资源描述
12．2 一次函数
第1课时 正比例函数
1．初步理解正比例函数的概念及其图象的特征．
2．能够画出正比例函数的图象．
3．能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系．
4．能够利用正比例函数解决简单的数学问题．
重点
正比例函数的概念．
难点
正比例函数的特征．
一、创设情境，导入新课
[活动1]
问题
1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环；4个月零1周后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它 (一个月按30天计算)．
(1)这只百余克重的燕鸥大约平均每天飞行多少千米？
(2)这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？
(3)这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米？
(4)对这个问题你还能提出什么问题？
教师用课件或小黑板出示问题，用投影仪展示这只燕鸥飞行的距离．
让学生在地图上找出芬兰和澳大利亚的位置，并将两处用直线连接．
学生稍作思考，自主解决三个问题：
①燕鸥每天飞行的路程；
②燕鸥总行程y(千米)与飞行时间x(天)的关系式：y＝200x.
③燕鸥飞行一个半月的行程．
老师提示：这里用函数y＝200x对燕鸥的飞行路程问题进行刻画，尽管只是近似的，但它反映了燕鸥的行程与时间之间的对应规律．
教师应重点关注：学生对飞行总路程与飞行时间的函数关系的理解；
学生能否正确指出自变量、自变量的函数、自变量的取值范围．
二、合作交流，探究新知
[活动2]
问题
首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？
1．圆的周长C随半径r的大小变化而变化．
2．铁的密度为7.8 g/cm3.铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的大小变化而变化．
3．每个练习本的厚度为0.5 cm.一些练习本摞在一起的总厚度h(cm)随这些练习本的本数n的变化而变化．
4．冷冻一个0 ℃的物体，使它每分钟下降2 ℃.物体的温度T(℃)随冷冻时间t(分)的变化而变化．
教师出示四个实例问题(用投影仪)，要求学生：(1)能找出变量对应表达式；(2)能说出表达式中的自变量，自变量的函数．
学生自主探究，分组讨论，然后分小组代表回答问题，教师对回答的问题进行评价．
教师提问：C＝2πr中，字母π是变量吗？
引导学生观察、分析上面4个函数的表达式的共性：都是常数与自变量乘积的形式．
教师口述并板书正比例函数的概念．
(1)你能举出一些正比例函数的例子吗？
(2)表示梯形的面积和圆的面积的函数式是否是正比例函数关系？什么情况下不是？
①S＝(a＋b)h.
②S＝πr2.
教师让学生看书，并提问：这里为什么强调y＝kx中k是常数，且k≠0?
学生讨论，回答并补充．
教师应重点关注：
(1)不要认为表达式中的字母都是表示变量．
(2)对自变量的取值范围是否能分析清楚．
(3)是否概括出了这几个函数的共同特点．
学生举例时教师要提醒：(1)举出实际问题；(2)能对其中的自变量、比例系数、函数关系进行解释．
对举例不是正比例函数的要认真分析．
[活动3]
问题
画出下列正比例函数的图象：
(1)y＝2x；(2)y＝－2x.
(1)我们知道了怎样用解析式表示正比例函数，那么怎样在直角坐标系中画出正比例函数的图象呢？
教师在黑板上演示用描点法画出y＝2x的图象．
应注意：(1)操作规范，有示范性．
(2)要师生同画．
要学生独立画出y＝－2x图象．
应注意：(1)评价学生所画的图象；(2)与学生一起总结画图象的主要步骤：列表、描点、连线．
(2)观察分析两个图象的异同．
两图象都经过________，两图象都是________，函数y＝2x的图象从左向右呈________，经过第________象限；函数y＝－2x的图象从左向右呈________，经过第________象限．
练习：
在同一坐标系中画出y＝x和y＝－x的图象．
[活动4]
问题
1．从以上作图过程可以发现正比例函数的图象有什么特征？
2．经过原点与点(1，k)的直线是哪个函数的图象？
教师在画图过程中进行指导，学生画完图后，让学生讨论回答这两个图象的特点，与活动3中的两个图象的特点相比较．
让学生根据讨论的结果概括、归纳出正比例函数图象特征，教师板书写出正比例函数图象的特征．
此处，教师应重点关注：
(1)学生是否通过对正比例函数解析式观察分析，发现当k>0时的函数y与自变量x同号，当k<0时函数y与自变量x异号．
(2)学生通过对正比例函数图象的观察分析，发现其图象是一个随x增大而增大或减小的直线．
让学生讨论是否可行．
应注意：(1)提醒学生从解析式入手，当x＝0或x＝1时，函数y的值分别是几？(2)正比例函数的图象为什么一定过(0，0)和(1，k)两点；(3)因为两点可以确定一条直线，因此，画正比例函数的图象时只需过原点(0，0)和(1，k)画一条直线即可．
3．用你认为最简单的方法画出正比例函数的图象．
学生练习用“两点法”画图象，教师辅导的同时让两名学生在黑板上画．
此时应注意：
(1)学生画图是否用“两点法”；
(2)这两点是否最简单．(关键是k的取值)
三、运用新知，深化理解
例1 已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.
