资源描述
4．3 角
第1课时 角
1．理解角的概念，能用运动的观点理解角、平角、周角的概念．
2．掌握角的表示方法，会用不同方法表示同一个角．
3．认识角的度量单位度、分、秒，会进行简单的换算和角度计算．
1．角的定义和用不同的方法表示一个角．
2．会进行角度的换算．
角的表示方法．角度的换算．
(设计者： )
一、创设情境 明确目标
A．以前我们曾经认识过角，那你们能从这两个图形中指出哪些地方是角吗？
B．在我们的生活中存在着许许多多的角，一起看一看，你能从教室中常用的物品里找出角吗？
二、自主学习 指向目标
自学教材第132至133页，完成下列问题：
1．角的概念：
(1)有公共端点的__两条射线__组成的图形叫做角，这个公共端点是角的__顶点__，这两条__射线__是角的两条边．
(2)角也可以看作由一条射线绕它的端点__旋转__而形成的图形，旋转开始时的射线叫做角的__始边__，旋转终止时的射线叫做角的__终边__．
2．角的表示：
如图所示，把图中用数字表示的角，改用三个大写字母表示分别是__∠1＝∠ADE，∠2＝∠EDB，∠3＝∠CED，∠4＝∠ABC，∠5＝∠AED__．
可用一个大字写字母表示的角是__∠A，∠B，∠C__．
3．角的度量：
(1)常用的角的度量单位有__度__、__分__、__秒__；1°＝__60__′，1′＝__60__″.
(2)1周角＝__2__平角＝__4__直角＝__360__°.
(3)把下列各题结果化成度．
①72°36′＝__72.6__°；
②37°14′24″＝__37.24__°.
三、合作探究 达成目标
角的概念及表示方法
活动一：阅读教材第132页，思考：
1．举出生活中给我们以角的形象的例子．
2．什么是角？什么是角的边？请画图说明．
3．画图说明如何表示一个角．
4．如何从旋转的角度描述角？在旋转的过程中，有哪些特殊的角？
5．如图所示，图中共有多少个角？能用一个字母表示的角有几个？把它们表示出来，
能用三个字母表示的角是：
能用一个字母表示的角是：
【展示点评】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
【小组讨论】角有哪几种表示方法？应注意什么问题？
【反思小结】角的表示方法有4种，分别是用三个大写字母，一个大写字母，一个数字，一个希腊字母．用三个大写字母表示角时，顶点写在中间；用一个大写字母表示角时，顶点处只能有一个角．
【针对训练】见“学生用书”．
度、分、秒的换算
活动二：例：把38.15°化成用度、分、秒表示，把32°12′48″化成用度表示．
【展示点评】由低级单位向高级单位转化，所用公式为1″＝()′，1′＝()°.
