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第二十二章 一元二次方程
22．1一元二次方程
22.1 一元二次方程
一、教学目标
1. 了解一元二次方程的概念和一般形式.
2. 会把任意的一元二次方程化成一般形式，并能熟练地指出二次项系数、一次项系数及常数项.
3.了解一元二次方程根的概念，并会检验出哪些数是一元二次方程的根.
二、重点、难点
1 重点：会把任意的一元二次方程化成一般形式.
2 难点：把一元二次方程化成一般形式，并能熟练地指出二次项系数、一次项系数及常数项.
3.难点与突破方法
根据实际问题列出方程，把一元二次方程化成一般形式是难点.突破的方法是让学生自己分析引言中的问题和本节的问题1、问题2，也就是说，只要一有机会，就让学生独立地分析、解决问题，逐步地培养他们解决问题的能力. P32练习2也是这个目的，为突破这个难点服务.
三、例、习题的意图
1.本章从实际问题引出一元二次方程，这个引例是要设计一个人体雕塑，给出的等量关系是：“腰以上与腰以下的高度比，等于下部与全部的高度比”，问题是：“雕像的下部应设计为多高”.通过设未知数、列比例关系、化简整理得到方程，这道题不仅引出了一元二次方程，而且为学生学习P46的“阅读与思考”— 黄金分割数做好准备. “黄金分割数”不光是在几何中应用，也在绘画、雕塑、音乐中应用以增加美感, 而且还在选优法中应用“黄金分割数”来选择最佳试验温度.
本节还有问题1和问题2，通过分析和解决这两个问题，有机会再一次突破应用题这个难点，教师应该重视这两个问题的教学，不但是为了从实际问题引出一元二次方程，而且能分散学生学习的难点，收到较好的教学效果.
2.找出以上三个问题所列方程的共同点，给出一元二次方程的描述性的定义：像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
3.本节提出一元二次方程的一般形式：，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
要求学生会把一元二次方程化成一般形式，并且正确地指出二次项系数、一次项系数及常数项，为后续的学习做准备，所以要做到每一个学生都能准确地做出答案.
一元二次方程ax2+bx+c=0中， a、b、c为常数，值得特别注意的是a≠0这个条件 ，因为 a是二次项系数，它若为0，方程ax2+bx+c=0就缺失了二次项，变为bx+c=0，这个方程也就不是一元二次方程了. 而b和c可以为0，不影响ax2+bx+c=0（a、b、c为常数， a≠0）是一元二次方程，只不过这个一元二次方程可能缺少一次项或常数项.
4.P32就前面的有关排球邀请赛的问题的方程进行讨论,列出表格发现，当时，，所以是方程的解，引出一元二次方程解（根）的概念，另外要注意由实际问题列出的方程求出其解后，还要使实际问题有意义，所以这个方程只有一个解.
教材中P33的[思考]还给了缺少一次项的一元二次方程，虽然此时还没有学解一元二次方程，但可以用求平方根的方法求出解.
P33的练习2是缺少常数项的一元二次方程，先分解因式，再利用一元二次方程解（根）的概念分析这个方程的解.
这节课要让学生学会检验一元二次方程的解（根）, P33的练习1就是这个类型的题，为了巩固一元二次方程的解（根）的概念.
5. 补充例题2： k为何值时，关于x的方程(k2－1)x2+(k+1)x－2=0是:
(1)一元二次方程； (2)一元一次方程.
目的是为了使学生加深对一元二次方程的二次项系数不为零的理解，同时使学生了解一元二次方程和一元一次方程之间的关系，当二次项系数为零时，一元二次方程就转变为一元二次方程了.
6. P32练习2：根据下列问题，列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.目的是把应用题这一难点与本节的重点结合起来，使课堂上有更多的时间和精力解决重点和难点.
四、新课引入
1．用投影出示引言中的人体雕塑问题. 让学生思考，学生自己设未知数、列出方程，并且化简方程；
2．继续用投影出示P30的问题1、问题2，请同学们设未知数，列方程，并且化简方程.
