九年级数学 二次函数-华师大版.doc

九年级数学 二次函数-华师大版
第1课 二次函数的概念
教学目标：
1．使学生理解二次函数的概念．
2．使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围．
3．为分散后面教学的难点，可在本节解决较简单的用待定系数法确定二次函数解析式的问题．
重点：对二次函数概念的理解．
难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围．
教学过程：
一、情景创设
　1．什么叫函数？它有几种表示方法？
2．什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？(复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．)
二、实践与探索
　　函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系．
例1 正方形的边长是x，面积y与边长x之间的函数关系如何表示？
　　解：函数关系式是y=x2(x＞0)(写在黑板上)
例2 农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？
　　解：函数关系式是y=50(1＋x)2，即y=50x2+100x+50(写在黑板上)
　　由以上两例，启发学生归纳出(1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)．(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)．
三、讲解新课
二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．
巩固对二次函数概念的理解：
　　1．强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．
　　2．在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0．
　　3．在y=50x2＋100x＋50中， a=50， b=100， c=50．
　　4．为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了)
　　5．b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零．
　　若b=0，则y=ax2＋c；若c=0，则y=ax2＋bx；若b=c=0，则y=ax2．
　　以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式．
四、巩固新课
例1 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，指出a、b、c．
(1)y=1-3x2；(2)y=x(x-5)；　(3)y=3x(2-x)＋3x2；　(4)y＝(x＋2)(2-x)；
(5)y=x4＋2x2＋1．(可指出y是关于x2的二次函数)
例2．m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？
分析 若函数是二次函数，须满足的条件是：．
当，且时，函数是二次函数．
回顾与反思 形如的函数只有在的条件下才是二次函数．
探索 若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
延伸：已知函数是二次函数，求m的值．
例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
例4． 篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
例5． 已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a、b、c，并写出函数解析式．
五、布置作业
　　1．在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围．
　　2．已知二次函数y=4x2＋5x＋1，求当y=0时的x的值．
　　3．已知二次函数y=x2-kx-15，当x=5时，y=0，求k．
　　4．已知二次函数y=ax2＋bx＋c中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a、b、c的值
5. 当k为何值时，函数为二次函数？

第2课 二次函数的图象与性质（1）——二次函数y=ax2的图象
教学目标：
1．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象．
2．使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识．
3．进行由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育．
重点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象，掌握它的性质．
难点：渗透数形结合思想．
教学过程：
一 、情境导入
我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是 、 ，那么二次函数的图象是什么呢？
（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？
（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？
二、新课
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？
（1） （2）
共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．
不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，
在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，
曲线自左向右上升．
的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，
在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，
曲线自左向右下降．
回顾与反思 ：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形
的对称性，因为图象是抛物线，因此要用平滑曲线按自变量从小到
大或从大到小的顺序连接．
例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
解 （1）由题意，得．
列表：描点、连线，图象如图26．2．2．
（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．
（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．
回顾与反思
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．
（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
补充例题
　1．已知点M(k，2)在抛物线y=x2上，
　　(1)求k的值． (2)点N(k，4)在抛物线y=x2上吗？ (3)点H(-k，2)在抛物线y=x2上吗？
　2．已知点A(3，a)在抛物线y=x2上，
　　(1)求a的值． (2)点B(3，-a)在抛物线y=x2上吗？
三、小结
　　1．抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点．
　　2．a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上．
　　3．a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．
四、作业：
1、已知函数是二次函数，求m的值．
2、已知二次函数，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．
3、已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．
4、用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．
五、教学注意问题
　　1．注意渗透分类讨论思想．比如在y=ax2中a＞0时，y=ax2的图象开口向上；当a＜0时，y=ax2的图象开口向下，等等．
　　2．注意训练学生对比联想的思维方法．

第3课 二次函数的图象与性质（2）—二次函数的图象
教学目标：会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
重点：通过画图得出二次函数性质
难点：识图能力的培养
教学过程：
一、情境导入
同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？
你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？
那么与的图象之间又有何关系？ ．
二、实践与探索
例1．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象．
解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，
回顾与反思 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？
又有哪些不同？你能由此说出函数与的图象之间的关系吗？
例2．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．
回顾与反思 抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的．
探索 如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？
三、小结
谈下你有哪些收获？
四、作业
1、一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．

