资源描述
8.1 二元一次方程组
教学目标
1、弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解；
2、学会用类比的方法迁移知识；体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受数学的乐趣．
教学难点
弄懂二元一次方程组解的含义。
知识重点
二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义。
教学过程（师生活动）
设计理念
创设情境
导入课题
幻灯：古老的“鸡兔同笼问题”
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”
师：这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣．怎样来解答这个问题呢？
学生思考自行解答，教师巡视．最后，在学生动手动脑的基础上，班级集体讨论给出各种解决方案．
方案一：算术方法
把兔子都看成鸡，则多出94－35 × 2=24只脚，每只兔子比鸡多出两只脚，故，由此可先求出兔子有24÷2=12只，
进而鸡有35－12=23只．
或类似的也可以先求鸡的数量．
35×4－94=46，46÷2＝23
方案二：列一元一次方程解
设有x只鸡，则有（35－x）只兔．根据题意，得
2x十4(35－x)=94.
（解方程略）
教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念，“元”是指什么？“次”是指什么？
以古老的数学名题引入，可以增强学生的民族自豪感，激发学好数学的感情
能用方案本来解的学生算术功底比较好，应给予高度赞赏．
方案二既是对一元一次方程的复习与巩固，又为二元一次方程组的引出做好铺垫在。
分析问题
（一）讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念
师：上面的问题可以用一元一次方程来解，还有其他方法吗？（若学生想不到，教师要引导学生，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数，列方程）
方案三：设有x只鸡，y只兔，依题意得
x＋y=35，①
2x＋4y=94.②
针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：
（1）、你能给这两个方程起个名字吗？
（2）为什么叫二元一次方程呢？
（3）什么样的方程叫二元一次方程呢？
结合学生的回答，教师板书定义1：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程．
师：在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①②两个方程．把①②两个二元一次方程结合在一起，用花括号来连接．我们也给它起个名字，叫什么好呢？
定义2：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
（二）讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念
探究活动：满足x＋y=35的值有哪些？请填入表中：
X
…
y
…
教师启发：
（1）若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？
（2）你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗？
（3）它与一元一次方程的解有什么区别？
定义3：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解，记为
师：那么什么是二元一次方程组的解呢？
学生讨论达成共识：二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程．即：既是方程①又是方程②的解．
定义4：二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．
比如：从方案一，我们知道，x=23，y=12使方程组中每一个方程成立．所以我们把x=23，y=12叫做
的解记为：
注意：二元一次方程组的解是成对出现的，用花括号来连接，表示“且”．
议一议：将上述“鸡兔同笼”问题的三种方案进行优劣对比，你有哪些想法呢？
引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与奚比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念
通过探究活动得出结论：
1、二元一次方程的解是成对出现的；2、二元一次方程的解有无
数多个．这与一元一次方程有显
著的区别．
通过对比，让学生体脸到从算术方法到代数方法是一种进步．而当我们遇到求多个未知量，而且数量关系较复杂时，列二元一次方程组比列一元一次方程容易，它大大减轻了我们的思维负担．
巩固新知
例1 下列各对数值中是二元一次方程x＋2y=2的解是
（ ）
A B C D
解法分析：
将A、B,C,D中各对数值逐一代人方程检验是否满足方程，选A,B,C.