3. 以上的方程有什么共同点？
五、例题讲解
P31例. 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
[分析] 用已经学过的一元一次方程的方法（去括号、合并同类项、按x的降幂排列）解决本题.
(补充) 例2. k为何值时，关于x的方程(k2－1)x2+(k+1)x－2=0是:
(1)一元二次方程； (2)一元一次方程.
解：（1）∵(k2－1)x2+(k+1)x－2=0是一元二次方程.
∴k2－1≠0
即k≠±1
(2) ∵(k2－1)x2+(k+1)x－2=0是一元一次方程.
∴k2－1=0且k+1≠0
k=±1且k≠-1
即k = 1
(补充)例3. 不解方程，检验下列方程后面括号内的两数是否是该方程的根
（1） （2）
[分析]把括号内的两数分别代入前面的方程，能使方程左右两边相等的数就是方程的根，不能使方程左右两边相等的数就不是方程的根.
[答案]
（1）是方程的根；（2）不是方程的根，4是方程的根
六、随堂练习
1. 把下列反方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
x2－2x+14=1
(3x-2)(x+3)=0
(x+2) 2-5=0
2.填空.：
（1）将方程3x2=5x－2化成一元二次方程的一般形式为 ；
（2）一元二次方程2x2+4x－1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 ..
3..选择题
（1）下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（ ）
①x2 +b-3=0 ②(x-2)(x+2)= x2 +4x-1
③ x2 －2a2x-a3=0 ④ x2 +-5=0
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（2）一元二次方程的根为（ ）
A. 0 B. -2 C. 0， 2 D. 0， -2
七、课后练习
1.填空
(1)方程3x2－5=0的一次项系数是 ；
(2)若方程kx2+x=3x2－1是一元二次方程，则k的取值范围是 ；
(3) 方程的根是 .
2.已知a、b、c 的值依次为下列各组数，分别写出相应的一元二次方程.
(1）1，2，-3 (2) -1，3，4 (3) 5，0，-7 (4)2, 0, 0
3． a为何值时，方程ax2+bx=5x2－4是关于x的一元二次方程.
八、答案：
六、1. x2－2x+13=0, 1, －2, 13 ；3x2+7x－6=0，3，7，－6；
x2+4x－1=0，1，4，－1
2． （1）3x2－5x＋2=0 （2）5 3．（1）B （2）C.
七、1． （1） 0 （2）k≠3 (3) 2．略 3. a≠5
22.2 降次 ─── 解一元二次方程
22．2．1配方法（一）
一、教学目标
1. 了解平方根的定义与解一元二次方程的关系.
2. 能熟练地运用平方根的定义解形如 的方程.
二、重点、难点
1．重点：能熟练地运用平方根的定义解形如 的方程.
2．难点：能熟练地运用平方根的定义解形如 的方程.
3. 难点与突破方法
本节的内容在旧教材中是用直接开平方法解一元二次方程，本节没有给出“直接开平方法”的说法，而是运用平方根的定义解形如的方程.而且“直接开平方法”是配方法解一元二次方程的基础，所以要使学生掌握这种解法；更重要的是使学生认清，能运用平方根的定义解的一元二次方程的特点，这些方程都能整理成的形式，并且是非负数.
三、例、习题的意图
1. 本节没有例题. P35的思考中有两个方程，可以由平方根的定义，及求平方根的方法，迁移到解出这两个方程上来，把这两道题可当例题讲解.
2.补充例题是为了使学生掌握一些可以通过变形后，可化为这种形式的一元二次方程，用平方根的定义来求解，
四、新课引入
1．用投影出示练习：
（1）若，那么的值有几个？是什么？
（2） 是方程吗？是什么方程？它的各项系数分别是什么？
2．继续用投影出示P35的问题1，请同学们设未知数，列方程，并且化简方程得，解得.
3. 你能解方程和方程？
4．你总结一下这几个方程的特点及解题的方法.
这几个方程的左边是完全平方式，右边是一个非负数.凡是满足这两个条件的方程，就可以用求平方根的方法，求出方程的两个解.
