资源描述
三角形
【知识梳理】
三角形
1、三角形基础知识
三边关系
边角关系
2、三角形的分类
3、等腰三角形
4、三角形的全等
5、三角形的相似
6、直角三角形与锐角三角函数
【知识重温】
1、三角形的概念及相关：
表示： 三线：（高线、中线、角平分线）
中位线：
2、三角形基本性质：
①三边关系： a： b：
②内角和定理：三角形三个内角之和为180°.
推论：直角三角形两锐角 。
③外角性质：三角形一外角= 。
④稳定性：
3、三角形的分类：
按角分类：
按边分类：
4、等腰三角形的性质
性质1：等边等角
性质2：等腰三角形三线合一
【能力训练】
1、（07浙江义乌）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=6cm，则BC=_____cm.
B
C
A
D
2、（07年娄底市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝40º，
AC∥BD，则∠ABD＝__________。
3、如图（5）BC⊥ED于点M，∠A=27°，∠D=20°，则∠B= °，∠ACB= °
4、已知三角形三边长为3，4，则第三边为 ，若该边为偶数有 个。
5、等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ．
6、（08重庆）已知一等腰三角形两内角之比为1∶4，则其顶角的度数为（ ）
A）200 B）1200 C）200或1200 D）360
7、等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A＝_____
8、 07年长沙） △ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，当BC=10cm时，DE= cm。
9、现有2cm、4cm、4cm、8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10、如图，中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD= 。
11、如图，在△ABC中, AB=AC,点D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
求证：DE=DF．
12、如图，已知的中垂线交于点，交于点，有下面4个结论：
①射线是的角平分线；
②是等腰三角形；
③∽；
④≌。
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明。
13、化简求值：，其中
《三角形》2 三角形的全等
【知识重温】
1、全等的概念
全等形： 全等三角形： 表示：
对应角、边、线：
2、全等的性质
图形全等
对应线段相等 如：
对应角相等
3、三角形全等的判定 （必要条件：至少有一组边对应相等）
通
用
判
定
判定1：SSS
判断2：SAS
判定3：ASA
判定4：AAS
Rt△
特殊判定：HL
4、证法小结：
证明角相等：
证明线段相等：
①
②
③
④
⑤ ⑥
①
②
③
证明线段a+ b= c
【能力训练】
1、（08天津）下列判断中错误的是（ ）
A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C. 有一边对应相等的两个等边三角形全等
2、如图，，要使，
需添加一个条件是 （只要写一个条件）．
3、（08浙江温州）已知：如图，.
4、已知，如图AB＝DE，BF＝CE。
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）GF＝GC。
5、如图，，，．
求证：；
A
B
D
E
F
C
6、（湖南怀化）如图，，，，
1
2
求证：
7、如图，在等边中，且，与交于点．
D
A
E
F
B
C
（1）求证：；
（2）求的度数．
8、已知：如图，为上一点，点分别在两侧．，，．求证：．
A
C
E
D
B
9、已知：如图，AB=CD，BC=AD
BE⊥AC于E，DF⊥AC于F
求证：BE=DF
10、已知：如图，∠ABC=∠DCB，AB=DC，
求证：AE=DE
A
E
B
C
F
D
1
2
3
11、已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．
《三角形》3 三角形的相似
【知识重温】
1、相似的概念
相似形： 相似三角形： 表示： （对应角、边、线）
2、相似的性质
图形相似
对应线段 如：
对应角相等
周长比=相似比
面积比=相似比2
3、三角形相似的判定
通
用
判
定
判定1：“SSS”
判断2：“SAS”
判定3：“AA”
判定4：平行
Rt△
特殊判定：“HL”
4、特殊的相似与特点：
全等形
位似形
【能力训练】
◇相似的性质◇
B
C
G
H
A
E
F
1、如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=4，DB=2，则DE∶BC的值为___________ 。
2、 AB：AC=2：5，以AB，AC为直径画圆，则小圆面积与大圆面积比为________ 。
3、如图，已知等腰△ABC的面积为8cm2，点D、E分别是AB、AC边中点，则梯形DBCE的面积为______ cm2．
4、将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于___________ 。
5、同一时刻，小明身高1.5米，影长1米，一棵槟榔树影长为5米，树高是 米.
6、如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿，全竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22米，则旗杆的高为_____________m
7、两个相似三角形，相似比为7∶2，其中一个三角形的面积是14，则另一三角形面积是________。
8、 如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的距离是6m，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？
◇三角形相似的判定◇
B
D
E
F
G
H
K
⑤
②
①
④
⑥
③
9、如图,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中有_____对三角形相似.
10、如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和△ABC相似,则可添加一个条件:________________________________
11、 如图，在正方形网格上有6个斜三角形．①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中，与三角形①相似的是 （ ）
12、 如图,在大小为4×4的单位正方形方格中, ∆ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个∆A1B1C1 与∆ABC相似（相似比不为1），且顶点都在单位正方形的顶点上.
◇三角形相似的应用◇
13、如图，已知正方形ABCD，P为DC上一点（D、C除外），连结AP，将△APD绕点D逆时针旋转90°，得到△CED，直线EC交直线AP于G.
求证：AE·ED=EG·CE.
14、如图，在矩形中，，．直角尺的直角顶点在上滑动时（点与不重合），一直角边经过点，另一直角边交于点．
求证：“”
P
A
E
B
C
D
如图，已知正方形ABCD，P为DC上一点（D、C除外），连结AP，将△APD绕点D逆时针旋转90°，得到△CED，直线EC交直线AP于G.
求证：AE·ED=EG·CE.
如图，四点在上，的延长线相交于点，直径为8，，．
（1）求证：；
O
C
E
D
B
A
《三角形》4 直角三角形与三角形函数的应用
【知识重温】
1、直角三角形及其性质
勾股定理：
Rt△ 直角边2 +另一直角边2 = 斜边2
勾股数：
其它定理：
◇直角边×另一直角边= 斜边×斜边上的高（=面积的2倍）
◇Rt△ 斜边上的中线是斜边的一半
◇Rt△ 两锐角互余。
◇射影定理
2、锐角三角函数
名称
定义
记作
30°
45°
60°
角A的
sinA
角A的
cosA
角A的
tanA
3、解三角形及其应用
求法
◇已知两边
◇已知一边一角
◇已知一边一函数
4、解三角形应用步骤
①构建合适的Rt△
②利用三角函数把已知和要求的联系起来
③求解
④据实际情况回答具体问题
【能力训练】
◇直角三角形及其性质◇
1、如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是 _________ 。
2、直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 。
P
P
3、如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点是正六边形的一个顶点，以点为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你画出所有可能的Rt△，求出直角三角形的斜边长 ．
P
P
◇锐角三角函数◇
4、已知△中，∠C=90º，BC=2，AB=3,则_________。
5、计算
◇ 解三角形及其应用◇
6、已知:Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,AB=15,则AC的长是 。
7、已知斜坡的坡角，则该斜坡的坡度为 。
8、半径为R的圆内接正三角形边长是 ，边心距为 。
9、点P（，1）求：(1) PO （2）
10、如图,天空中有一个静止的广告气球C,从地面A 点测得C点的仰角为45°,从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20m.点C和直线AB在同一铅垂平面上,求气球离地面的高度(结果保留根号).
11、如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测D点的俯角为30°，测C点的俯角为60°，求的高．
B
D
C
F
E
A
12、去年山洪暴发，好几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经勘测，当坡角不超过时，可以保山体不滑坡．某小学紧挨一座山坡，如图示，，斜坡长30米， ．改造后斜坡与地面成角，求至少是多少米？（精确到0.1米）
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