(1)若它是一次函数，求m的值；
(2)若它是正比例函数，求m的值．
分析：(1)要使函数是一次函数，根据一次函数的定义，x的指数m2－24＝1，且一次项系数m－5≠0；(2)要使函数是正比例函数，除了满足上述条件外，还需加上m＋1＝0这个条件．
解：(1)因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，所以m＝±5，且m≠5，所以m＝－5.即m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数；
(2)若y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是正比例函数，则m2－24＝1，且m－5≠0，且m＋1＝0.所以m＝±5，且m≠5，且m＝－1，这样的m不存在，所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为正比例函数．
【归纳总结】函数y＝kx＋b是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．
例2 已知正比例函数y＝kx(k≠0)，当x＝－1时，y＝－2，则它的图象大致是( )
A B C D
分析：将x＝－1，y＝－2代入正比例函数y＝kx(k≠0)中，求出k的值为2，即可根据正比例函数的性质判断出函数的大致图象．
【归纳总结】本题考查了正比例函数的图象，知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k>0时，图象过第一、三象限；当k<0时，图象过第二、四象限．
例3 已知正比例函数y＝－kx的图象经过第一、三象限，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)三点在函数y＝(k－2)x的图象上，且x1>x3>x2，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y1>y3>y2 B．y1>y2>y3
C．y1<y3<y2 D．y3>y2>y1
分析：由y＝－kx的图象经过第一、三象限，可知－k>0，即k<0，∴k－2<0.由正比例函数的性质可知，y＝(k－2)x的函数值y随x的增大而减小，则由x1>x3>x2得y1<y3<y2.
【归纳总结】正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的变化情况由k的符号决定．k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P36练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
一般地，正比例函数的y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点和(1，k)的直线，我们称之为直线y＝kx，当k>0时，直线y＝kx经过第一、三象限且从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k<0时，直线y＝kx经过第二、四象限且从左向右下降，即y随着x的增大而减小．
六、布置作业
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
第2课时 一次函数的图象与性质
1．理解直线y＝kx＋b与y＝kx直线之间的位置关系．
2．会选择两个合适的点画出一次函数的图象．
3．掌握一次函数的性质．
重点
一次函数的图象和性质．
难点
由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解．
一、创设情境，导入新课
[活动1]
问题
1．什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么联系？
2．正比例函数图象形状是什么样的？
3．正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)中，k的正、负对函数的图象有什么影响？
教师展示问题后，学生口答，师生共评，纠正问题．
教师应重点注意：
(1)学生参与活动的意识及勇气；
(2)能否理解直线变化趋势(形)与函数的性质(数)之间的对应关系．
二、合作交流，探究新知
问题
1．画图：用描点法在同一坐标系中画出函数y＝－6x，y＝－6x＋5的图象；
2．观察：比较上面两个函数图象的相同点和不同点，根据你的观察结果回答下列问题：
(1)这两个函数图象的形状都是________，并且倾斜程度都________，它们的位置________；
(2)函数y＝－6x的图象经过原点，函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点________，即可以看作由直线y＝－6x向________平移________个单位长度而得到；
(3)比较两个函数的解析式，试由此解释两个函数图象的位置关系．
3．拓展延伸：(1)所有一次函数的图象都是直线吗？
(2)直线y＝kx与直线y＝kx＋b之间存在着怎样的位置关系？
(3)由直线y＝kx可经过怎样的平移得到直线y＝kx＋b?
