九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角教案 新人教版-新人教版初中九年级上册数学教案.doc

24．1．3 弧、弦、圆心角
教
学
目
标
知识与能力
通过探索理解并掌握圆的旋转不变性与圆心角、弧、弦之间相等关系定理

过程与方法
通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力。

情感态度价值观
培养学生积极探索数学问题的态度及方法．

重 点
探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题
难 点
圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
方 法
小组合作学习
课 型
新 授
教 学 过 程
教学
环节
教 学 内 容
师生活动
设计
意图
一、情境
引入
【探究】
按下面的步骤做一做：
(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；
(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．
注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．

(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．
通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．

教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知．
在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以和重合，弦AB与弦A′B′重合，即，AB=A′B′．
进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．

学生动手操作，观察操作结果，

教师在学生归纳的过程中注意学生语言的教师叙述步骤，同学们一起动手操作．
由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知．
在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以和重合，弦AB与弦A′B′重合，即，AB=A′B′．

创设问题情境，激发学生兴趣，探索圆的对称性，引出本节内容。

二、探索新知

【思考】
按下面的步骤做一做：
第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；
第二步，得到一条折痕CD；
第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；
第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．

在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？

学生动手操作，观察操作结果，

教师在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：
（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神。

三、例题应用
例1．如图，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC．
证明：∵
∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形．
又 ∠ACB＝60°，
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA．
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC．

例2：如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？

分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．
（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，
又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到=
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB，CF=CD
∴AE=CF
又∵OA=OC
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴OE=OF
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，∠AOB=∠COD
理由是：
∵OA=OC，OE=OF
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴AE=AB，CF=CD
∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD
∴=，∠AOB=∠COD

学生独立思考，根据对三量定理的理解加以分析．由，得到，△ABC是等腰三角形，由∠ACB＝60°，得到△ABC是等边三角形，AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC．

教师让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法

学生解答，教师巡视、指导。

巩固新知，进一步理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理。

通过解题,让学生进一步拓展圆心角、弧、弦之间相等关系定理。

四、巩固练习

课本P83 练习1，2　

补充练习：
　如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．

学生独立思考、独立解题．

教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

检查学生对所学知识的掌握情况.

五、课堂小结
1．问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？
本节课应掌握：
（1）圆心角概念．
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．
六、布置作业
教材P87习题24.1第2、3、10题
课堂检测
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等 B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．圆心角不变，所对的弦不相等 D．弦相等，它所对的圆心角相等
2．如图1，在⊙O中，AB=2CD，那么（ ）
A． B．
C． D.与的大小关系无法比较

(1) (2) (3) (4)
3．AD是⊙O的直径，AB、AC是它的两条弦，若AD平分∠BAC．那么①AB=AC，②，③，④AD⊥BC，以上结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图2，DE分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则与的大小关系是_______．
5．如图3，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，∠A=70°，则∠BOC=_____．
6．如图4，在⊙O中，弦AB=AC=5cm，BC=8cm，则⊙O的半径等于________cm．

答案：
1．C 2．B 3．D 4． 5．125° 6．