成人高考—三角函数.ppt

成人高考成人高考数数 学学 三角函数三角函数占考试占考试内容内容15%15%，约，约2222分分第二部分三角 三角函数及其相关概念1 三角函数式的变换2 三解函数的图像和性质3 解三角形45276三角函数及其相关概念三角函数及其相关概念任意角三角函数的定任意角三角函数的定义：角角的的终边上任意一点上任意一点P（x,y），它），它与原点的距离是与原点的距离是r(r0)，那么角，那么角的的正弦、余弦、正切分正弦、余弦、正切分别是是p(x,y)ra特殊角角度与弧度的特殊角角度与弧度的换算算度度度度 弧度弧度弧度弧度单位位换算：算：0度数度数030456090180270360010-1010-1010100 特殊角的正弦、余弦和正切值如下表所示：特殊角的正弦、余弦和正切值如下表所示：正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：1yx-1O1yx-1oyx1-1/2-/2 3/2-3/2-0三角函数的图像和性质三角函数的图像和性质 正弦函数的图象和性质 x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R)定定义域：域：值域：域：周期性：周期性：x Ry-1,1T=2 单调性性奇偶性：奇偶性：奇函数奇函数(关于原点关于原点对称）称）余弦函数的图象和性质 定定义域：域：值域：域：周期性：周期性：x Ry-1,1T=2 单调性性奇偶性：奇偶性：偶函数偶函数(关于关于y轴对称）称）1yx-1o yx1-1/2-/23/2-3/2-0定定义域域值域域周期性周期性奇偶性奇偶性单调性性 RT=奇函数奇函数函数函数y=tanx增函数增函数正切函数三角函数三角函数的的周期性周期性三角函数周期性公式：（W为x的系数）（1）函数的最小正周期？（2）函数的最小正周期？（3）函数的最小正周期？（4）函数的最小正周期？三角函数的奇偶性、单调性三角函数的奇偶性、单调性 正弦、余弦函数的图像和性质正弦、余弦函数的图像和性质 f(x)=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41x6o-12345-2-3-41y f(x)=cosx (x R)定义域定义域值值 域域周期性周期性x Ry -1,1 T=2 正弦、余弦函数的奇偶性？正弦、余弦函数的奇偶性？正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性sin(-x)=-sinx (x R)y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是是奇函数奇函数x6o-12345-2-3-41ycos(-x)=cosx (x R)y=cosx (x R)是是偶函数偶函数（定义域关于原点对称）（定义域关于原点对称）f(x)=sinx (x R)f(x)=cosx (x R)（定义域关于（定义域关于y轴对称）轴对称）探究正弦函数的单调性探究正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增区间为增区间为 ，xyo-1234-2-31减区间为减区间为 ，+2k,+2k,k Z +2k,+2k,k Z余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R)增区间为增区间为 +2k,2k,k Z减区间为减区间为 ，2k,2k +,k Zyxo-1234-2-31 正弦函数的最值正弦函数的最值 xyo-1234-2-31最大值最大值y=1最小值最小值y=-1正弦函数当且仅当正弦函数当且仅当 x=_时取得时取得最大值最大值1,当且仅当当且仅当x=_时取得时取得最小值最小值-1;(4)(4)最大值与最小值最大值与最小值 y=sinx (x R)余弦函数当且余弦函数当且仅当当 x=_时取取得最大得最大值1,当且当且仅当当x=_时取得最小取得最小值-1.yxo-1234-2-31最小值最小值y=-1最大值最大值y=1 余弦函数的最值余弦函数的最值 y=cosx (x R)三角函数式的变换三角函数式的变换三角函数式的变换 根据三角函数的定根据三角函数的定义：根据勾股定理：根据勾股定理：三角函数式的变换开平方运算，开平方运算，必必须要明确要明确角所在象限角所在象限1yx-1o诱导公式（一）1yx-1Oyx1-1/2-/2 3/2-3/2-0公式二、三、四sin(+)=sincos(+)=costan(+)=tan1yx-1O1yx-1oyxsin()=sincos()=costan()=tansin(-)=sincos(-)=costan(-)=tan例1.