五、例题讲解
(补充)例. 解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
[分析] 根据平方根的定义，解形如这样的方程.有些可以化简为这样的方程也用这种方法解.
答案：（1） （2） （3） （4），
六、随堂练习
解下列方程:
(1) (2)
(3) (4)
七、课后练习
解下列方程:
(1） (2)
(3) (4)
八、答案：
六、（1） （2） （3） （4）
七、（1） （2）
(3) （4）
22．2．1 配方法（二）
一、教学目标
1. 了解用配方法解一元二次方程的一般步骤.
2. 会用配方法解一元二次方程.
二、重点、难点
1. 重点：用配方法解一元二次方程.
2. 难点：用配方法解一元二次方程.
3. 难点与突破方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在今后的学习中也会常常应用.但用这种方法解方程是有条件的，把方程变形为这种形式后，还要求，也就是说必须是非负数，才可以求出方程的解（根）.
用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法.要使学生在理解的基础上，掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1） 化二次项系数为1；
（2） 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3） 方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；
（4） 原方程变为的形式；
（5） 用直接开平方法求出方程的解.
三、例、习题的意图
1. P37的思考提出问题：怎样解方程？下面用框图的形式详细地讲述了用配方法解一元二次方程的一般步骤和方法，使学生能够形象地感受用配方法一元二次方程的解法.
2. P38的例1用配方法解方程，是为了使学生掌握用配方法解方程这种方法. （1）小题的二次项系数为1，可以直接配方求解. 而 (2)、(3)小题的二次项系数不为1，要先把二次项系数化为1，然后再配方求解.教学时要注意这两种题型的区别，总结出用配方法解一元二次方程的一般步骤，以指导学生正确解题.
3. 用配方法解一元二次方程的基础是：当二次项系数化为1后，能根据一次项系数算出常数项，从而使方程左边的二次项、一次项和常数项的是一个完全平方式.在新课引入时，要做这样的练习（如下面新课引入的1），再进一步找出当二次项系数为1时，常数项与一次项系数之间的关系.
4．若一元二次方程缺少一次项，形如，当、异号时，可用平方根的定义解方程；若一元二次方程缺少常数项，形如，
可用因式分解的方法，提公因式，方程变形为：，求得. 类似以上两种情况的方程不一定非要用配方法解.
四、新课引入
1．用投影出示填空：
（1）
（2）
（3）
（4）
2．根据填空的结果，等式左边的二次项系数都是几？常数项与一次项系数有何关系？等式的右边是什么形式？
3. 出示P36的问题2，请同学们独立地设未知数、列方程，然后考虑怎样求出这道题的解？
五、例题讲解
P38例1. 解下列方程
[分析] 要使学生明确用配方法解一元二次方程的一般步骤.（1）小题的二次项系数为1，可以直接配方求解. 而 (2)、(3)小题的二次项系数不为1，要先把二次项系数化为1，然后再配方求解.
六、随堂练习
1.填空.：
（1）将二次三项式进行配方，其结果等于 ；
（2）将二次三项式进行配方，其结果等于 .
2. 解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
七、课后练习
1.选择题
(1) 用配方法解一元二次方程时，配方后变为（ ）
A. B.
C. D.
(2)将二次三项式进行配方，正确的结果是（ ）
A. B.
C. D.
2. 解下列方程
（1） （2）
（3） (4)
3．你能用配方法把用配方法给写成的形式吗？
4. 用配方法证明：的值恒大于0.
八、答案：
六、1.（1） （2）
2． （1） （2）
（3） （4）
七、1． （1）A （2）B 2．（1）
（2）, （3）
(4)
3． 4.略
22.2.2 公式法
一、教学目标
1. 了解一元二次方程求根公式的推导方法.
2. 能运用求根公式解一元二次方程.
二、重点、难点
1． 重点:会运用求根公式解一元二次方程.
2． 难点：会运用求根公式解一元二次方程.