学生对应描点、画图，并通过观察、比较两个函数图象后，对问题进行推广．
教师对学生的观察、推广等结果进行适时的评价，在此基础上，师生共同得出：
(1)一次函数的图象y＝kx＋b也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b；
(2)直线y＝kx与直线y＝kx＋b互相平行；
(3)直线y＝kx＋b可以由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
教师应重点注意：(1)学生在描点的过程中，是否注意到了几组对应点的位置变化规律；(2)学生能否通过解析式对“平移”作出解释；(3)为什么说平移|b|个单位，而不说b个单位．
在同一坐标系中画出函数y＝2x－1与y＝－0.5x＋1的图象．
学生独立用两个点画出函数的图象，同桌交流；体验选点的差异性和图象的一致性．
教师应指出：虽然同学们所选的点不一样，但画出的图象却是一致的，通常选取点(0，b)，(－，0)这两个点，教师应注意引导选择合适的点．
1．探究：在同一坐标系中画出函数y＝x＋1，y＝－x＋1，y＝2x＋1，y＝－2x＋1的图象．
2．观察上面四个函数的图象，类比正比例函数y＝kx的图象中的k的正、负对函数图象有什么影响，探究一次函数y＝kx＋b中的k的正、负对函数图象有什么影响，并在此基础上表述一次函数的性质．
【归纳总结】(1)当k>0时直线从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k<0时直线从左向右下降，即y随x的增大而减小．
应重点指导：(1)观察、类比新知的方法；(2)一次函数的性质与k有关；(3)从“数”和“形”两个方面去理解和掌握一次函数的性质．
做一做
1．练习：教材P39练习．
2．课外思考：根据已做的题目，归纳y＝kx＋b(k≠0)中b对函数的影响．
学生独立板演，老师巡视，了解学生对知识掌握的情况．
对学生练习中出现的情况，有针对性地讲解，了解学生是否通过数形结合解决问题．
三、运用新知，深化理解
例1 已知一次函数y＝(6＋3m)x＋(n－4)．
(1)m为何值时，y随x的增大而减小？
(2)m、n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？
(3)m、n为何值时，函数图象过原点？
分析：(1)因为k<0时，y随x的增大而减小，故6＋3m<0；(2)要使此函数图象与y轴的交点在x轴的下方，必有6＋3m≠0，同时n－4<0；(3)函数图象过原点是正比例函数的特征，即6＋3m≠0且n－4＝0.
解：(1)依题意，得6＋3m<0，即m<－2.故当m<－2时，y随x的增大而减小；
(2)依题意，得解得n<4且m≠－2.故当m≠－2且n<4时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方；
(3)依题意，得解得n＝4且m≠－2.故当m≠－2且n＝4时，函数图象过原点．
【归纳总结】一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，k的符号决定直线上升或下降，b的符号决定直线与y轴的交点位置，在考虑b的值时，同时要考虑k≠0这一隐含条件，在利用一次函数的性质解决问题时，常常结合方程和不等式求解．
例2 两个一次函数y1＝ax＋b与y2＝bx＋a，它们在同一坐标系中的图象可能是( )
A B C D
分析：解此类题应根据k，b的符号从而确定y＝kx＋b图象的位置或根据图象确定k，b的符号．A选项中，由y1的图象知a>0，b<0，则y2的图象应过第一、二、四象限，故A错，C对；B选项中，由y1的图象知a>0，b>0，则y2的图象应过第一、二、三象限，故B错；D选项中，由y1的图象知a<0，b>0，则y2的图象应过第一、三、四象限，故D错．
【归纳总结】对于两种不同函数的图象共存同一坐标系问题，一般常假设某一图象正确，然后根据相同字母系数的符号的不变性，来判定另一图象是否正确，进而解决问题．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P38练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P47习题12.2第1～6，13题．
第3课时 用待定系数法求一次函数的表达式
1．学会用待定系数法确定一次函数解析式．
2．了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数．
重点
待定系数法确定一次函数解析式．
难点
灵活运用有关知识解决相关问题．
一、创设情境，导入新课
1．复习：画出函数y＝3x，y＝3x－1的图象．
2．反思：你在作这两个函数图象时，分别描了几个点？
你为何选取这几个点？
可以有不同取法吗？