第4课 二次函数的图象与性质（3）二次函数的图象
教学目标：会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
重点：通过画图得出二次函数性质
难点：识图能力的培养
教学过程：
一、情境导入
　　我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？
二、 实践与探索
　例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，
它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．
回顾与反思 对于抛物线，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
探索 抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？
三、小结与作业
1．不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系．
2．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求的值．

第5课 二次函数的图象与性质（4）—函数+k的图象
教学目标：
1．掌握把抛物线平移至+k的规律；
2．会画出+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
重 点：函数形如y=a(x－h)2＋k图象的性质。
难 点：学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
教学过程：
一、情境导入
1、函数y=ax2＋k的图象性质（开口方向，对称轴，顶点坐标，最值）
2、说出函数y=－x2， y=－x2－1的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值以及与x轴，y轴的交点坐标。
3、由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？
二、实践与探索
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，
它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、
，顶点坐标分别为 、 、 ．
请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．
回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，
确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
探索 你能说出函数+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
小结：y=a(x－h)2＋k （1）开口方向由a决定，（2）对称轴是直线x=h，当h<0时，在y轴左侧，当h>0时在y轴右侧，（3）顶点坐标为（h,k ），(4)最值:当a>0时，x=h时y最小值=k,当a<0时，x=h时y最大值=k。
形如y=a(x－h)2＋k（a≠0）的二次函数解析式称为顶点式，顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标。
三、例题讲解
例1、 已知抛物线开口大小与y=x2的开口大小一样，但方向相反，且当x=－2时，y有最值4，求抛物线的解析式。
例2、 抛物线y=（x－1）2+5是由一抛物线向左平移2个单位，再向下移2个单位得到的，求原抛物线的解析式。
例3、 已知二次函数的图象对称轴为x=2，且图象上有两点（1，4）（2，1）求此二次函数的解析式。
例4、 求抛物线y=－3（x－4）2+5的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值以及与x轴，y轴的交点坐标。
四、 小结
函数形如y=a(x－h)2＋k图象的性质。
五、 作业
a) 已知二次函数图象顶点坐标为（—1，—6）并且图象过点（0，5）求函数解析式。
b) 把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值．

第6课 二次函数的图象与性质(5) —函数y＝ax2＋bx＋c的图象1
教学目标：
1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－，)是教学的难点。
教学过程：
一、情景创设
由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?
(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)
3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?
(当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1)
4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
5．你能画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?
二、实践与探素
例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
解

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．
由对称性列表：
回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．
探索 对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．
它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．
回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
探索 你能说出函数+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．
分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0； （2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．
四、课堂练习
1．当时，求抛物线的顶点所在的象限．
2. 已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标．
五、小结
通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？
六、作业
1．画出函数y＝2x2－3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。
2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y＝3x2＋2x； (2)y＝－x2－2x
(3)y＝－2x2＋8x－8 (4)y＝x2－4x＋3

第7课 二次函数的图象与性质(6) —函数y＝ax2＋bx＋c的图象2
教学目标：
1．会通过配方求出二次函数的最大或最小值；
2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
重点：会通过配方求出二次函数的最大或最小值；
难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
教学过程：
一、 情景创设
在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如
问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗?
二、 实践与探索
例1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）； （2）．
分析 由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．
解 （1）二次函数中的二次项系数2＞0，
因此抛物线有最低点，即函数有最小值．
因为=，
所以当时，函数有最小值是．
（2）二次函数中的二次项系数-1＜0，
因此抛物线有最高点，即函数有最大值．
因为=，
所以当时，函数有最大值是
回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，
a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
探索 试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数的最大值或最小值．
例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：
x（元）
130
150
165
y（件）
70
50
35
若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？
分析：日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量。
三、作业
1、图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）用含y的代数式表示AE；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．

