高数建模例题选讲.doc

例1（鱼的游动路线）（）
观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是突发性地锯齿状地向上游动和向下滑行。可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式．
设鱼总是在静水中以常速运动，鱼在水中净重为，向下滑行时的阻力是在运动方向的分力；向上游动时所需的力是在运动方向分力与游动所受阻力之和，又设游动的阻力是滑行阻力的倍，鱼向下滑行时不消耗能量．
（1） 求证：当鱼要从点到达处于同一水平线上的点时（如图所示），沿折线运动消耗的能量与沿水平线运动消耗的能量之比
（2） 据实际观察，角约为，值约为，试根据鱼消耗能量最小的准则估算最佳的角．
C

A B

解：（1）设鱼滑行所受的阻力为，滑动时所受的阻力为，
由题意知， …（）
于是，鱼沿水平方向游动消耗的能量 …（）
鱼沿折线运动消耗的能量，相当于沿游动消耗的能量为
…（）
…（）
(2)鱼从移动到,要使消耗能量最小,则当一定时,只要选取适当的解,使最小即可. …（）
∵
…（）
∴令,求得 …（）
∵ ∴最佳的 ． …（）

例2（标尺的设计） （）
在石油的生产地和加工厂，为储存原油，常使用大量的水平安置的椭圆柱储油罐，其横向长度为，而底面是长轴为，短轴为的椭圆，上端有一注油孔，由于经常注油和取油，有时很难知道油罐中的余油量。因此，希望设计一个精确的标尺，工人只需将该尺垂直插入至油罐的最底部，就可根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少，剩油量用剩油体积表示．
解：设当标尺上油痕位置的刻度为时，储油罐中余油体积为，
由题意知，= …（） y
…（） h-b a
x
…（） -b …（）
…（）
由此，标尺可以设计成一面为刻度，另一面为余油体积刻度，两面刻度的换算公式如上所示． …（）
例3（平均车速的测定） （）
城市交通的堵塞情况可通过测定行驶车辆的平均速度得到一定程度的反映，根据数据统计，一个普通工作日中的下午—期间，在该城市某路段时刻的行驶车辆平均速度。为测定下午—期间行驶车辆的平均速度，有人提出只要测定两个固定时刻行驶车辆的平均速度、，取其平均值即可，无需因确定的值而浪费时间．
（1） 该作法可行吗？如果可行，这两个固定时刻如何选择？结果精确到分钟；
（2） 为待定系数，你如何确定它们呢？请给出思路．
解：（1）该作法可行 … （）
假设 …（）
令，，
有
化简得 …（）
若的值与无关，
则 一定有解
解得 …（）
故 ，
即选择的两个时刻分别为时分及时分。 …（）
（2）最好选取多于个的数据点
用最小二乘法对进行拟合． …（）

例4（）（玻璃钢瓶的检测）
玻璃钢瓶的制作过程是，先用玻璃纤维沿经向（纵向）和纬向（横向）缠绕成型，然后再加工处理成质地如钢的玻璃瓶。我们知道，纤维在压力作用下（设瓶内充以高压氧气）会伸长，产生纤维应变，有一种很小的仪器，只要往瓶上一贴，即可测出纤维的应变。现测出经向纤维的应变为，纬向纤维的应变，当体积应变超过规定的标准时，瓶子就不能继续使用，当面对一批玻璃钢瓶需要检测时，你能提供一个简易的公式估算它们的体积应变吗？
解：将玻璃钢瓶近似看作为一个高为，底面半径为的圆柱体，则…（）
易得 …（）
则 …（）
注意到，得 …（）
例5（）（最佳满意度）
按照某学者的理论，假设一个企业生产某产品单件成本为元，卖出该产品的单价为元，则其满意度为．如果一个企业生产并销售两种不同产品的满意度分别为和，则该企业对这两种产品的综合满意度为．
现有某企业计划在第一年度生产A、B两种产品的单件成本分别控制在6元和24元，在第二年度生产A、B两种产品的单件成本分别控制在5元和20元，请你为其制定一个销售A、B两种产品的两年度定价方案，使得该企业在第一年度对两种产品的综合满意度达到，在第二年度对这两种产品的综合满意度达到最大．
解：该企业在第一年度的综合满意度为---1
该企业在第二年度的综合满意度为---------------1
则该题等价于求解在条件，下的最小值问题---------------------------------------------------------------2
构建拉格朗日函数-----------------1
由-------------------------------------------------------------2
解得-------------------------------------------------------------------------------------------------1
代入条件等式得，
故取（元），（元）为制定的价格方案．---------------------------------------2
例6（）（液面变化速率）
某半椭球形空水池深为，池口是半径为的圆，若以连续变化的速度
向池内注水，当注水量达到水池总体积的时，注水速度恰为，求此刻液面上升的速率（单位：）．
解 ：半椭球形空水池的中截面为半椭圆，取其竖向对称轴向上方向为轴正向，
以半椭圆上界直线右向为轴正向，则半椭圆方程为----------------------1
设时刻注水速度为，液面高度为
则有------------------------------------------------------2
上式两端对求导得------------------------------------2
令时刻注水量达到水池总体积的一半，此时液面高度为，
则有-------------------------------------1
化简得----------------------------------------------------------------------1
即，解得--------------------------------------------2
因-----------------------------------------------------1
故所求液面上升的速率为．------------------------------------------------1
例7（）（容器贮水量）
某无盖圆柱形容器，高为米，底面半径为米，当容器的底面倾斜与水平面
成角支撑时，试问该容器可贮存多少立方米的水？
解：以容器底平面为平面，底面中心为坐标原点建立坐标系,过与底面垂
直向上为轴正向，过向底面接地点作轴（正向），再按右手法则作轴.-----2
水表面（平面）的法向量为，----------------------------1
水表面经过点，其方程为----------------------------------1
定义域为---------------------------------------1
容积---------------------------------------------------1
------------------------------------------2
-------------------------------------------1
-------------------------1
．----------------------------------------------------1