变式：其中是二元一次方程组解是( )
解法分析：
在例1的基础上，进一步检验A、B、C中各对值是否满足方程2x＋y=－2，使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程．
例2（教材102页练习）
解答过程略
本例先检验二元一次方程的解，再检脸二元一次方程组的解，符合从简单到复杂的认知规律．使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念．
目的在于培养分析等量关系并列方程组的能力；培养观察估算能力；使学生进一步熟悉二元一次方程组及其解的概
小结提高
在学生畅所欲言话收获的基础上，通过老师进行补充的方式进行．
本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？
（什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？）
发挥学生主体意识，培养学生归纳小结的能力。
布置作业
1、必做题：教科书102页习题8.1第1、2题．
2、选做题：教科书102页习题8.1第3题．
3、备选题：
（1）根据下列语句，列出二元一次方程：
①甲数的一半与乙数的的和为11
②甲数和乙数的2倍的差为17
（2）方程x＋2y=7在自然数范围内的解（ ）
A 有无数个 B 有一个 C 有两个D 有三个
（3）若mx＋y=1是关于x,y的二元一次方程，那么m
的值应是（ ）
A.m≠O B. m=0 C. m是正有理数D. m是负有理数
（4）李平和张力从学校同时出发到郊区某公园游玩，两人从出发到回来所用的时间相同，但是，李平游玩的时间是张力骑车时间的4倍，而张力游玩的时间是李平骑车时间的5倍，请问他俩人中谁骑车的速度快？
不同层次的学生根据自身的需要选择不同的备用题，实现不同的人在数学上获得不同的发展的教学理念．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
8.2 消元（1）
教学目标
1、使学生学会用代人消元法解二元一次方程组；
2、理解代人消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法；
3、逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想．
教学难点
代入消元法的基本思想。
知识重点
用代入法解二元一次方程组。
教学过程（师生活动）
设计理念
创设情境
引入课题
播放学生篮球赛录像剪辑．
体育节要到了．篮球是初一(1）班的拳头项目．为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分．已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分．那么初一(1)班应该胜、负各几场？
你会用二元一次方程组解决这个问题吗？
根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以更容易地列出方程．
那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢？
问题情境是学生喜闻乐见的体育活动，增强求知欲，对所学知识产生亲切感。
探究新知
引导：什么是二元一次方程组的解？（方程组中各个方程的公共解）
满足方程①的解有：
，，，,
满足方程②的解有：
，，，…
这两个方程的公共解是
2、师：这个问题能用一元一次方程来解决吗？
学生思考并列出式子．
设胜x场，负(22－x)场，解方程
2x＋(22－x) =40 ③
解法略．
观察：上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
若学生还是感到困难，教师可通过提问进一步引导．
（1）在一元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么？
（2）方程组中方程②所表示的等量关系是什么？
（3）方程②与③的等量关系相同，那么它们的区别在哪里？
（4）怎样使方程②中含有的两个未知数变为只含有一个未知数呢？
结合学生的回答，教师做出讲解．
由方程①进行移项得y=22－x,
由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，故可以把方程②中的y用(22-劝来代换，
即得2x+（22－x) =40.由此一来，二元化为一元了．
解得x=18.
问题解完了吗？怎样求y
将x=18代入方程y=22－x，得y=4.
能代入原方程组中的方程①②来求y吗？代入哪个方程更简便？
这样，二元一次方程组的解是
归纳：这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法．（板书课题）
可以采用观察与估算的方法．但很麻烦，故引发学生产生寻找新方法的需求．
以退为进的思想．
重视知识的发生过程，让学生了解代入消元法解二元一次方程组的过程及依据．体会未知向已知，陌生向熟悉转化这一重要思想—化归思想．
巩固新知
例1 用代入法解方程组
本题较简单，直接由学生板演，师生共同评价．
解：把①代入②，得
3（y＋3）-8y＝14
所以y=－1
把y=－1代人①，得x=2.
所以
解后反思．教师引导学生思考下列问题：
(1）选择哪个方程代人另一方程？其目的是什么？
(2)为什么能代？
(3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？
(4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？
(5)怎样知道你运算的结果是否正确呢？
（与解一元一次方程一样，需检验．其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等．检验可以口算，也可以在草稿纸上验算）
例2（为例1的变式）解方程组
分析：
(1)从方程的结构来看：例2与例1有什么不同？
例1是用x=y＋3直接代人②的．而例2的两个方程都不具备这样的条件都不能直接代入另一条方程．
(2)如何变形？
把一个方程变形为用含x的式子表示y（或含y的式子表示x）．
(3)那么选用哪个方程变形较简便呢？
通过观察，发现方程①中y的系数为－1，因此，可先将方程①变形，用含x的代数式表示y，再代入方程②求解．
解：由①得，y=，③
把③代人②，得（问：能否代入①中？）
3x－8（）=14，
所以－x=－10,
x=10.
