湖南省益阳市资阳区迎丰桥镇九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

垂直于弦的直径
课题：24.1.2 垂直于弦的直径
课时
1 课 时
教学设计
课 标
要 求

探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
教
材
及
学
情
分
析
1、 教材分析：
圆是平面几何中最重要的图形之一，它不仅在几何中有重要地位，而是进一步学习数学以及其他学科的重要基础。圆的许多性质，比较集中的反映了事物内部两边变和质变的关系，一般和特殊的关系、矛盾对立统一的关系。所以本章教学在初中数学教学中有重要地位。
2、 学情分析
学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移、旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．
课
时
教
学
目
标
1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明．
2．进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．
3．通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．
重点
垂径定理及其应用
难点
垂径定理的证明
教法学法
指导
探究法 归纳法 练习法
教具
准备
课件
教学过程提要
环节
学生要解决的问
题或完成的任务
师生活动
设计意图
引
入
新
课
一、 通过折叠探究圆的对称性

一、导入新课
1．实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性等特征．
2．探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？

培养学生动手操作能力

教

学

过

程
二、通过折叠圆探究垂径定理

1、 探究垂径定理

2、探究垂径定理的推论
二、新课教学
1．垂径定理及证明．
请同学们回答下面两个问题：（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
分析：（1） 圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径．（2）我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．
因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
如右图，AA′是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AA′，垂足为M．
（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
点评：（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．
（2）AM＝A′M，＝，＝．即直径CD平分弦AA′，并且平分．
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
下面我们用逻辑思维来证明它．
已知：直径CD、弦A A′且CD⊥A A′垂足为M．
求证：AM＝A′M，＝，＝．
分析：要证AM＝A′M，，只要证AM、A′M构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OA′或AD、A′D或AC、A′C即可．
证明：如图，连结OA、OA′，则OA＝OA′，
在Rt△OAM和Rt△OA′M中，OA＝OA′，OM＝O M，
∴Rt△OAM≌Rt△O A′M．
∴AM＝A′M．
∴点A和点A′关于CD对称．
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点A′重合，与重合，与重合．
∴＝，＝．.
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．实例探究．
例 赵州桥（下左图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）．

培养学生数形结合解决问题的思想

用所学知识解决实际问题，知道数学来源于生活，并服务于生活。
教

学

过

程

四、用知识解决问题

五、练习：

分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形．
解：如上右图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．
由题设可 AB＝37 m，CD＝7.23 m，
所以 AD＝AB＝×37＝18.5（m），
OD＝OC－CD＝R－7.23．
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2＝AD2＋OD2，
即 R2＝18.52＋(R－7.23)2．
解得 R≈27.3 m．
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
三、 练习：

巩固所学知识
小

结

这节课你学到了什么？
板

书

设

计

24.1.2 垂直于弦的直径

1、 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

2、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
作

业

设

计

绩优学案
1、必做题：1——8题
2、选做题：9题
教

学

反

思