3. 难点与突破方法
学生了解一元二次方程求根公式的推导过程后，在理解的基础上记忆公式, (≥0).此求根公式专用于一元二次方程，只有当确认方程是一元二次方程时,方可使用；“≥0”是一元二次方程求根公式的重要组成部分，是公式成立的前提条件.
三、例、习题的意图
1. 推导一元二次方程求根公式时，运用配方法把方程变形为，利用平方根的定义求根时，要讨论为非负数：因为，所以.只有当≥0时，才得到求根公式，所以≥0是求根公式的前提条件,这一点要给学生强调一下.
2. 利用求根公式解一元二次方程的一般步骤是：
(1) 把一元二次方程化为一般形式；
(2) 确定a、b、c的值；
(3) 求出 的值；
(4) 若≥0，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出和；若＜0时，则方程无实根.
3. P41例2解下列方程式利用求根公式解一元二次方程，关键是正确确定a、b、c的值，及求出 的值, 然后分两步走：若≥0，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出和；若< 0时，则下结论方程无实根.
4.通过解方程，引导学生观察的值与一元二次方程的根的情况，归纳出P42的结论：
(1)当＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
(2) 当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
(3)当＜0时，一元二次方程没有实数根.
可以补充：不解方程，判断方程根的情况这类型的题目，应用归纳出的上述结论，更好地掌握一元二次方程的根与系数之间的关系.
5. 在学习因式分解时，教材中没有在正文中讲解十字相乘法分解因式，现在可以用求根公式解旧教材中，可用十字相乘法分解因式法解的一元二次方程.
四、新课引入
1．用平方根的定义求方程的根需要什么条件？
2．请同学们回顾，用配方法解一元二次方程应注意什么？
应该注意：(1) 把二次项系数化为1；(2) 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；(4)原方程变为的形式；
3. 请同学们尝试着用配方法求出的根.
五、例题讲解
P41例2. 解下列方程式
[分析] 利用求根公式解一元二次方程要掌握好解题的步骤.先把一元二次方程化为一般形式，再确定a、b、c的值，及求出 的值, 若≥0，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出和；若＜0时，则方程无实根.
(补充) 例2.不解方程，判断一元二次方程根的情况.
(1) (2)
（3）
[分析]根据计算出的值来判断一元二次方程根的情况. 当＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当＜0时，一元二次方程没有实数根.
答案：（1）有两个不相等的实数根 （2）没有实数根
（3）有两个相等的实数根
*(补充) 例3. m为何值时，方程
（1）有两个不相等的实数根
（2）有两个相等的实数根
（3）没有实数根
[分析]题中所给方程显然是一元二次方程，并且已知方程的根的情况，求字母系数的取值或取值范围，“这三问”都与“”有关，所以，应先求出“”的值，再依据一元二次方程根与系数的关系，分别得到三个关于m的不等式或等式，从而求出m的值或取值范围.
解：
(1) 当＞0，＞0
m＞时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 当=0，=0
m=时，方程有两个相等的实数根；
(3) 当＜0，＜0
m＜时，方程没有实数根.
六、随堂练习
1.填空.：
（1）已知一元二次方程 = ；
（2）若方程 有两个相等的实数根，那么m 的值为 .
2. 解下列方程式
(1) (2)
（3） （4）
七、课后练习
1.选择题
(1)下列方程中有两个不相等的实数根的是（ ）
A B
C D
(2)若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A B
C D
2. 解下列方程式
(1) (2)
（3） （4）
3． a为何值时，方程ax2+bx=5x2－4是关于x的一元二次方程.
八、答案：
六、1. （1）8 （2）－1
2.（1） （2）， （3） ， （4），
七、1． （1）A （2）B
2．（1）， （2）
（3） 无实数根 （4），
22.2．3 因式分解法
一、教学目标
会用因式分解法解某些能因式分解的一元二次方程.
二、重点、难点
1 重点：正确地辨别出可用分解因式的方法解的一元二次方程..
2 难点：会用因式分解法解某些能因式分解的一元二次方程.
3.难点与突破方法
因式分解法是解一元二次方程经常使用的方法.这种解法的理论根据是：两个因式的积等于零的充分条件是这两个因式至少要有一个为零.