（问：本题解完了吗？把y=37代入哪个方程求x较简单？）
把x=10代入③，得
y=
所以y=2
所以
（本题可由一名学生口述，教师板书完成）
例1改编自教材105页例
暂时省略了“用含一个未知数的式子去表示另一未知数”这一步骤，而将其放在例2中介绍，这样处理降低了难度，利于分阶段达成本课的知识目标．本例的重点在于让学生掌握代入法的基本步骤．
例2进一步巩固代入法的步骤．重点在于说明解二元一次方程组的一些技巧问题，主要表现在如何选择一个方程，如何用含一个未知数的式子去表示另一未知数．
小结与作业
小结提高
合作交流：你从上面的学习中体会到代人法的基本思路是什么？主要步骤有哪些呢？与你的同伴交流．
学生畅所欲言，互相补充，小组派中心发言人进行总结发言．最后，由老师出示幻灯片．
代入法的实质是消元，使两个未知数转化为一个未知数一般步骤为：
①从方程组中选一个未知数系数比较简单的方程．将这个方程中的一个未知数，例如y，用含x的式子表示出来，也就是化成y=ax＋b的形式；
②将y=ax＋b代人方程组中的另一个方程中，消去y,得到关于二的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x的值；
④把求得的x值代人方程y=ax＋b中，求出y的值，再写出方程组解的形式；
⑤检验得到的解是不是原方程组的解．这一步不是完全必要的，若能肯定解题无误，这一点可以省略。
及时梳理知识，形成模—用代入法解二元一次方程一般步骤。
反馈练习
教材105页1.（补充：再改写成用含y的式表示x）
教材105页练习2用代入法解方程组
教材107页3应用题
布置作业
1、必做题：教科书111页习题8.2第1题，112页习题
2第2(1)(2)题．
2、选做题：教科书112页习题8.2第6题．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
8.2 消元（2）
教学目标
1、使学生熟练地掌握用代人法解二元一次方程组；
2、使学生进一步理解代人消元法所体现出的化归意识；
3、体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
教学难点
进一步理解在用代入消元法解方程组时所体现的化归意识。
知识重点
学会用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组。
教学过程（师生活动）
设计理念
创设活动
请你编一个能用代人法求解的二元一次方程组，考考你的同桌，看看他是否掌握了．
2、结合你的解答，回顾用代人消元法解方程组的一般步骤．
本课是对代入消元法的巩固和深化，设置活动目的在于帮助学生迅速再现以往的知识经验，起到承上启下的作用。
探究新知
1、探索分析问题：
教材105页例2：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
学生独立分析，列出方程组，全班交流．
解：设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶，则
2、引导学生思考：
问题1：此方程与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别？
（两个方程里的两个未知数系数的绝对值均不为1）
问题2：能用代入法来解吗？
问题3：选择哪个方程进行变形？消去哪个未知数？
在师生对话交流中，完成本题的板书示范．
3、解后反思：
（1）如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为1的二元一次方程组？
（2）列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系。
(3)列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、
设、列、解、检、答．
这里的反思突出了本课的重点，既帮助学生进一步完善代入法解题的步骤，又渗透解决实际问题的程序化思想。
巩固新知
练习1：用代入法解下列方程组．
（1）
（2）
两名学生演示，老师巡视，着重讲评第(2)小题．
第(2)题大多数同学的方法是：
由①得：x= ③ 把③代入②，…
这种方法计算量较大，容易出错．提出疑问：“是否还有更好的解答方法？通过自主探究后发现
由①得，6y=13-5x ④，把④代人②解得，
x=5，把x=5代入④解得：y=－2
∴
解后反思：
1、把6y看作一个整体，代入消元，使解方程变得简单许多．
2、拿到方程，要善于观察结构特点，不急于动笔．
练习2.分层练习：
学生必须先尝试完成B层练习，如果有困难，那么可以先完成A层练习后再做B层练习，顺利完成B层的同学可以尝试完成C层练习．
A层：
1.将二元一次方程5x＋2y=3化成用含有x的式子表示y的形式是y= ；化成用含有y的式子表示x的形式是x= 。
2．已知方程组：,指出下列方法中比较简捷的解法是（ ）
A.利用①，用含x的式子表示y，再代入②；
B利用①，用含y的式子表示x，再代入②；
C.利用②，用含x的式子表示y,再代入①；
D.利用②，用含x的式子表示x，再代人①;
B组
3、用代入法解方程组：
（1） （2）
C组
4、解方程组：
5、已知方程组的解为，求a、b
练习3：实践活动
请你根据方程组编一道符合实际的应用题。
整体代入无代入法的一种重要技巧，它实质就是换元的思想．若学生仍感困惑也可用新未知数去替换原来视为整体的那一部分．
这里安排分层次练习，让学生根据自身的需要自由选择不同的题目，在自我挑战中获得成就感教师根据实际情况，对不同的学生进行有针对性的指导，使不同的学生都有发展．这符合新课标的新理念：不同的人在数学上都能获得不同的发展.