3．引入新课：在上节课中我们学习了在给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象特征及有关性质；反之，如果给你信息，你能否求出函数的表达式呢？这将是本节课我们要研究的问题．
二、合作交流，探究新知
(1)求下图中直线的函数表达式．
(2)分析与思考：(1)题是经过原点的一条直线，因此是正比例函数，可设它的表达式为y＝kx，将点(1，2)代入表达式得2＝k，从而确定该函数的表达式为y＝2x.(2)设直线的表达式是y＝kx＋b，因为此直线经过点(0，3)，(2，0)，因此将这两个点的坐标代入，可得关于k、b方程组，从而确定了k、b的值，确定了表达式．(写出解答过程)
(3)反思小结：确定正比例函数的表达式需要1个条件，而确定一次函数的表达式需要2个条件．
像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．
师生整理归纳．
教师引导学生总结出：
数学的基本思想方法：数形结合．
三、运用新知，深化理解
例1 如图所示，一次函数的图象过点A，且与正比例函数y＝－x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2 D．y＝－x－2
分析：由正比例函数y＝－x可知，当x＝－1时，y＝1，∴点B的坐标为(－1，1)．设一次函数的表达式为y＝kx＋b，把点B(－1，1)，A(0，2)的坐标代入所设函数表达式，得解得∴y＝x＋2.
【归纳总结】(1)利用待定系数法求一次函数的表达式时一定要有两个独立的条件，如两个点的坐标，或x与y的两对对应值等；(2)注意通过读图获取有用的信息，如本题中，A点的纵坐标为2，即函数图象的截距为2，B点的横坐标为－1，由B点在直线y＝－x上可得其纵坐标．
例2 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行且经过点A(1，－2)，则kb＝______．
分析：∵直线y＝2x与直线y＝kx＋b平行，∴k＝2.∵直线y＝kx＋b过点(1，－2)，∴2＋b＝－2.∴b＝－4.∴kb＝2×(－4)＝－8.
【归纳总结】两直线y＝k1x＋b与y＝k2x＋b平行，则k1＝k2.先由两直线平行求得k，再把点(1，－2)代入y＝kx＋b求解可得b的值．
补充练习：
(1)若一次函数y＝3x－b的图象经过点P(1，－1)，则该函数图象必经过点( )
A．(－1，1) B．(2，2)
C．(－2，2) D．(2，－2)
(2)若直线y＝kx＋b平行于直线y＝－3x＋2，且在y轴上的截距为－5，则k＝______，b＝______．
(3)小明根据某个一次函数关系式填写了下表：
x
－2
－1
0
1
y
3
1
0
其中有一格不慎被墨汁遮住了，想想看，该空格里原来填的数是多少？
解释你的理由．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P40练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P47～48习题12.2第7～12题．
第4课时 一次函数的应用
1．理解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象；能深入了解一次函数的应用价值．
2．在多变量的问题的解决中，能合理选择某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数．
重点
对分段函数图象的理解．
难点
能将具体的实际问题转化为数学问题，利用数学模型解决实际问题．
一、创设情境，导入新课
小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．
该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？
二、合作交流，探究新知
探究点一：对分段函数图象的理解
例1 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车的距离y(千米)与货车行驶的时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点B的坐标为(3，75)；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．
以上4个结论中正确的是________．