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
（1）将方程右边化为零；
（2）将方程左边分解为两个一次因式乘积；
（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解.
用因式分解法解一元二次方程的关键：一是将方程右边化为零；二是熟练掌握多项式因式分解的方法（提供因式法、公式法）.
三、例、习题的意图
1. P44例3. 解下列方程,给出的方程需要变形整理，将方程右边化为零，用提供因式法、公式法把左边的多项式因式分解，将方程左边分解为两个一次因式乘积， 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程， 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.到本节已经学过一元二次方程的三种解法─配方法、公式法、因式分解法. 其中，公式法是一般方法，适用于任意的一元二次方程；因式分解法是特殊的方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便；配方法是一种非常重要的数学方法，但在解一元二次方程时，一般不使用.
补充的例4是让学生自己选择解题的方法，在练习巩固已学过的指示，通过练习比较各种方法的特点，提高灵活地解一元二次方程的能力.
四、新课引入
1．用投影出示问题：要使等式成立，至少应具备什么条件？是否必须、同时为0？
2．继续用投影出示问题：方程的解是什么？方程的解是什么？
3. P43出示问题3.设物体经x s落回地面，得到方程.
提出问题：除配方发或公式法以外，能否找到更简单的方法解这个方程？
将方程右边化为0，左边提取公因式，得,
于是得：，
提出问题：以上解方程式如何使二次方程降为一次的？
五、例题讲解
P44例3. 解下列方程
[分析] 用已经学过去括号、移项、合并同类项等方法整理方程，按x的降幂排列好方程，将方程右边化为零，用提供因式法、公式法把左边的多项式因式分解，将方程左边分解为两个一次因式乘积， 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程， 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
(补充) 例4. 选择适当的方法解下列方程：
（1） (2)
（3） （4）
[分析]学过配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，这几种方法中配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，但是配方法较难，如果没有特殊指明用配方法，可以不选择此方法解方程；用因式分解法要把方程的一边化为两个因式的积的形式，，另一边为0，分别使这两个一次因式等于0,所以，因式分解法只适用于某些一元二次方程.
答案：（1），（2），
（3）， （4），
六、随堂练习
1.填空
(1) 若代数式的值0，则x的值是 ；
(2)方程的根是 ；
(3) 方程的根是 .
2. 解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
七、课后练习
1. 解下列方程
(1) (2)
(3) （4）
2. 选择适当的方法解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
八、答案：
六、1.（1）， （2）
（3），
2．（1）， （2），
（3），（4），
七、1．（1）， （2）
（3）， (4) ，
2． （1）， （2）， （3）， （4），
22.3 实际问题与一元二次方程（一）
一、教学目标
1. 会列出一元二次方程解应用题.
2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力及应用数学的意识.
二、重点、难点
1 重点：会列出一元二次方程解应用题.
2 难点：找出已知量与未知量之间的等量关系.
3.难点与突破方法
和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为“审、设、列、解、答”.
（1）“审”是指读懂题目，审清题意，明确哪些是已知的，哪些是未知的以及它们之间的数量关系.
（2）“设”是指设元，也就是设未知数，设未知数又分直接设未知数和间接设未知数，所谓直接设未知数就是问什么设什么；如果直接设未知数方程比较难列方程，或列出的方程比较复杂，这是可以考虑间接设未知数.间接设未知数虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设未知数也十分重要.
（3）“列”就是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程.
（4）“解”就是求出所列方程的解.
（5）“答”就是书写答案，当然这首先要对求出的解进行检验，舍去不合实际意义的解，在写答时，一般遵循“问什么答什么，怎样问就这样答的原则”.
以上五个步骤中，审题是基础，列方程是关键. 从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此，这类问题大部分都可通过算术方法来解决，如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，求经过两次增长的平均增长率（或降低率），数学问题中涉及到数字的一些问题，行程问题.其中面积问题，增长率问题、储蓄问题、经营问题是很有代表性的问题.
三、例、习题的意图
1. 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决（列方程到写出答案）.