小结与作业
小结提高
1、这节课你学到了哪些知识和方法？
比如：①对于用代入法解未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组，解题时，应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可使运算简便．②列方程解应用题的方法与步骤．③整体代入法等．
2、你还有什么问题或想法需要和大家交流？
让学生更加明确本节课的知识点，达到查漏补缺的目的。
布置作业
做题：教科书112页习题8.2第2（3）（4）题，第4题。
选做题：教科书107页练习。
备选题：
解方程组
利用你学会的整体代入法解下面的方程组：
（3）小明外婆送来一篮鸡蛋．这篮鸡蛋最多只能装55只左右．小明3只一数，结果剩下1只，但忘了数多少次，只好重数．他5只一数，结果剩下2只，可又忘了数多少次．他准备再数时，妈妈笑着说：“不用数了，共有52只．”小明惊讶地问妈妈怎么知道的．妈妈笑而不答．同学们，你们知道这是为什么吗？
不同层次的学生根据自身的需要选择不同的备用题，达到因材施教的目的。
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
8.2 消元（3）
教学目标
1、掌握用加减法解二元一次方程组；
2、使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法；
3、体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心．
教学难点
用“加减法“解二元一次方程组。
知识重点
学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组。
教学过程（师生活动）
设计理念
创设情境
王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快．
最简便的方法：抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元．
问题解决过程中蕴含了朴素的加减消元的思想．反映出，科学的每一次进步，都可以在实
际的实戏活动中找到依据．
探究新知
解方程组
（由学生自主探究，并给出不同的解法）
解法一由①得：x=y代人方程②，消去x.
解法二：把2x看作一个整体，由①得2z=－1－3y,代入方程②，消去2x.
肯定两解法正确，并由学生比较两种方法的优劣．解法二整体代入更简便，准确率更高．
有没有更简洁的解法呢？教师可做以下启发：
问题1.观察上述方程组，未知数z的系数有什么点？（相等）
问题2.除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？
（两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程．）
解法三：①－②得：8y=－8,所以y=－1
Y=－1代人①或②，得到x=1
所以原方程组的解为
2、变式一
启发：
问题1.观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？（互为相反数）
问题2.除了代人消元，你还有别的办法消去x吗？
（两个方程的两边分别对应相加，就可消去x，得到一个一元一次方程．）
解后反思：从上面的解答过程来看，对某些二元一次方程组可通过两个方程两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解．这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
想一想：能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等.
3、变式二：
观察：本例可以用加减消元法来做吗？
必要时作启发引导：
问题1.这两个方程直接相加减能消去未知数吗？为什么？
问题2.那么怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？
启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x的系数成整数倍数关系．
因此：②×2，得4x－10y=14③
由①－③即可消去x，从而使问题得解．
（追问：③－①可以吗？怎样更好？）
4、变式三：
想一想：本例题可以用加减消元法来做吗？
让学生独立思考，怎样变形才能使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？
分析得出解题方法：
解法1：通过由①×3，②×2，使关于x的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
解法2：通过由①×5，②×3，使关于y的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
怎样更好呢？
通过对比，使学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元．
解后反思：用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型方程组求解．
使学生进一步巩固用“代入法”解二元一次方程组，并在体会“代入法＂存在不足的同时，感受用“加减法”解二元一次方程组的优越性，并掌握“加减法”．
变式的意义在于从“减“的情形自然地过渡到”加“的情形，浑然一体。
例题及变式一解决用了加减法解某一未知数的系数的绝对值相等的二元一次方程组的问题。
变式二解决用加减法解某一未知数的系数成整数倍数关系的二元一次方程组。
变式三的设置目的是引导学生学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组．这是本课的难点．通过三个变式，搭建了降低难度的阶梯．
巩固新知
练习1：教科书第111页练习第1题
练习2：自行设计一些错题让学生判断。
收集学生的易错点，让学业生在改错中，自我诊断。
小结与作业
小结提高
回顾：用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？
这种方法的适用条件是什么？步骤又是怎样的？
引导学生思考、交流、梳理所学知识，培养学生的理性思维能力和良好的口头表达能力．
布置作业
做题：教科书112页习题8.2第3题。
选做题：教科书112页习题8.2第6题。
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
8.2 消元（4）
教学目标
1、熟练掌握加减消元法；
2、能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组，
3、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性．
教学难点
教材中例4的数量关系较复杂，是本课的难点。
知识重点
能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组。
教学过程（师生活动）
设计理念
创设情境
复习提问
二元一次方程组
一元一次方程组
消元
代入、加减
解二元一次方程组有哪几种方法？它们的实质是什么？
2、播放动画《西游记》场景，配数学诗．
悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟．
归时四分行六百，风速多少才称雄？
请一名学生解释诗歌大意：孙悟空顺风去查妖精的行踪，仅用4分钟就飞跃千里．逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？
学生思考，根据题中等量关系，列出方程．
设悟空行走速度为x里／分，风速为y里／分，则
你会解这个方程组吗？
引例生动活波，激发学生的探究欲望，让学生在看、听、想的过程中愉悦地获得数学知识．
探究新知
学生独立完成后．在班级里交流解法．
解法一：①＋②，消去y，得8x=1600
∴ x=200，代人①，得y=50
原方程组的解为
解法二：①－②，消去x。以下略．
解法三：整体代入．由①得：4x=1000－4y，代入②，消去x.
