八年级数学上册 11.2 《直角三角形全等的判定》课案（教师用) 新人教版.doc

课案（教师用）
11.2 三角形全等的判定
-----直角三角形全等的判定
（新授课）
【理论支持】
本节课是依据《数学课程标准》设计完成的，它体现了以下基本理念：
1.学生的数学学习应当是现实的，有意义的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实践、猜想、验证、推理与交流等数学活动.
2.教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本数学知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验.
3.数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去.
“直角三角形全等的判定”这一节是在已学习“三角形全等的判定”的基础上，进一步研究“斜边、直角边对应相等的两个直角三角形全等”，以及综合运用所学知识探究、证明两个直角三角形全等.在整个教学过程中，采用探究式、讨论式教学；同时创设情境，引导学生发现问题，并通过学生自己动手、动脑，发现“斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等”这一公理.在后面的练习中，通过条件探究、结论探究突破难点，抓住关键，让学生理解问题的实质，基本上是学生自己动手操作，教师适当引导完成的，充分体现了学生的主体地位，调动了学生的积极参与课堂教学的意识，培养了学生的语言表达能力、思维能力和动手能力、创新意识和实践能力.同时采用多媒体辅助教学，调动学生视觉、听觉、触觉等多种感官参与学习活动，激发学生兴趣，减轻学习负担，突破难点.
【教学目标】
知识技能
1. 掌握已知斜边、直角边画直角三角形的方法
2. 能够运用HL公理及其他三角形全等的判定方法进行证明和计算.
数学思考
1. 在探究HL公理的过程中发展几何直觉.
2. 通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理能力.
解决问题
了解HL公理在生活、生产中的应用，进一步发展学生的推理证明意识和解决问题的能力.
情感态度
结合实际，创造丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心.
【教学重难点】
重点：探究直角三角形全等的条件及应用
难点：灵活应用五种方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）来判定直角三角形、一般三角形全等.
【课时安排】一课时
【教学设计】
课前延伸
一、基础知识及答案
1．_____________的两个直角三角形全等,可以简写成“斜边、直角边”或 “_______” .
2.判断题
①一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等. （ ）
②两直角边对应相等的两个直角三角形全等. （ ）
③两边对应相等的两个直角三角形全等. （ ）
④两锐角对应相等的两个直角三角形全等. （ ）
3.如图△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC（全等吗？）___________

4．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全不全等? 当其中有一组相等的边所对的角是直角时，这两个三角形全不全等呢？
【答案】（1）斜边、一直角边对应相等，HL
（2）①对，②对，③对，④错
（3）全等
（4）不一定全等；全等
【设计说明】让学生通过练习，初步了解HL,会进行简单应用；了解与一般三角形的判定区别与联系，并让学生回忆旧有经验，为掌握新知打下基础，同时让学生养成主动 学习的习惯，并学会学习.
二、预习思考题及答案
1.如图，已知MB=ND，AB=CD 下列添加的条件中，哪一个不能用于判定△ABM≌△CDN的是（ ）

A．∠AMB=∠CND B. ∠AMB=∠CND =90° C．AM=CN D．BM∥DN
2.下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个直角三角形全等
B．周长相等的两个直角三角形全等
C．斜边相等的两个直角三角形全等
D．有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等
3.如图已知AB=CD，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE=CF，则图中全等的三角形有
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

【答案】（1）C, （2）D, （3）C
【设计说明】这一组习题有一定难度，旨在让学生感悟HL公理在解题中的运用，从而激发学生的求知欲,培养学生的钻研、探索能力，并让学生带着疑问进行新课的学习.
课内探究
一、导入新课
（一）创设情境，启引兴趣
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边（虚线所示）被花盆遮住无法测量.
1、

你能帮他想个办法吗？如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？
【设计说明】教学过程中创设这一问题情境,目的在于让学生从生活中发现数学问题，同时也让学生认识到：生活中存在直角三角形的全等的模型，从而激发学生学习兴趣,产生学习的欲望，养成主动学习的习惯.
（二）温故知新
1、同学们回顾一下，判定两个三角形全等，我们学习了哪些方法？这些方法可用来判定两个直角三角形全等吗？为什么？直角三角形是一种特殊的三角形，除了一般三角形全等的四种方法判定方法判定两个直角三角形全等之外，有没有其他方法呢？
2. 前面我们已经学过，已知两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全不全等?

上图中AC＝DF1，AB＝ED=DG，∠C＝∠F，△ABC≌△DEF,但△ABC与△DGF不全等，你能解释其中的道理吗？
二、探索新知
（一）提出问题，引出HL
1、学生自主探究题
两边及其一边的对角对应相等的两个三角形中, 当其中一组相等的边所对的角是直角时，这两个三角形全不全等呢？
作图：已知线段a、c（a＜c），
利用尺规作一个Rt△ABC，使 ∠C＝900，

CB=a，AB=c.