第8课 二次函数的图象与性质（7）函数y＝ax2＋bx＋c的图象3
教学目标：1．能根据实际问题列出函数关系式、
2．进一步使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。
3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。
重点和难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是难点。
教学过程：
一、情景创设
1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y＝6x2＋12x； (2)y＝－4x2＋8x－10
2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?
二、实践与探索
有了前面所学的知识，现在我们就可以应用二次函数的知识去解决书上提出的两个实际问题；
例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?
解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞O，所以O＜x＜1O。
围成的花圃面积y与x的函数关系式是 y＝x(20－2x)即y＝－2x2＋20x
配方得y＝－2(x－5)2＋50
所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50。
因为x＝5时，满足O＜x＜1O，这时20－2x＝10。
所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。
例2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?
解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。
商品每天的利润y与x的函数关系式是：
y＝(10－x－8)(100＋1OOx)
即y＝－1OOx2＋1OOx＋200
配方得y＝－100(x－)2＋225
因为x＝时，满足0≤x≤2。
所以当x＝时，函数取得最大值，最大值y＝225。
所以将这种商品的售价降低÷元时，能使销售利润最大。
例3。用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少?
先思考解决以下问题：
(1)若设做成的窗框的宽为xm，则长为多少m?
(2)根据实际情况，x有没有限制?若有跟制，请指出它的取值范围，并说明理由。
让学生讨论、交流，达成共识：有x＞0，且＞0，所以x的取值范围应该是0＜x＜2。
(3)你能说出面积y与x的函数关系式吗?
(y＝x·，即y＝－x2＋3x)
小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：
(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
(2)研究自变量的取值范围；
(3)研究所得的函数；
(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值：
(5)解决提出的实际问题。
三、小结
1．通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑?
2．谈谈你的收获和体会。
四、作业
1：已知一个矩形的周长是24cm。
(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。(2)当a长多少时，S最大?
2：填空：
(1)二次函数y＝x2＋2x－5取最小值时，自变量x的值是______；
(2)已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值为1，那么m的值是______。
3：如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为xm。
(1)要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米?
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米?
(3)比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论?
4：如图(2)，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B＝30°，若边长AB＝x(cm)。
(1)写出□ABCD的面积y(cm2)与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围。
(2)当x取什么值时，y的值最大?并求最大值。

第9课 二次函数的图象与性质（8）求二次函数的函数关系式(1)
教学目标：
1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。
2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。
重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点。
难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。
教学过程：
一、创设问题情境
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?
分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。
如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：
y＝ax2 (a＜0) (1) 因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝ ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。
因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22
所以a＝－0.2 因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。
请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。
二、引申拓展
问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?
让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。
问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?
分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。
二次函数的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。
解：设所求的二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c。
因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，
所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。
由已知，函数的图象过(0，0)，可以得到c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可以得到：

所以，所求的二次函数的关系式为y＝－x2＋x。
问题3：请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同?
问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?
(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易)
三、课堂练习
书P 练习 。
四、综合运用
例1．如图所示，求二次函数的关系式。
分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。
所求二次函数的关系式是y＝－x2＋x＋4
练习：
一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。
五、小结
二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。
六、作业
1. 二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。
2．若二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式。
3．如果抛物线y＝ax2＋Bx＋c经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，；求a＋b＋c的值。
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；

5．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的两交点的横坐标是－，，与x轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式。

第10课 二次函数的图象与性质（9）求二次函数的函数关系式(2)
教学目标：
1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。
教学重难点：根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也是难点。
教学过程：
一、情景创设
1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?
2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。
(1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；
(3)说出它的顶点坐标和对称轴。
答案：(1)y＝x2＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴x＝－，顶点坐标为(－，)。
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么?
二、实践与探索
例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。
分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：
y＝a(x－8)2＋9
由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。
请同学们完成本例的解答
例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得 解这个方程组，得：
所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x－5。
解法二；设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到
所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5。
例3、已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。
解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得
y＝a(x－2)2－4
因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。
所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4。
解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c?依题意，得
解这个方程组，得：
所以，所求二次函数关系式为y＝2x2－8x＋4。
三、课堂练习
1. 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。
所求二次函数的关系式为y＝x2＋x＋3。
解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得
y＝a(x＋3)2－1
因为二次函数图象过点(0，3)，所以有
3＝a(0＋3)2－1解得a＝
小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。
2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。
所求二次函数的关系式是y＝x2－10x＋23。
四、小结
1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型?
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c
(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)
2．如何确定二次函数的关系式?
让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。
五、作业
1. 已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。
2．函数y＝x2＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，求p和q。
3．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和c。
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______。
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。
6．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?

第11课 实践与探索（1）

教学目标：会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义
重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式
难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题
教学过程：
一、 情景创设
生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？
二、 实践与探索
例1．如图26．3．1，一位运动员推