【小组讨论】1.度、分、秒之间的换算关系是什么？
2．如何进行度、分、秒之间的计算？
【反思小结】度、分、秒互化以60为进制．化大单位为小单位用乘法，反之用除法．
【针对训练】见“学生用书”．
四、总结梳理 内化目标
1．角的定义．
2．角的表示方法．
3．度、分、秒换算．
五、达标检测 反思目标
1．用度、分、秒表示42.34°＝__42°20′24″__．
2.直角＝__30__度＝____平角＝____周角．
3．如图所示，图中能用一个大写字母表示的角是__∠B，∠C__；以A为顶点的角有__6__个，它们分别是__∠BAE，∠BAD，∠BAC，∠EAD，∠EAC，∠DAC__．
4．下列关于角的说法正确的是( D )
A．两条射线组成的图形叫做角
B．延长一个角的两边
C．角的两边是射线，所以角不可以度量
D．角的大小与这个角的两边长短无关
5．下列说法中不正确的是( B )
A．∠AOB的顶点是O点
B．射线BO，射线AO分别是∠AOB的两条边
C．∠AOB的边是两条射线
D．∠AOB与∠BOA表示同一个角
6．如图所示，回答下列问题：
①图中能用一个字母表示的角有：__两__个，分别是__∠A，∠C__；
②以B为顶点的角有：__∠ABE，∠ABC，∠EBC__．
六、布置作业 巩固目标
课外作业 见“学生用书”
第2课时 角的比较与运算(一)
1．会比较两个角的大小．
2．能用符号语言表示角的和与差，并能解决简单的问题．
3．掌握角的平分线及角的等分线．
比较角的大小，分析角的和差关系，理解角平分线．
角的和、差关系及运用．
(设计者： )
一、创设情境 明确目标
老师手中现有两个角，你知道哪个角大吗？你是怎样比较出来的？
二、自主学习 指向目标
自学教材第134至135页，完成下列问题：
1．如图，找一找，图中共有几个角？它们之间有什么关系？
解：3个角
大小关系：∠AOC>∠AOB>∠BOC
数量关系：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC
2．如图，比较图中四个角的大小，并用“<”连接__∠A<∠B<∠D<∠C__．
第2题图
第3题图
3．角的平分线：在角的内部，从角的顶点引一条射线把这个角分成两个相等的角，那么，这条射线叫做角的平分线．
如图：∵OB平分∠AOC(已知)
∴∠AOB＝__∠BOC__＝__∠AOC__，
∠AOC＝2∠AOB＝__2∠BOC__.
三、合作探究 达成目标
比较角的大小与认识角的和差
活动：说一说：角的大小比较有哪些方法？
画一画：两个角的大小比较有几种情况，并用几何语言表示出来．
思考：观察教材图4.3－7，说一说图中共有几个角？它们之们有什么关系？用符号语言表示出来．
小组合作：用一副三角板可画出哪些不同度数的角？并画出相应的图形．
【展示点评】可以类比线段的大小比较，思考角的大小比较方法．
【小组讨论】角的比较有哪些方法？用一副三角板画出的这些角有什么规律？
【反思小结】角的大小的比较方法有：度量法、叠合法；有三种情况：大于、等于、小于；用一副三角板可画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°的角，这些角是15的整数倍．
【针对训练】见“学生用书”．
角的平分线及简单应用
做一做：在透明纸上画∠AOC，沿着顶点对折，使角的两边重合．
(1)∠AOC被折痕OB分成的两个角有什么样的大小关系？
(2)在图中，射线OB把∠AOC分成两个________角，即∠AOB________∠BOC.
(3)∠AOC、∠AOB和∠BOC有什么关系？这个关系怎样用式子来表示？射线OB叫做什么？
【展示点评】根据所在射线是∠AOC的平分线．
【小组讨论】说说你对角平分线的认识．
【反思小结】角的平分线是一条射线，一个角的平分线有一条，三等分线有两条，四等分线有三条，依次类推，在应用角平分线进行计算时，一定要结合图形进行．
【针对训练】见“学生用书”．
四、总结梳理 内化目标
1．角的大小比较方法．
2．角的和差．
3．角的平分线．
五、达标检测 反思目标
1．在小于平角的∠AOB的内部取一点C，并作射线OC，则一定存在( C )
A．∠AOC＞∠BOC B．∠AOC＝∠BOC
C．∠AOB＞∠AOC D．∠BOC＞∠AOC
2．射线OC在∠AOB的内部，下列四个式子中不能判定OC是∠AOB的平分线的是( D )
A．∠AOB＝2∠AOC
B．∠BOC＝∠AOC
C．∠AOC＝∠AOB
D．∠AOC＋∠BOC＝∠AOB
3．OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝__∠AOB__，则OC平分∠AOB；若OC是∠AOB的角平分线，则__∠AOB__＝2∠AOC.
4．如图，用“＝”或“>”或“<”填空：
(1)∠AOC__＝__∠AOB＋∠BOC；
(2)∠AOC__>__∠AOB；
(3)∠BOD－∠BOC__＝__∠DOC；
(4)∠AOD__<__∠AOC＋∠BOD.