以上作图要求学生a取3cm、c取5cm,并说出作图步骤

作图步骤:
（1）作∠MCN=90°；
（2）在射线CN上截取线段CB=a；
（3）以B为圆心，c为半径画弧，交射线CM于点A；
（4）连接AB
△ABC就是所求作的三角形
【设计说明】 由一般三角形过渡到直角三角形，让学生很快了解二者的区别与联系，从而理解直角三角形判定方法的特殊性，HL公理适用范围的局限性
【点拨方法】引导学生看书自学，同桌合作作图，有疑问教师指导
2、小组合作探究题
通过这个作图你能说明什么问题,又能得出什么结论?
归纳：有斜边、一直角边对应相等得两个直角三角形全等，我们把这个结论也叫做斜 边、直角边公理,简记为: “斜边、直角边” 、 “HL”.
3．揭示课题，整理概念，板书

（二）综合运用，巩固新知
1．请同学们思考开始上课时提出的问题：
2．例1.已知：如图，AO⊥AC，BO⊥BC，A、B为垂足，OA=OB求证：BC=AC
【点拨方法】要证BC=AC，就要证Rt△OAC≌Rt△OBC,已有一直角边OA=OB,而斜边OC=OC是公共边，可利用刚刚所学的斜边、直角边公理证明它们全等，从而证得AC=BC
（1）现在我把这道题的图形改变，条件不变将△BOC平移到下图所示△BEF位置

根据这两个直角三角形现在的位置关系,你能出一条证明题吗？你再请一位同学把你编的题目证明一下，你所编的题目还能得出什么结论？
(3)若（2）中的条件不变，把△BEF向上翻折，又可得出什么结论？

（4）再把△BEF绕点C旋转到图示△FCB处，谁能根据这个位置关系再出一道证明题，又如何证明你编的题目，你所编的题目还能得出什么结论？
【设计说明】让学生初步学会运用HL公理，掌握HL公理证题的规范格式；并通过初中几何最基本的三种变换，加强学生的识图能力，活跃学生的思维，同时让学生编题，寻找其他结论，培养学生的发散性思维、综合运用的能力.
【点拨方法】在学生独立思考的基础上，小组讨论，然后教师引导总结.
3．例2已知：DB⊥BC,AD⊥AC,垂足为A、B，AC=BD
求证：AD=BC
【点拨方法】本题所给的条件，可得一边、一角对应相等，不能直接证到两三角形形全等，需要作辅助线
方法一：连结CD ，证△ADC与△BCD 全等

方法二：延长DA、CB交于点E，可证△BDE与△ACE全等，可得AE=BE,进而得AD=BC

【设计说明】通过此题，向学生说明当题目条件不够充分，无法证明结论，这时就需要添加辅助线，同时向学生强调所添加的辅助线要使证题越简单越好.
【点拨方法】 教师和学生一起读题分析，提示需要辅助线，让学生思考如何作辅助线.
4.例3 已知：如图△ABC和△FGE中，CD、EH分别是高，并且AC＝EF1，CD＝EH， ∠ACB＝∠FEG 求证：△ABC≌△FGE

【点拨方法】这道题中的两对等线段：AC＝EF1，CD＝EH可放到△ACD与△FEH中，利用HL公理证得它们全等，进而得大三角形中的一对角相等，再利用ASA证得结论
(1)你能用文字语言概括一下这道题吗？
(2)若把上面题目改成:
已知：如图△ABC和△FGE中，CD、EH
分别是高，并且AC＝EF1，CD＝EH，BC=EG
问：△ABC与△FGE是否还全等？
(3)若把BC=EG换成AB＝FG，△ABC与△FGE全等吗?若全等，你能用文字语言概括一下此题吗？
【设计说明】让学生灵活运用五种判定方法解决问题，并能将符号语言与文字语言互相转化.
【点拨方法】让学生自主完成，教师根据需要提示.
5. 例4 AB⊥AC，AC⊥CD，AD=BC，请你根据这道题的条件自编一个结论并写出证明过程

【点拨方法】这道题根据所给条件，可利用HL证两三角形全等，由全等进一步可得对应边、对应角相等，再由角的关系可得线段平行，角互补，答案不唯一，让学生自主完成，允许小组讨论.
【设计说明】让学生了解同一条件可得不同的结论，由全等进一步可得对应边、对应角相等，再由角的关系可得线段平行，角互补.
三、教师精讲点拨
HL的条件实际上就是两边及一边的对角对应相等，此角是直角，与一般三角形是有区别的，它也需要三个条件，但书写格式不同.
当题目条件不够充分，无法证明结论，这时就需要添加辅助线，但所添加的辅助线要使证题越简单越好.
同一条件可得不同的结论，由全等进一步可得对应边、对应角相等，再由角的关系可得线段平行，角互补等结论.
四、小结升华，提高认识
同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？
引导学生从直角三角形全等判定的特殊性，与一般三角形判定的区别，直角三角形全等判定的注意点、作用、解题方法、技巧、思想方法等方面进行总结.
【设计说明】旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，提高认识.
课后提升
1.如图，已知：AB与CD相交于点O，由O，OE⊥AD垂足为E，OF⊥BC垂足为F，若有
OE=OF，AO=BO，求证CO=DO.

分析 ：欲证CO=DO，就要证△AOD≌△BOC，它已具备了两个条件AO=BO和∠AOD=∠BOC,我们再证∠A=∠B即可,那么由Rt△AOE≌△BOF,可证∠A=∠B.
2.已知，如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，CE=BF，连接AD交EF于点O，猜
想点O为哪些线段的中点？选择一种结论证明.

分析：通过证明三角形全等得到结论,答案不唯一.
3. 已知：（如图）△ABC中，AD是BC边上的高，AD=BD，BE=AC，延长BE交AC于F，
求证BF⊥AC.

分析：先证△BDE≌△ADC,可得∠DAC=∠EBD,再证结论
4.已知：（如图）AB=AE，BC=BD，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足.求证：CF=DF.

分析：证明两条线段相等，可把它们放到两个三角形中，故连结AC、AD，要证△AFC≌△AFD，还缺少一个条件，而由已知有，△ABC≌△AED，则AC=AD，故得证.
【设计说明】培养学生应用全等三角形的五种判定方法证明线段、角相等,进一步提高学生逻辑推理能力，分析问题、解决问题的能力