同理，也可消去y.
解法四：化简原方程组为,再利用加减消元，或代入消元均可．
反思：试着从各个角度比较“代入法”与“加减法”的共同点与不同点．（同学间相互交流）它们各适用于什么情况？
在学生回答的基础上，教师指出：当方程组中某一个未知数的系数绝对值是1或一个方程的常数项为零时，用代入法较方便；当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等或成整倍数时，用加减法较方便．
练习1：根据方程组的特点选择更适合它的解法．你会怎样解呢？（第1，2小题完成后再出示第3小题．）
（1） （2）
（3）
第1小题用代入法，第2小题用加减法，都很明确，第3小题有争议．全班分成两部分．1、2大组用代入法做，3、4大组用加减法做．比较两解法的简便程度．
反思：当方程组中任一个未知数的系数绝对值不是1，且不成倍数关系时，一般经过变形利用加减法会使解法更简单．
尝试不同的解法，培养学生的发散性思维和择优意识。
解二元一次方程组不管采用哪种方法，都可以获得它的解，但根据题目形式的特点，选择不同的方法可以减少弯路，加快速度使解题过程简洁提高正确率．
实际应用
教材第109页例4.
2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦
3．6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，问：1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？
分析：
问题1．列二元一次方程组解应用题的关键是什么？
（找出两个等量关系）
问题2.你能找出本题的等量关系吗？
2台大收割机2小时的工作量＋5台小收割机2小时的工作量=3.6
3台大收割机5小时的工作量＋2台小收割机5小时的工作量=8
问题3.怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢？
设1台大收割机1小时收割小麦x公顷，则
2台大收割机1小时收割小麦＿公顷，
2台大收割机2小时收割小麦＿公顷．
现在你能列出方程了吗？
解后反思：应用题中，如何化解较复杂数量关系？
练习2：教科书第111页练习第3题应用题．
体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
小结与作业
小结提高
在学生畅所欲言话收获的基础上，通过老师进行补充的方式进行。
本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？
布置作业
做题：教科书112页习题8.2第5、7题。
选做题：教科书112页习题8.2第8题。
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
8.3 再探实际问题与二元一次方程（1）
教学目标
1、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型；
2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；
3、学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答；
4、培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化。
教学难点
确定解题策略，比较估算与精确计算。
知识重点
以方程组为工具分析，解决含有多个未知数的实际问题。
教学过程（师生活动）
设计理念
创设情境
前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．
（出示问题）养牛场原有30只母牛和15只小牛，一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18～20 kg,每只小牛1天约需用饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？
开门见山，直接提出本节学习目标，强化本章的中心问题．
以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系．
探索分析
解决问题
学生思考、讨论．
判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：
一、先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验．
二、根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确．
学生在比较探究后发现用方法二较简便．
设问1：如果选择方法二，如何计算平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量？
（有前面几节的知识准备，学生可以回答）
列方程组求解．
主要思路：
引导学生探寻解题思路，并对各种方法进行比较，方法一主要是要估算的运用，而方法二是方程思想的应用。
实际应用
实际问题
数学问题
（二元一次方程组）组）
设未知数
列方程组
学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程．
解：设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg和ykg.