5．如图，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，则图中相等的角有__两__组，∠AOD＝__∠COD__，∠AOC＝____∠AOB.
6．如图所示，已知∠COD＝25°，∠AOC＝∠BOD＝90°，则∠AOD＝__65°__，∠AOB＝__155°__．
六、布置作业 巩固目标
课外作业 见“学生用书”．
第3课时 角的比较与运算(二)
1．会进行度、分、秒单位互化．
2．会进行角的和、差、倍、分的计算．
角的度、分、秒单位互化．
角的和、差、倍、分的计算．
(设计者： )
一、创设情境 明确目标
我们知道，平角为180°，如果把平角等分6份，则每份有30°，那么，如果把平角等分8份，每份有多少呢？我们今天就解决这个问题．
二、自主学习 指向目标
自学教材第136页，完成下列问题：
1．把一个周角360等分，每一份就是__1__度的角，记作__1°__．
2．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作__1′__．
3．把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作__1″__．
4．(2014·济南)如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是( C )
A．50° B．60°
C．140° D．150°
三、合作探究 达成目标
角的和差的运算
活动一：阅读教材例1，回答下列问题：
1．AB为直线，那么∠AOB叫______角；∠AOB＝______°.
2．∠AOB与∠AOC、∠BOC之间有什么关系？
________________________________________________________________________
计算过程为：
【小组讨论】怎样进行角的度数的加减运算？
【反思小结】在进行加法运算时，度和度加，分和分加，秒和秒加，若所得的分或秒等于或大于60，则进一位；在进行减法运算时，度和度减，分和分减，秒和秒减，若不够减，则借一位．
【针对训练】见“学生用书”．
角的乘除的运算
活动二：把一个周角7等分，每一份是多少度的角？(精确到分)
思考：
1．1°＝________′；1′＝________″.
2．360°÷7＝______余3，请问余数3是3______．
3．3°×60＝______′；180′÷7＝______余______′.
解答过程为：
【小组讨论】在进行角的乘除运算时，应注意一些什么问题？
【反思小结】在进行乘除运算时，角的度数的每一部分分别相乘或相除，还要注意最后的结果中若分或秒大于或等于60，则进一位．
【针对训练】见“学生用书”．
四、总结梳理 内化目标
1．角的和差关系．
2．复杂图形中角的和差运算．
五、达标检测 反思目标
1．如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且∠COD＝25°，则∠AOB＝( A )
A．100° B．75°
C．50° D．20°
第1题图
第2题图
2．如图，∠BAD＝__∠1__＋__∠2__；∠CAE＝__∠2__＋__∠3__如果∠BAD＝∠CAE，那么图中有相等的两角是：∠__1__＝∠__3__．
3．已知∠AOB＝38°，∠BOC＝25°，那么∠AOC的度数是__63°或13°__
4．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝146°，则∠BOC＝__34°__．
第4题图
第5题图
5．如图，AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE＝60°，求∠AOC的度数？
解：30°
六、布置作业 巩固目标
课外作业 见“学生用书”．
第4课时 余角和补角
1．了解一个角的余角和补角的概念，能求出一个角的余角和补角．
2．经历探究互为余角和补角的性质的过程，并能简单应用．
3．了解方位角，能运用方位角确定物体的具体方位．
余角、补角的概念及其性质．
灵活运用余角、补角的概念及其性质解题．
(设计者： )
一、创设情境 明确目标
(1)在一副三角板中，每块都有一个角是90°，那么其余两个角的和是多少？它们有什么关系呢？
(2)观察方格如图中的两个角，你能猜想∠1＋∠2等于多少度？它们有什么关系呢？
二、自主学习 指向目标
