有实奇点)，系统稳定，稳态误差为；若(区有虚奇点)，系统不稳定；若时，系统临界稳定，稳态误差大于。(3) 具有滞环继电特性的非线性系统(图8-33，图8-34，图8-35)Mh K S(TS+1)r e u c_ _图8-33试分析系统在时的运动状态。非线性环节或；线性部分；：，；由于非线性环节有两个分区，相平面分为两个线性区。开关线由三条直线线段组成：，；，；，。区和：；相轨迹方程；无奇点；等倾线方程；渐近线，；解析解：，；该区的相轨迹都趋于渐近线，必然进入区。区和：；相轨迹方程；无奇点；等倾线方程；无奇点；渐近线，；解析解：，；该区的相轨迹都趋于渐近线，必然进入区。若状态处于轴的区间上，是不稳定平衡状态。因，相轨迹必趋向渐近线。运动状态分析：区的相轨迹必然进入区，区相轨迹必然进入区，运动不会停止；区的相轨迹在返回区时，相轨迹与分界(开关)线的交点处，；区的相轨迹在返回区时，相轨迹与分界线的交点处，；相轨迹不与线段相交。最终相轨迹形成闭合曲线，称为极限环。内外的相轨迹都趋向闭合曲线的极限环称为稳定的极限环。稳定性分析：无论初始状态如何，系统最终进入稳定的极限环。极限环振幅和频率计算：根据系统进入极限环状态后，每次进入区的入口点为，再根据极限环的对称性可知，进入区的入口点为；在区的相轨迹满足区的运动方程，入口点为方程的初始状态，而终点为区的入口点。可推导出，显然。例 系统参数为、和；计算得 ；区的运动方程：，；据相轨迹与轴交点， 计算出振幅；由分界线的交点，计算出在该区运行时间。振幅为，周期为秒。：相平面分为两个线性区。由于非线性环节的输入为，组成开关线的三条线段为：，；，；，。区和：；区和：；由于两区的线性运动方程完全与时的对应区运动方程相同，各区的运动规律对应相同。区别在与开关线不同，对于同一初始状态进入另一区域的时间不同，时提前进入。显然，时极限环的振幅要小于时的振幅(最小值为)，振荡频率要高。改善了非线性系统的性能；思考题：如何减小对系统的影响？8-4 描述函数法非线性环节在正弦输入作用下输出是一次谐波和高次谐波的组合信号，一次谐波是与输入信号同频率的正弦信号。若非线性环节的输出可以用一次谐波近似，可得到非线性环节的描述函数。描述函数法：是在频域内分析系统的稳定性和自振荡的一种近似方法。1 描述函数的基本概念描述函数：非线性环节的近似频率特性；(频率响应可用一次谐波近似。)(1) 描述函数的计算方法非线性环节及其正弦输入为 ；则环节输出的傅立叶级数为；式中 直流分量； n次谐波，且，；。当非线性环节关于原点对称()，而且比小得多时，则近似为描述函数定义为 。例 8-3 计算理想继电特性的描述函数。，。解：该非线性特性关于原点对称，；是奇函数，；。说明：第一等号因是偶函数成立；第二等号利用在区间上关于对称。作为解释计算，；，。查数学手册的定积分表得到例 8-4 计算非线性元件的描述函数。P375。解：关于原点对称，是奇函数，；。(2) 应用描述函数法的条件(2-1) 非线性系统能够简化成一个非线性环节与一个线性环节闭环的串联结构；参见图8-36。(2-2) 非线性特性原点对称，即；(2-3) 是保证应用描述函数法分析非线性系统具有较高精度的条件。大多数实际非线性系统满足上述条件(3) 描述函数法的物理意义忽略次要因素，利用线性系统的频率分析方法近似分析非线性系统，简化分析过程。必须注意，线性系统的频率特性与输入正弦信号的幅度无关，典型非线性环节的描述函数是输入正弦信号幅度的函数，却与输入频率无关。在应用描述函数法分析非线性系统时，正是应用这种特点。x0 x2tyy000xk2t2 典型非线性特性的描述函数(1) 饱和特性：是奇函数；x0 x2tyy000xk2t，。(2) 死区特性：是奇函数；mh h x2tyy000xM2t1122，。(3) 继电特性：非线性特性关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数。；，。