资源描述
垂直于弦的直径
课 题
24.1.2 垂直于弦的直径
课时
1
课型
新授
修改意见
教学目标
知识技能：1.通过动手、观察实验，使学生理解圆的对称性.2.掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.
过程方法：1.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．2.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
情感态度：激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望，感受解决问题的成功与快乐。
教学重点
垂径定理及其运用．
教学难点
发现并证明垂径定理
学情分析
学生在生活中经常遇到圆，对本节课会比较有兴趣,并且前面已学过轴对称图形相关知识。同时九年级的同学是比较好奇、好动、好表现的。在本节课通过动手实验学习不难。由于垂径定理的题设与结论比较复杂，学生容易混淆遗漏。所以本节课学生的学习障碍在于对垂径定理的题设与结论的区分及证明方法的理解和运用。
学法指导
实验探究学习法，观察、分析、归纳学习法，讨论交流学习法
教 学 过 程
教学内容
教师活动
学生活动
效果预测
及补救措施
修改意见
一、导入
二、圆的对称性
三、垂径定理及推论
四、垂径定理及推论的应用
1、直径是圆中特殊的弦，研究直径是研究圆的重要突破口，这节课我们就从对直径的研究开始来研究圆的性质.
2、同学们，这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
实际问题 ：赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
活动一：实践探究
沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复做几次，看看你能发现什么结论？
活动二：实践探究
把一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度, 你发现了什么？由此你能得到什么结论？
活动三：思考
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
师演示并引导
你能用一句话总结这个发现吗？
如果已知CD平分弦AB，你能得到CD垂直AB且⌒
⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
⌒
吗？
你们可以再用一句话总结这个发现吗？
小结：垂径定理
由 ① CD是直径② CD⊥AB，可推出③AM=BM④弧AC=弧BC, ⑤弧AD=弧BD
推论：
由 ① CD是直径 ② AM=BM，可推出③ CD⊥AB，④弧AC=弧BC, ⑤弧AD=弧BD
解决求赵州桥拱半径的问题：如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是ＡＢ的中点，CD 就是拱高B
O
D
A
C
R
师出示：在图中AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即 R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
活动四：练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·
O
A
B
E
师出示参考答案（略）
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
师出示参考答案
方法总结：对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
⑵
体会.分享
说出你这节课的收获和体验，让大家与你一起分享！！！
师小结并出示：
１、圆的对称性:轴对称、中心对称
直径垂直于弦=>直径平分弦，直径平分弦所对的弧
直径平分弦（不是直径）=>直径垂直于弦，直径平分弦所对的弧
挖掘潜力：
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为AB=7.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C
A
N
M
E
H
F
B
D
O
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
可以发现：
1、圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
2、圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.（圆的特性：旋转不变性）
学生独立解答后汇报：
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
(3)⌒
⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ
⌒
⌒
生汇报：并得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
学生思考求证
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
学生理解并记忆
学生独立完成后交流
学生独立解答后交流汇报
学生独立解答，后汇报
师引导学生归纳总结
学生谈收获，并分享成果
学生理解并记忆
作为课后作业学生独立思考完成
板书设计
24.1.2 垂直于弦的直径
﹛
１、圆的对称性:轴对称、中心对称
直径平分弦
2、直径垂直于弦=>
﹛
直径平分弦所对的
直径垂直于弦
3、 直径平分弦（不是直径）=>
直径平分弦所对的弧
参考书目
及推荐资料
教学反思
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