自学教材第137至138页，完成下列问题：
1．余角：
(1)定义：如果两个角的和等于__90°__(直角)，那么这两个角互为__余角__．
(2)表示：如果∠α、∠β互为余角，那么∠α＋∠β＝__90°__．
(3)性质：等角的余角__相等__．
2．补角：
(1)定义：如果两个角的和等于__180°__(平角)，那么这两个角互为__补角__．
(2)表示：如果∠α、∠β互为补角，那么∠α＋∠β＝__180°__．
(3)性质：等角的补角__相等__．
3．方位角：
(1)方位角是表示__方向__的角，是确定物体位置的重要因素之一，具体表示时，是先说__偏北(南)__，再说偏东(或偏西)．
(2)表示下列各方位角：
射线OA__南偏西25°__
射线OB__北偏西70°__
射线OC__南偏东60°__
三、合作探究 达成目标
余角、补角的概念
活动一：阅读教材第137页，思考：
1．余角和补角的概念．请举出一些互为余角、补角的例子．
2．请用符号表示两个互为余角、补角的角．
3．写出下列各角的余角和补角：
30°；45°；50°；36°；89°；90°
【展示点评】和等于90°的两个角互为余角；和等于180°的两个角互为补角．
【小组讨论】判断两个角是否互为余角、补角的依据是什么？和这两个角的位置有关吗？
【反思小结】互余、互补是指两个角的数量关系，即∠1＋∠2＝90°或∠1＋∠2＝180°，同时强调∠1是∠2的余角(或补角)，那么∠2也是∠1的余角(或补角)，与这两个角的位置无关．
【针对训练】见“学生用书”．
余角和补角的性质
活动二：例：如图∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？归纳结论．
答：∠2与∠4相等．
因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补( )
所以∠2＝180°－∠1，∠4＝180°－∠3( )
因为∠1＝∠3( )
所以∠2＝∠4( )
补角性质：________________________________________________________________________
思考：根据补角的性质你能否归纳出余角的性质？
【展示点评】同角(等角)的补角相等，同角(等角)的余角相等．
【小组讨论】你能用数学语言叙述余角和补角的性质吗？
【反思小结】以等角的余角相等为例说明，若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1＝∠3，则∠2＝∠4.
【针对训练】见“学生用书”．
方位角
活动三：例：如图．货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线．
【展示点评】用角度表示方向，其他方向跟地图上一样，分为上北下南，左西右东，处于四个直角平分线上的方向分别为东南，东北，西南，西北．
【小组讨论】用角度表示方向，用得最多的是“偏”字，如何理解这个“偏”字？
【反思小结】这里的“偏”就是旋转的意思，北偏东40°，就是以正北方向的射线为一边，绕中心向正东旋转40°所成角的终边所在的方向．一般在表示方向时，始边只能指正北或正南的方向的射线，这是一种规定，例如不说西偏北，或东偏南多少度，但北偏东45°习惯上称东北方向，而不叫北东方向．
【针对训练】见“学生用书”．
四、总结梳理 内化目标
1．余角、补角的定义．
2．余角、补角的性质．
3．方位角的表示．
五、达标检测 反思目标
1．若∠1＝60.5°，∠2＝29.5°，则∠1与∠2的关系为__互余__．
2．若∠α＝50°，则它的余角是__40°__，它的补角是__130°__；若∠β＝110°，则它的补角是__70°__，它的补角的余角是__20°__．
3.
如图，O是直线BD上一点，∠BOC＝36°，∠AOB＝108°，则与∠AOB互补的角有__∠AOD，∠AOC__.
4．和北偏西40°的射线OA组成平角AOB的射线OB是( A )
A．南偏东40°的射线
B．南偏东50°的射线
C．南偏东60°的射线
D．东南方向的射线
5．下列说法中错误的是( D )
A．互余的两个角都是锐角
B．两角互余、互补与这两角的大小有关，与两角的位置无关
C．互为补角的两个角不可能都是钝角
D．互补的两个角一定一个是锐角，另一个是钝角
六、布置作业 巩固目标
课外作业 见“学生用书”．
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