当时，理想继电特性的描述函数 ，；当时，死区继电特性的描述函数，；当时，滞环继电特性的描述函数 ，。3 非线性系统的简化当非线性系统是由多个非线性环节和线性环节组合而成时，需要等效变换成由一个非线性环节和一个线性环节连接成的闭合回路，便于分析。变换的要点是保证信号等效，主要应用解析表达式。(1) 并联非线性环节的等效特性y2y1xyMx10kx20xyNy2y1xyN1N2；，；，；(2) 串联非线性环节的等效特性x1y2y1 x2xyxyNy1xyN1N2kx10kx20； ；等效非线性环节的描述函数计算：是奇函数，；注意到，整理后，得到：；。(3) 线性部分的等效变换非线性系统中的线性部分等效变换采用方框图变换方法，变换过程中，不允许线性环节与非线性环节交换位置。要点仍然是保持信号关系不变。例子参见图8-42r0 x y c _N(A)G(s)4 非线性系统的描述函数法分析使用Nyquist稳定判据的条件：非线性部分和线性部分可以分开，分析时的稳定性。非线性系统的特征方程：；Nyquist稳定判据的特征方程。因曲线很难绘制，应用Nyquist稳定判据的特征方程等价于；式中 负倒描述函数。应用Nyquist稳定判据判断非线性稳定性时，以替代临界点。非线性系统的稳定性判定规则：(1)曲线不包围曲线，闭环系统稳定；(2)曲线包围曲线，闭环系统不稳定；(3)曲线与曲线相交，闭环系统可能出现自振荡；自振荡的频率为在交点处的值，振幅是在交点处的值。曲线逆时针包围曲线的次数，闭环系统稳定；否则不稳定。曲线与曲线相交，闭环系统可能出现自振荡；例8-5 非线性系统如图8-45所示，分析系统稳定性。解：；负倒描述函数曲线在负实轴的区间上； 曲线包围曲线，闭环系统不稳定；例8-6 非线性系统如图8-48所示，试分析：(1) 时非线性系统稳的运动状况；(2) 欲使系统不出现自振荡，的临界值。解：； ；，；记 ；是单调函数，得知是单调函数；负倒描述函数曲线位于负实轴上，曲线与曲线相交，闭环系统自振荡的稳定性分析；记交点处非线性环节输入信号为，若该信号的幅度，则点被包围，系统不稳定，信号幅度增大，直到；若该信号的幅度，则点不被包围，系统稳定，信号幅度减小，直到；则系统在交点处出现稳定的自振荡。；试探法解得，；(1) 时，在非线性环节输入端存在稳定的自振荡；(2) 因的值与成正比，要使减小到，则，即在时，闭环系统稳定，不出现自振荡。例8-7 非线性系统如图8-50所示，试采用描述函数法分析：(1) ；(2) 时非线性系统稳的运动特性。解：计算负倒描述函数，；，；计算极值点或曲线拐点，；，；当时，单调增大；当时，单调减小。本例中 ，负倒描述函数曲线位于负实轴上；(1) ；曲线与曲线有两个交点，分析得知值大的为自振荡振幅。；解得，；(2) ；曲线不包围曲线，闭环系统稳定。消除非线性系统自振荡的措施：原则是避免曲线与曲线相交。(1) 减小线性部分的开环增益，使曲线不与曲线相交；(2) 增加(超前)校正环节，改变曲线形状，不与曲线相交；(3) 改变非线性参数，使曲线不与曲线相交。8-5 非线性控制的逆系统方法(略)1 非线性系统的反馈线性化r u y +反馈控制方法是实现控制目的的基本途径。采用适当的反馈措施能够使闭环系统成为线性系统：例 对于非线性系统 ，采用状态反馈，则闭环系统为 。2 逆系统方法的基本思想设原系统为：，；见图8-52；若存在满足初始状态的逆系统，则：，；见图8-53。为讨论方便取；若有系统：，；使得；称该系统为原系统的阶积分逆系统。3 伪线性系统将阶积分逆系统与原系统串联构成新的系统，成为伪线性线性系统。将图8-52与图8-83串联。例 非线性系统为，求对应的伪线性系统。解一： 由原系统方程得到，；取伪线性系统的输入为，；则逆系统方程为，；伪线性系统为，。解二：取伪线性系统的输入为，；则逆系统方程为，；伪线性系统为，。4 非线性控制的逆系统设计方法(略)可采用线性系统的设计方法。作业：8.2，8.4（1），8.17，补充题2题66