分析：根据题意可判断图中OA为快递车从甲地行驶到乙地过程中两车的间距，AB为快递车在甲地卸货时两车的间距，BC为快递车返回甲地直至两车相遇过程两车的间距．通过分析找出各个阶段量的关系，可求出正确结论．①A点为快递车到达乙地的时刻，快递车从甲地到乙地共用3小时，两车速度差为120÷3＝40(千米/时)，已知货车速度为60千米/时，则快递车速度为100千米/时，①正确；②甲、乙两地的距离为100×3＝300(千米)，②错误；③B点为快递车卸货结束的时刻，快递车卸货45分钟，因此B点横坐标为3，此时货车行驶距离为60×3＝225(千米)，300－225＝75(千米)，所以B点纵坐标为75，则点B的坐标为(3，75)，③正确；④BC段所用时间为4－3＝(小时)，在B点时两车相距75千米，相遇时货车行驶距离为60×＝30(千米)，快递车行驶距离为75－30＝45(千米)，故此段快递车的速度为45÷＝90(千米/时)，④正确．
【归纳总结】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程．
探究点二 实际问题中的方案选择
例2 电信局为满足不同客户的需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图(MN∥CD)，若通话时间为500分钟，则应选择哪种方案更优惠( )
A．方案A B．方案B
C．两种方案一样优惠 D．不能确定
分析：由图可知，通话时间为500分钟时，方案A的费用是230元，方案B的费用是168元，∵230＞168，∴选择方案B更优惠．
【归纳总结】根据图象可知通话500分钟两种方案的通话费用，选择费用少的一种方案即可．
三、运用新知，深化理解
例3 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB(元)．请解答下列问题：
(1)分别写出yA和yB与x之间的关系式；
(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
分析：(1)可根据题意，直接写出yA和yB与x之间的关系式；第(2)题在第(1)题的基础上，分类讨论，得到对应的自变量的取值范围；第(3)题须在第(2)题的基础上再次分类讨论，特别需要提醒的是，这里不再限制“只在一家超市购买”，所以，要考虑到B超市免费送羽毛球的情况，经过计算、比较，得到结果．
解：(1)yA＝27x＋270，yB＝30x＋240；
(2)当yA＝yB时，27x＋270＝30x＋240，解得x＝10；
当yA＞yB时，27x＋270＞30x＋240，解得x＜10；
当yA＜yB时，27x＋270＜30x＋240，解得x＞10.
∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算；当x＝10时，两家超市都一样；当x＞10时，到A超市购买划算；
(3)∵x＝15＞10，∴①选择在A超市购买，yA＝27×15＋270＝675(元)；
②可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，后在A超市购买剩下的羽毛球(10×15－20＝130)个，则共需费用：10×30＋130×3×0.9＝651(元)．
∵651＜675，∴最省钱的购买方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，后在A超市购买130个羽毛球．
【归纳总结】解答函数的应用题，必须读懂题意，注意题干条件与各个问题的条件之间的关系．题干中的条件适用于每一个小题，但是，各个小题的条件并不互相影响；要针对各个小题的条件，结合所问问题做不同的分类讨论．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P42及P44练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
1．分段函数
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P48习题12.2第15～16题．
第5课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式(组)
1．理解一次函数与一元一次方程的关系以及一元一次不等式与一次函数问题的转化关系．
2．会根据一次函数的图象解决一元一次方程及不等式的求解问题．
3．进一步理解数形结合思想，提高问题间互相转化的能力．
重点
一次函数与一元一次方程关系的理解以及一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系的理解．
难点
对一次函数与一元一次方程关系的理解以及用图象法求解不等式中自变量取值范围的确定．
一、创设情境，导入新课
[活动1]
问题
1．解方程2x＋20＝0.
2．在坐标系中画出一次函数y＝2x＋20的图象．
思考：直线y＝2x＋20与x轴交点的横坐标是方程2x＋20＝0的解吗？为什么？
这两个问题是同一个问题吗？
学生独立思考问题1，2，并完成画图，相互交流观察与思考的结果．
教师巡视，对学生出现的问题给予帮助．师生共同归纳：
(1)在问题1中，解方程0＝2x＋20，得x＝－10.
