资源描述
平移与旋转
【典型例题】
一、平移与旋转：
1. 重要的知识点：
（1）平移的特征以及利用平移的特征将一个图形平移。
（2）旋转的特征以及利用旋转的特征将一个图形按要求旋转。
（3）中心对称图形以及两个图形成中心对称，如何作一个图形关于某点的中心对称图形。
2. 典型例题
例1. 如图1，O为等边三角形的中心，射线OE交AB于E，OF交BC于F，设三角形的面积为S，∠EOF=120°，试说明：不论∠EOF绕点O进行怎样的旋转运动，四边形OEBF的面积总为定值。
解：根据题目的意思，这里只需要将∠EOF旋转到特殊的位置，然后比较面积，这里将其旋转到∠BOC的位置，（如图2），OE旋转到OB处，OF旋转到OC处。
在图1中：∠EOB+∠BOF=∠EOF=120°
又在图1中，∠BOF+∠FOC=∠BOC=120°
故而∠EOB=∠FOC
而O是△ABC的中心，得OB=OC，
∠EBO=30°
而∠OCF=30°
由上面的条件可知：△EOB旋转120°后到达△FOC的位置，（如图2）。
故S四边形EBFO=S△BOC
例2. 有一块如图3所示的钢板，工人师傅想将其分成面积相等的两部分，该如何分，在图中留下作图痕迹。
分析：因为过具有面积的中心对称图形的对称中心的每条直线将这个图形分成面积相等的两部分，再将此图分割，然后利用找对称中心的方法可将其分割。
解：如图4（1）、（2）、（3），其中（1）、（2）是用割的方法，（3）是利用补的方法。
二、平行四边形：
1. 重要知识点：
（1）平行四边形的五种性质；
（2）平行四边形的五种识别方法；
（3）矩形的性质；
（4）矩形的识别方法；
（5）菱形的性质；
（6）菱形的识别方法；
（7）正方形的性质；
（8）正方形的识别方法；
（9）等腰梯形的性质。
2. 典型例题
例3. 如图5，平行四边形ABCD中，BE、CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线且交AD于E点，若AB=4cm，求∠BEC的度数及BC长。
解：在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠DCB=180°
而BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
得∠BEC=90°
又在平行四边形ABCD中，AD∥BC，得∠AEB=∠EBC=∠ABE
AB=AE
同理：ED=DC
AD=BC=AE+ED=AB+DC=2AB=8cm。
例4.
与S矩形ABCD有何关系。（如图6）
解：过M作MG⊥AD，连结AM、DM
答：S△EBM+S△MFC是S矩形ABCD的四分之一。
例5. 如图7，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F。试说明四边形AFCE是菱形。
解：在平行四边形中，EF是AC的垂直平分线。
所以AE=EC，AF=CF （1）
又AD∥BC，得∠DAC=∠ACB
而∠AOE=∠COF
AO=OC
故△AOE旋转180°后能与△COF重合。
得AE=CF （2）
由（1）、（2）得 AE=CF=AF=EC
故四边形AFCE是菱形。
例6. 如图8，已知：正方形ABCD中，△BCE是等边三角形，求∠AED的度数。
解：在等边△BEC中，∠EBC=60°，BE=BC；
又在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC；
得∠ABE=30°，BE=AB
在等腰△ABE中，AB=BE，∠ABE=30°
得∠BAE=75°
故∠EAD=15°
同理，∠ADE=15°
得∠AED=180°－15°－15°=150°。
例7. 如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，试说明AB+AD=BC
解：过点A作AE∥CD，
因AD∥BC，AE∥CD
得四边形AECD是平行四边形。
AD=EC，∠EAD=∠C=70°
又因为∠BAD=140°，∠EAD=70°
得∠BAE=70°
而AE∥CD，得∠BEA=∠C=70°
∠BAE=∠BEA
AB=BE
故BC=BE+EC=AB+AD。
三、一元一次不等式（组）：
1. 重要知识点：
（1）不等式的性质：
（2）一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示方法：
（3）一元一次不等式组的解法及解集在数轴上的表示方法：
2. 典型例题
例8.
解：
例9.