找出相等关系列方程组
解这个方程组，得
这就是说，平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料20kg和5kg.饲养员李大叔对母牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确．
分步到位，渗透模型化的思想。
规范解题步骤，培养学生有条理地思考、表达的习惯。
让学生认识到检验的重要性，并学会正确作答。
拓广探索
比较分析
设问2：以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？
个别学生可能会列出如下方程组
但结果一致．
比较分析，加深对方程组的认识。
课堂练习
《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
出示古典名题一方面及时巩固用方程组解决实际问题的过程，另一方面让学生感受数学文化。
小结与作业
小结提高
提问：通过这节课的学习，你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤？
学生思考后回答、整理：
①设未知数．
②找相等关系．
③列方程组．
④检验并作答．
以问题的形式出现，引导学生思考、交流，梳理所学知识，建立起符合自身认识特点的知识结构．训练口头表达能力，养成及
时归纳总结的良好学习习惯．
布置作业
必做题：教科书116页习题8.3第1（1）3、5题。
选做题：教科书112页习题8.3第8题。
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
8.3 再探实际问题与二元一次方程（2）
教学目标
1、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；
2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；
3、学会开放性地寻求设计方案，培养分析
教学难点
用方程组刻画和解决实际问题的过程。
知识重点
经历和体验用方程组解决实际问题的过程。
教学过程（师生活动）
设计理念
创设情境
前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决．
（出示问题）据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：1 ：5，现要在一块长200 m，宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4(结果取整数)？
以学生身边的实际问题展开学习，突出数学与现实的联系，培养学生用数学的意识。
探索分析
研究策略
以上问题有哪些解法？
学生自主探索，合作交流，整理思路：
(1)先确定有两种方法分割长方形；再分别求出两个小长方形的面积；最后计算分割线的位置．
(2)先求两个小长方形的面积比，再计算分割线的位置．
(3)设未知数，列方程组求解．
……
学生经讨论后发现列方程组求解较为方便．
多角度分析问题，多策略解决问题，提高思维的发散性。
合作交流
解决问题
引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路
设未知数
找相等关系
列方程组
检验并作答
如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE=xm，BE=ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组
解这个方程组得
过长方形土地的长边上离一端约106 m处，把这块地分
为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．
你还能设计别的种植方案吗？
用类似的方法，可沿平行于线段AB的方向分割长
方形．
教师巡视、指导，师生共同讲评．
比较分析，加深对方程组的认识。
画图，数形结合，辅助学生分析。
进一步渗透模型化的思想。
引发学生思考，寻求解决途径。
拓展探究
综合应用
学生在手工实践课中，遇到这样一个问题：要用20张白卡纸制作包装纸盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个，如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装纸盒，那么能否将这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请你设计一种分法．
按以下步骤展开问题的讨论：
（l）学生独立思考，构建数学模型．
(2)小组讨论达成共识．
（3）学生板书讲解．
（4）对方程组的解进行探究和讨论，从而得到实际问题的结果．
(5)针对以上结论，你能再提出几个探索性问题吗？
以学生学习生活中遇到的
问题展开讨论，巩固用二元一次
方程组解决实际问题的一般过程，并不断提高分析问题的能力．安排开放题，以利于培养学生探索精神和创新意识．
小结与作业
小结提高
提问：通过本节课的讨论，你对用方程解决实际的方法又有何新的认识？
学生思考后回答、整理．
布置作业
必做题：教科书116页习题8.3第1（2）、4题。
选做题：教科书117页习题8.3第7题。
备选题：
解方程组
（2）小颖在拼图时，发现8个一样大小的矩形（如图1所示），恰好可以拼成一个大的矩形．
小彬看见了，说：“我来试一试．”结果小彬七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．咳，怎么中间还留下一个洞，恰好是边长2 mm的小正方形！
你能帮他们解开其中的奥秘吗？
提示学生先动手实践，再分析讨论．
分层次布1作业．其中“必
做题”面向全体学生，巩固知识、
方法，加深理解厂选做题”面向
部分学有余力的学生，给他们一
定的时间和空间，相互合作，自主探究，增强实践能力．备选通供教师参考．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
8.3 再探实际问题与二元一次方程（3）
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