列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当的设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确的列出方程.
2.本节教材上有四个探究，P48探究1是以生活中流感传染为背景的问题，一人患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染了几个人？
这个问题背景贴近生活，学生不难理解题意，可以直接设未知数每轮传染中平均一个人传染了x个人，要找到题中的等量关系是：第一轮后患流感的人数+第二轮后患流感的人数=121.找到等量关系后，就让学生用代数式表示第一轮后患流感的人数为人，第二轮后患流感的人数人,列出方程.解完方程后，进一步提出问题：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?
3. P53习题2两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数 .是数字的积的问题，题中“相邻”二字很重要，在设未知数的时候，只要设较小的一个偶数为，则另一个偶数为.列方程为，变形为，可用求根公式求出；或变形为，可用配方法求根，由得到.最后求出较大的偶数为.
4．列方程解应用题应该注意的一些问题
（1）要注意各类应用题中常用的等量关系，例如面积问题中有关的面积公式，还要注意挖掘题目中的隐含的等量关系.
（2）注意语言与代数表达式的互化，题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转化成代数式才能列方程服务.
（3）注意从语言叙述中写出等量关系.
（4）注意单位问题，一是在设未知数时必须写清单位，用对单位，例如不要把速度单位写成路程单位，二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致.
四、新课引入
1.请同学们回顾列方程解应用题的一般步骤.
2.你认为其中哪一步很重要？ 哪一步是基础？找等量关系很重要，审题是基础.
五、例题讲解
1．P48探究1:是以生活中流感传染为背景的问题，一人患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染了几个人？
[分析]可以直接设未知数每轮传染中平均一个人传染了x个人，用代数式表示第一轮后患流感的人数为人，第二轮后患流感的人数人.
等量关系是：第一轮后患流感的人数+第二轮后患流感的人数=121.列出方程.
解完方程后，进一步提出问题：如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?引发学生进一步思考，再次讨论三轮传染后患流感的人数怎样计算？得到什么结论？
六、随堂练习
1．两个数的差是7，积是228，求这两个数.
2.一名工人加工300台收音机，在加工80台后，改进了工艺，每周能多加工15台，结果公用了6周完成了任务.问这名工人原来每周能完成多少台？
七、课后练习
1．两个数的差是5，积是176，求这两个数.
2．组织360名学生去看足球比赛.如果租用n辆中型客车（每辆租金400元），刚好坐满.已知大型客车比中型客车多20个座位，如果租用大型客车（每辆租金480元），虽然可以少租一辆，但有40个空位.请你设计一种租金最少的租车方案，并说明理由.
八、答案：
六、1. ；12，19 2．40台
七、1． ；11，16 2．当租用2辆中型客车，3辆大型客车时，没有空位，租金最少.
2.3 实际问题与一元二次方程（二）
一、教学目标
1. 会列出一元二次方程解求经过两次增长的平均增长率（或降低率），应用题；
2． 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力及应用数学的意识.
二、重点、难点
1 重点：会列出一元二次方程解应用题.
2 难点：找出已知量与未知量之间的等量关系.
3.难点与突破方法
设平均降低率（增长率）为，不要带百分号（%），这样计算较简便，不用方程两边同乘100，计算结果是小数，然后改写成百分数即可.
解决求平均降低率（增长率）这样的问题，可分层次用含的代数式表示第一次的降低（增长 ）的值， 用含的代数式表示第二次的降低（增长 ）的值, 再用这些式子表示等量关系.
三、例、习题的意图
P49探究2是降低率（增长率）问题，两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨一种乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
这道题容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000（元），乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600）÷2=1200（元），显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额不等同于年平均下降率（百分数）.
需要先分别求出甲、乙种药品经过两年降低成本的年平均降低率，然后再比较哪种药品成本的年平均下降率较大.教材中求出了甲种药品经过两年降低成本的年平均降低率，设甲种药品成本的年平均降低率为，用一元二次方程，求出甲种药品经过两年降低成本的年平均降低率为22.5%.教材中没有再求乙种药品经过两年降低成本的年平均降低率，需要学生自己动手实践.同理，设乙种药品成本的年平均降低率为,列出方程，求出乙种药品经过两年降低成本的年平均降低率为22.5%. 所以两种药品成本的年平均下降率相等.