利用公式求下列三角函数值:公式五1yx-1O1yx-1o例3 证明:例3 证明:两角和与差的三角函数公式两角和与差的三角函数公式倍角公式倍角公式sin(+)=sincos(+)=costan(+)=tansin()=sincos()=costan()=tansin(-)=sincos(-)=costan(-)=tan公式1公式5公式4公式3公式2诱导公式诱导公式 解三角形解三角形1.正弦定理正弦定理2.余弦定理余弦定理3.三角形三角形面积面积 公式公式知识点梳理知识点梳理1.正弦定理正弦定理正弦定理的变形：正弦定理的变形：ABCabc2R2.余弦定理余弦定理余弦定理的变形：余弦定理的变形：当当A、B、C分别为分别为90时，上面的关系式分别化为：时，上面的关系式分别化为：3.三角形面积公式三角形面积公式4.三角形中的常见结论三角形中的常见结论(2)在三角形中大边对大角，大角对大在三角形中大边对大角，大角对大边边.(3)任任意意两两边边之之和和大大于于第第三三边边，任任意意两两边边之之差差小于第三边小于第三边(4)有关三角形内角的三角函数式有关三角形内角的三角函数式ABCabc（6）中，中，A、B、C成等差数列的充要条件成等差数列的充要条件 是是B=60（7）为为正正三三角角形形的的充充要要条条件件是是A、B、C成成等等差数列，差数列，a、b、c成等比数列成等比数列.ABCabcABCabcABCabc606060ABCabc60？一、正余弦定理推论的应用一、正余弦定理推论的应用二、三角形解的个数的确定二、三角形解的个数的确定已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法一边和两角一边和两角(如如a，B、C)正弦正弦由由A+B+C=180求出角求出角A；根据正弦；根据正弦定理求出定理求出b与与c;在有解时只有一解在有解时只有一解两边和夹角两边和夹角(如如a、b，C)余弦正弦余弦正弦由余弦定理求出由余弦定理求出c；由正弦定理求出；由正弦定理求出A、B；在有解时只有一解；在有解时只有一解三边三边 (a、b、c)余弦定理余弦定理由余弦定理分别求出由余弦定理分别求出A、B；由内角和；由内角和是是180求出求出C;有解时只有一解有解时只有一解两边和其中一两边和其中一边的对角边的对角(如如a、b，A)正弦定理正弦定理由正弦定理求出由正弦定理求出B；由内角和为；由内角和为180求求出出C；由正弦定理求出；由正弦定理求出c;可有两解，一可有两解，一解或无解解或无解解斜三角形有下表所示的四种情况：解斜三角形有下表所示的四种情况：BCADbch求三角形的角求三角形的角BCADbch求三角形的边求三角形的边ABCabc求三角形的面积求三角形的面积四、判断三角形形状四、判断三角形形状判定三角形形状通常有两种途径：判定三角形形状通常有两种途径：化边为角；化角为边化边为角；化角为边具体有如下四种方法：具体有如下四种方法：通过正弦定理实施边角转换；通过正弦定理实施边角转换；通过余弦定理实施边角转换；通过余弦定理实施边角转换；通过三角变换找出角之间的关系；通过三角变换找出角之间的关系；通过三角函数符号的判断及正余弦函数有界性的通过三角函数符号的判断及正余弦函数有界性的 讨论讨论主要题型主要题型已知边之间的关系已知边之间的关系已知角的三角函数关系已知角的三角函数关系已知边与角的关系已知边与角的关系已知边之间的关系已知边之间的关系总结：解法一是用正弦定理将边关系转化成角总结：解法一是用正弦定理将边关系转化成角的关系，运用三角变换找出角之间的关系；解的关系，运用三角变换找出角之间的关系；解法二用余弦定理直接运用边的关系判断形状；法二用余弦定理直接运用边的关系判断形状；