(2)解问题2就是要考虑当函数y＝2x＋20的值为0时，所对应的自变量x为何值，这可以通过解方程2x＋20＝0，得x＝－10.因此这两个问题实际上是同一个问题．即这两个问题是同一个问题的两种不同的表达方式．
(3)从“数”的角度看，方程2x＋20＝0的解是x＝－10；从“形”的角度去看，直线y＝2x＋20与x轴交点的坐标是(－10，0)，这也说明，方程2x＋20＝0的解是x＝－10.
在此活动中，教师应关注：
(1)学生能否通过问题1，2体会一次函数与一元一次方程在数与形两个方面的关系．
(2)学生独立思考．
[活动2]
问题
1．解不等式5x＋6>3x＋10.
思考：不等式5x＋6>3x＋10可以转化为ax＋b>0的形式吗？所有的不等式是否都能转化为这种形式呢？
2．当自变量x为何值时，函数y＝2x－4的值大于0?
思考：以上两个问题是同一个问题吗？
3．问题2能用一次函数图象说明吗？
引导学生解不等式后再思考问题．
师生共同归纳：(1)在问题1中，不等式5x＋6>3x＋10可以转化为2x－4>0，解这个不等式得x>2.
(2)思考问题的答案是肯定的．
(3)解问题2就是要解不等式2x－4>0，得出x>2时，函数y＝2x－4的值大于0.因此这两个问题实际上是同一个问题．
教师导入新课：是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢？它在函数图象上的表现是什么？如何通过函数图象来解一元一次不等式？
解不等式，讨论归纳．
画图尝试．
二、合作交流，探究新知
探究一
方程ax＋b＝0(a，b为常数)与“求自变量x为何值时，一次函数y＝ax＋b的值为0”有什么关系？
教师引导学生从特殊事例中寻求一般规律，进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联系，从思想上真正理解函数与方程的关系．
学生在教师引导下，通过自主合作，分析思考，找出这两个具体问题中的一般规律，从而经过讨论，归纳概括出较完整的关系，还要从思想上正确理解函数与方程关系的目的．
学生认真思考、积极讨论，并展示自己的结论．
师生共同归纳：
由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b确定它与x轴交点的横坐标值．
在此活动中，教师应重点关注：
(1)学生是否能从“数”和“形”两个角度去认识一次函数与解一元一次方程；
(2)学生是否会考虑用函数的图象法去解一元一次方程．
探究二
一个物体现在的速度是5 m/s，其速度每秒增加2 m，再过几秒它的速度为17 m/s?
思考：(1)本题的相等关系是什么？
(2)设再过x秒物体速度为17 m/s，能否列出方程？
(3)如果速度用y表示，那么能否列出函数表达式？
(4)上面不同的解法，各有什么特点？
学生审题后，教师引导，让学生用方程或函数解决此题．
解答如下：
解法一：设再过x秒物体速度为17 m/s.
由题意可知：2x＋5＝17，
解之得：x＝6.
解法二：速度y(m/s)是时间x(s)的函数，关系式为：y＝2x＋5.
当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x＋5＝17得到，x＝6.
解法三：由2x＋5＝17可变形得到：
2x－12＝0.
从图象上看，直线y＝2x－12与x轴的交点为(6，0)，得x＝6.
此问题教师应关注：
(1)让学生知道，解法一、二是从“数”的方面考虑；解法三就是从“形”的方面考虑．
(2)对于解法三，学生能否画图解决．
(3)学生对比两种解法的优缺点：直接解方程比解法三更简洁．但解法三显示了一次函数与一元一次方程之间的联系．
探究三
利用图象求方程6x－3＝x＋2的解．
思考：
(1)如何将方程变形为一般形式？哪条直线与x轴的交点就是原方程的解？
教师引导学生通过解决问题掌握方法，提高认识，从思想上真正理解数形结合的重要性．
学生在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题，从思想上理清数与形的有机结合．
活动过程与结论：
方法一：
我们首先将方程6x－3＝x＋2整理变形为5x－5＝0.
然后画出函数y＝5x－5的图象，看直线y＝5x－5与x轴的交点为(1，0)，故可得x＝1.