P50[思考]经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？这个思考中提出的问题非常好，是一个很好的反思问题，能提升学生的理性思维.
四、新课引入
某商品两次价格上调后，价格从4.05元变为5元，设平均每次调价的百分率约为，用含的代数式表示第一次的价格为 ，用含的代数式表示第二次的价格为 .
五、例题讲解
P49探究2:是降低率（增长率）问题，两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨一种乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
[分析]求出甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000（元），乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600）÷2=1200（元），显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额不等同于年平均下降率（百分数）.
先分别求出甲、乙种药品经过两年降低成本的年平均降低率，然后再比较哪种药品成本的年平均下降率较大.设甲种药品成本的年平均降低率为，用一元二次方程，求出甲种药品经过两年降低成本的年平均降低率为22.5%，同理再求乙种药品经过两年降低成本的年平均降低率，设乙种药品成本的年平均降低率为,列出方程，求出乙种药品经过两年降低成本的年平均降低率为22.5%. 所以两种药品成本的年平均下降率相等.
六、随堂练习
1.某工厂一月份生产塑料玩具5000个，三月份增加到7200个，求这个工厂的月平均增长率.
2．生产一种小家电，原来每件成本是300元，由于改进技术，连续两次降低成本，现在的成本是192 元.每次降低成本时，成本的平均降低率是多少？
3．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知改商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这是应进货为多少个？
4．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若银行存款的利息不变，到期后的本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.
七、课后练习
1.青年印刷厂第一季度共印了182万册书，一月份印了50万册，这个印刷厂印书的平均增长率是多少？
2．某企业计划用两年的时间把上缴利税提高44%，若每年比前一年提高的百分数相同，求这个百分数？
3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品售价多少元？
4.宏志中学某班前年暑假将勤工俭学挣得的班费2000元，按一年定期存入银行，去年暑假到期后取出1000元寄往灾区，将剩下的1000元和利息继续按一年定期存入银行，待今年毕业后全部捐给母校，若今年到期后取人民币（本息和）1155元，问银行一年定期存款的年利率（假定利率不变）是多少？
5.某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10元，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润。
八、答案：
六、1. 20% 2．20% 3. 60元，400个； 80元， 200个 4. 10%
七、1．20% 2．10% 3. 100件， 25元 4. 5 %
5. 14元， 720元
2.3 实际问题与一元二次方程（三）
一、教学目标
1. 会列出一元二次方程解面积问题的应用题.
2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力及应用数学的意识.
二、重点、难点
1. 重点：会列出一元二次方程解面积问题应用题.
2. 难点：找出已知量与未知量之间的等量关系.
3. 难点与突破方法
用一元二次方程解决有关面积问题的应用题， 首先复习矩形、正方形、圆等图形的面积公式，然后用含有代数式表示题目中的长、宽等，根据等量关系列出方程，就可以突破列方程这一难点.
三、例、习题的意图
P50探究3给出了一个彩色的图片，要设计一个矩形的封面，封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度.
这道题是一个几何图形的面积问题,一个大矩形中有一个成比例的小矩方形，由于已知上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，所以设四周边衬的宽度时，应该分开设，由因为封面的长宽之比9: 7，为cm, 中央的小矩形的长宽之比9: 7，因此判断出上、下边衬与左、右边衬的宽度比应为9: 7，设上、下边衬的宽度均为，左、右边衬的宽度均为.要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，所以等量关系是：封面大矩形的面积=中央的小矩形的面积，列出方程.
解方程得，要让学生判断哪一个根符合实际意义?方法是把未知数的值进行估算，，，这两个值都是正值，不好取舍，要进一步计算，也就是说，上、下边衬的宽度均为不符合题意舍；，也就是说，上、下边衬的宽度均为符合题意.
P51的[思考]提出：如果换一种设未知数的方法，是否
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