资源描述
弧长和扇形面积
课 标
解 读
与
教 材
分 析
【课标要求】
了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用。
教学内容分析：
通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=和扇形面积S扇=的计算公式，并应用这些公式解决一些题目。
教
学
目
标
知识
与
技能
1、了解扇形的概念。
2、理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用。
过程
与
方法
结合生活中的应用弧长计算实例，通过弧长和圆的周长的关系，探索发现弧长的计算公式，然后学会用弧长的计算公式，解决相关的问题。
情感 态度
价值观
经历探索弧长计算公式，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
教学
重点
与
难点
重点
n°的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=及其它们的应用。
难点
1、由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程
2、两个公式的应用。
媒 体教 具
圆规、直尺
课时
一课时
教 学 过 程
修改栏
教学内容
师生互动
一、复习引入
（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题。
1、圆的周长公式是什么？
2、圆的面积公式是什么？
3、什么叫弧长？
老师点评：（1）圆的周长C=2R
（2）圆的面积S图=R2
（3）弧长就是圆的一部分。
二、探索新知
（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：
1、圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧。
2、1°的圆心角所对的弧长是_______。
3、2°的圆心角所对的弧长是_______。
4、4°的圆心角所对的弧长是_______。
……
5、n°的圆心角所对的弧长是_______。
（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：
n°的圆心角所对的弧长为
例1、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长（结果精确到0.1mm）
分析：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可。
解：R=40mm，n=110
∴的长==≈76.8（mm）
因此，管道的展直长度约为76.8mm．
问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:
（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？
学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积。
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:
像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（小黑板），请同学们结合圆心面积S=R2的公式，独立完成下题：
1、该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积。
2、设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
3、设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
4、设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
……
5、设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
老师检察学生练习情况并点评
1、360 2、S扇形=R2 3、S扇形=R2 4、S扇形= 5、S扇形=
因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形
S扇形=
例2、如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长（结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）
分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足。
解：的长=×10=≈10.5
S扇形=×102=≈52.3
因此，的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm2。
三、巩固练习
课本练习。
四、应用拓展
例3、（1）操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a。
（2）尝试与思考：如图a、b所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a。
(a) (b)
（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a，这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由。
解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD。
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，
又∠MON=90°，∠AOM=∠DON
∴△AMO≌△DNO
∴AM=DN
∴AM+AN=DN+AN=AD=a
特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．
故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）120°；70°
（3）；正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是．
五、归纳小结（学生小结，老师点评）
本节课应掌握：
1、n°的圆心角所对的弧长L=
2、扇形的概念。
3、圆心角为n°的扇形面积是S扇形=
4、运用以上内容，解决具体问题。
学生活动
老师点评
学生四人一组讨论
学生活动
板 书设 计
1、n°的圆心角所对的弧长L=
2、扇形的概念。
3、圆心角为n°的扇形面积是S扇形=
作 业布 置
教 学反 思
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