（1）求a的取值范围。
（2）化简|a－3|+|a+2|
（3）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x>2a+1的解为x<1？
解：
由题知x为非正数，y为负数得
（2）因为－2＜a≤3，
得 a－3≤0 a+2＞0
（3）要使不等式2ax+x＞2a+1的解为x<1
则必须使得 2a+1<0
又a为整数，故a=－1。
四、整式的乘法：
1. 重要的知识点：
（1）幂的运算三法则及其变形使用；
（2）整式乘法的三条法则；
（3）乘法公式的灵活应用；
（4）因式分解的两种基本方法及综合使用。
2. 典型例题：
例10. （1）已知3×9m×27m=321，求m的值。
（2）已知x2n=4，求(3x2n)2－4(x2)2n的值。
（3）若2x+5y－3=0，求4x·32y的值。
解：（1）3×9m×27m=3×32m×33m=31+5m
由题知31+5m=321 m=4
（2）x2n=4 故(3x2n)2=(3×4)2=122=144
而(x2)2n=(x2n)2=42=16
故(3x2n)2－4(x2)2n=144－4×16=80
（3）2x+5y－3=0 得2x+5y=3
又4x·32y=22x·25y=22x+5y=23=8。
例11. 求B、C的值，使下面的恒等式成立：
解：将题目中右边展开，并且合并同类项，得：
比较等式两边的系数，得：B－2=3
1－B+C=2
得B=5，C=6。
另外：可令x=1代入原等式，得C=6，
又令x=0代入原等式，得B=5。
这种方法请同学自己学习。
例12. 已知有理数a、b、c满足|a－c－2|+(3a－6b－7)2+|3b+3c－4|=0。求（－3ab）·(－a2c)·6ab的值。
解：
例13. 把下列各式因式分解：
解：
例14. 已知x2+4y2=16 xy=1
求：（1）(x+2y)2 （2）(x－2y)2
解：
五、频率与机会：
1. 重要知识点：
（1）事件发生的频率与机会的关系。
（2）实验次数增大后，事物隐含的规律明显，用频率估计机会。
2. 典型例题：
例15. 一个硬币落在地上，“正面朝上”的机会有多大？有个同学做完10次实验，有3次正面朝上，得正面朝上的机会约为30%，这种说法对吗？为什么？
答：正面朝上的机会有50%。
此同学得的结论不对，因为实验要求次数尽量多，而此同学共做10次实验，还不够多，因而结论错误。
本课小结：一、本课首先给出了应当掌握的重要知识点，请同学们认真领会，想办法掌握这些知识点。
二、本课中的典型例题均有一定难度，请同学们理解其中的思想方法，争取做到举一反三。
【模拟试题】
一、填空题：
1. 24×44×0.1254=_____________。
2. （4x－5y）（ ）=25y2－16x2
3. 从10名学生（6名男生，4名女生）中任选一名同学，选中男生的机会是__________。
4. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CE∥DA，若AB=8，DC=5，DA=6，则△CEB的周长是_________。
二、选择题：
1. 使两个代数式x－1与x－2的值的符号相同的x的取值范围是（ ）
A. x>2 B. x>1 C. x<1或x>2 D. 以上都不对
2. 如果x2+6x+m2恰好是另外一个整式的平方，那么常数m的值为（ ）
A. 9 B. 3 C. －3 D. ±3
3. 下面不是正六边形的旋转角的是（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 180°
4. 下列说法错误的是（ ）
A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
D. 正方形可以看作是有一个直角的菱形，又可看作是有一组邻边相等的矩形
三、解答题：
1. 解不等式（组）：
2. 先化简，再求值：
3. 因式分解：
4. 在平行四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，这个四边形是菱形吗？为什么？
【试题答案】
一、填空题：
1. 1 2. 3. 4. 15
二、选择题：
1. C 2. D 3. A 4. C
三、解答题：
1. （1）
（2）由①得 x<4
由②：x≥2
得
2.
又
故原式
3.
4. 在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，
得：∠DAC=∠CAB
又DC∥AB，得∠DCA=∠CAB
故∠DAC=∠DCA
得 DA=DC
故四边形ABCD是菱形。
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