(2)我们可以把方程6x－3＝x＋2看作函数y＝6x－3与y＝x＋2在何时两函数值相等？如果这样，原方程的解应是什么？
方法二：
我们可以把方程6x－3＝x＋2看作函数y＝6x－3与y＝x＋2在何时两函数值相等，即可从两个函数图象上看出，直线y＝6x－3与y＝x＋2的交点，交点的横坐标即是方程的解．
由图象可以看出直线y＝6x－3与y＝x＋2交于点(1，3)，所以x＝1.
教师应关注：
(1)学生是否理解原方程6x－3＝x＋2整理变形为5x－5＝0，然后再用画出函数y＝5x－5的图象求解的意图．
(2)对两条直线交点的坐标的含义是否理解．
探究四
1．我们先观察函数y＝2x－4的图象．能否解决[活动2]下的问题2?
如图：
教师引导学生看图：在x轴上方的函数值及所对应的自变量x的对应关系．
师生共同归纳：由此可知，通过函数图象也可求得不等式2x－4>0的解集为x>2.
由上面两个问题的关系，我们能得到“解不等式ax＋b>0”与“求自变量x在什么范围内，一次函数y＝ax＋b的值大于0”之间的关系，实质上是同一个问题．
师生共同归纳：
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于(或小于)0时，求自变量相应的取值范围．
学生观察后可以看出：当x>2时，直线y＝2x－4上的点全在x轴上方，即这时y＝2x－4>0.
2．由上面的两个问题，你能否说出一次函数与一次不等式之间有何关系？
探究五
用画函数图象的方法解不等式5x＋4<2x＋10.
解法一：原不等式可以化为3x－6<0，画出直线y＝3x－6的图象，可以看出，当x<2时，这条直线上的点在x轴的下方．即这时y＝3x－6<0，所以不等式的解集为：x<2.
解法二：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y＝5x＋4与直线y＝2x＋10，可以看出，它们交点的横坐标为2.当x<2时，对于同一个x，直线y＝5x＋4上的点在直线y＝2x＋10上的相应点的下方，这时5x＋4<2x＋10，所以不等式的解集为：x<2.
从上面两种解法可以看出，虽然像上面那样用一次函数图象来解不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次不等式之间的联系，能直观地看出怎样用图形来表示不等式的解．
此活动教师应关注：(1)学生是否积极参与探讨问题；(2)从函数值的角度(数)看，就是寻求一次函数y＝ax＋b的值大于(或小于)0的自变量的取值范围；(3)从函数图象上(形)看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上(或下)方部分的所有的点的横坐标所构成的集合．
引导学生通过画图、观察、寻求答案，并能通过两种不同解法，得到同一答案，探索思考总结归纳出其中的共同点．
三、运用新知，深化理解
例 已知一次函数的图象过点A(1，4)、B(－1，0)，求该函数的解析式并画出它的图象，利用图象求：
(1)当x为何值时，y＞0，y＜0；
(2)当－3＜x＜0时，y的取值范围；
(3)当－2≤y≤2时，x的取值范围．
分析：首先利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后在直角坐标系中描出A(1，4)、B(－1，0)两点，过这两点画直线，再结合图象解答各问题．
解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b，代入(1，4)、(－1，0)得，解得所以y＝2x＋2.一次函数y＝2x＋2的图象如图所示．由图可得：
(1)当x＞－1时，y＞0；当x＜－1时，y＜0；
(2)当－3＜x＜0时，－4＜y＜2；
(3)当－2≤y≤2时，－2≤x≤0.
【归纳总结】从图象上看，kx＋b＞0的解集是直线y＝kx＋b(k≠0)位于x轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围；kx＋b＜0的解集是直线y＝kx＋b(k≠0)位于x轴下方的部分所对应的自变量x的取值范围．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P46练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
通过本节课的学习总结前面所学的知识，归纳得出一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间有何关系？
本节课我们学会了用一次函数图象来解一元一次方程及一元一次不等式．虽说方法未必简单，但我们从函数的角度来重新认识不等式，发现了一次函数、一元一次方程及一元一次不等式之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示一元一次方程及不等式的解，对我们以后学习很重要．
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P49习题12.2第17～20题．
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