课程辅导-第7章-直线及圆方程.doc

第七章 直线和圆的方程
知识结构

第一节 直线的倾斜角和斜率
学习目标
1．了解直线的方程、方程的直线的定义；
　　2．掌握直线的倾斜角、直线的斜率的定义及其取值范围；
　　3．掌握过两点的直线的斜率公式，会运用公式求出有关直线的斜率和倾斜角．

重点难点
本节重点：正确地理解斜率的概念，熟练地掌握已知直线上两点求直线斜率的公式，这是学好直线这部分内容的关键．
　　本节难点：正确理解直线倾斜角定义中的几个条件，如直线与x轴相交与不相交，按逆时针方向旋转、最小正角等．求倾斜角时，要特别注意其取值范围是
　　高考中，由于本节内容是解析几何成果中最基础的部分，一般是隐含在综合题中进行考查．

典型例题

【分析】

【解】

【点评】

【分析】

【解】

【点评】

【解法一】
　　代数方法：套两点斜率公式．

【解法二】

【点评】
　　“解析几何的特点之一是数形结合，数无形时少直观，形无数时难入微．”在学习数学时，应该记住华罗庚的这段话．
　　教材上还涉及证明三点共线的练习题，怎样证明三点共线呢？请看下面例4．

【分析】
　　证明三点共线，可以用代数方法、几何方法，可以用直接证法、间接证法，你能想出至少一个方法吗？下面是同学们讨论出的几种证法供参考．
【证法一】

【证法二】

【证法三】

第二节 直线的方程
学习目标
掌握直线方程的点斜式、两点式、参数式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程式．

重点难点
本节重点：直线方程的点斜式和一般式，点斜式是推导直线方程其他形式的基础，一般式是直线方程统一的表述形式．
　　本节难点：灵活运用直线方程的各种形式解题．
在高考中几乎每年都要考查这部分内容，题型以选择题、填空题居多．

典型例题

【分析】
　　关键是确定直线方程中的待定系数．

【解】

【点评】
　　学习直线的方程常犯的错误是忽略方程各种形式的应用条件，因此造成丢解．本例中各个小题均为两解，你做对了吗？第（4）小题的解法一要用到下节学到的公式，解法二用到课外知识，供有兴趣的同学欣赏．

【解法一】

【解法二】

【解法三】

【点评】
　　灵活运用直线方程的各种形式，常常要和平面几何的有关知识相结合．本题还有别的解法，不再一一列举．

【解法一】

【解法二】

【解法三】

【证明】

【点评】

【分析】

【解法一】

【解法二】

【解法三】

【点评】

第三节 两条直线的位置关系
学习目标
1．掌握两条直线平行与垂直的条件，以及两条直线的夹角和点到直线的距离公式．
　　2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
重点难点
本节重点：两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．
　　本节难点：了解解析几何的基本思想，并用解析几何方法研究角．
　　在高考中，两条直线的位置关系几乎年年必考，常常单独出现在选择题和填空题中，或作为综合题的一部分出现在解答题中．
典型例题
　　学习了本节以后，应该对两条直线平行与垂直的充要条件，怎样求直线的斜率、距离与角有哪些公式等问题进行归纳小结，以便提纲挈领地掌握有关知识，并灵活运用这些知识解决问题．
　　1．两条直线平行、垂直的充要条件是什么？
答：

　　2．怎样求直线的斜率？
答：

　　3．距离和角有哪些公式？能灵活运用吗？
答：

　　用下面的例题检验是否理解和掌握了以上这些内容．
　　1．两条直线的位置关系

【解】

【解】

　　2．两条直线所成的角

【解】

【解法一】

【解法二】

　　3．有关交点的问题

　　（A）1 　　（B）2 　　（C）3 　　（D）4
【解法一】

【解】

【解法二】

　　4．点到直线的距离

【错误的解】

【正确的解】

【解法一】

【解法二】

【解法三】

【解法四】

第四节　简单的线性规划
学习目标
　1．了解用二元一次不等式表示平面区域．
　　2．了解线性规划的意义，并会简单的应用．

重点难点

典型例题
学习了简单的线性规划以后，常见的题型是用二元一次不等式表示平面区域，以及用线性规划的知识来解决一些简单的问题．
　　下面的例题可检验是否掌握了这些内容．
　　1．二元一次不等式表示的区域

【分析】

　【解】

【点评】

例2 试讨论点线距离公式中，去掉绝对值符号的规律？
【分析】

【解】

【点评】

　　2．线性规划初步
例3 钢管长11.1米，需要截下1.5米和2.5米两种不同长度的小钢管，问如何截取可使残料最少？
【分析】
　　关键是利用约束条件，列出线性目标函数．

【解】

【评析】

例4 用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）．
　　（A）5种 　　（B）6种 　　（C）7种 　　（D）8种
【解法一】

【解法二】

【解法三】
　　列表数点．故选（C）．

【点评】
　　本题为1999年全国高考试题第14题，难度系数0.47．如果有利用二元一次不等式表示平面区域的知识，此题将不再困难．

【分析】
　　甲的解法错误，错在（1）、（2）（3）、（4），反之不行，用必要不充分条件代替原条件，使解的范围扩大，[6，10]是[5，11]的子集．乙的解法正确．
　　本题数形结合，利用本节的知识还可以有以下的解法．

【解】

【点评】

第六节　曲线和方程
学习目标

　1．掌握曲线的方程、方程的曲线等概念．

2．了解解析几何的基本思想和解析法，学习运动变化、对立统一等辩证唯物主义思想．

重点难点
本节重点：了解曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系，从而掌握曲线的方程和方程的曲线这两个重要概念，并掌握由曲线的已知条件求方程的方法和步骤，熟悉解析法．
　　本节难点：理解曲线和方程的概念，以及求曲线的方程的方法．
　　在高考中，曲线和方程常是重点考查的内容，出现在解答题中．

典型例题
　　学习了本节后主要要掌握求曲线的方程的步骤，以及用解析法解题的步骤，以下归纳供参考．
　　求曲线的方程的步骤是：
　　一建--选取适当的点和直线，建立坐标系；
　　二设--设曲线上点，以及利用已知条件设出其他有关点的坐标等；
　　三列式--根据动点符合的条件，列出含、的方程0；
　　四化简--化方程0为最简形式；
　　五证明--证曲线上点的坐标都是方程的解，以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（这一步不要求写出）．
　　解析法的主要步骤是：
　　一建--建立适当的坐标系．建系原则是使已知条件好用，使表达式简明，运算简便．因此，尽量利用已知点和已知直线；
　　二设--选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；
　　三算--通过运算，得到所要的结果．
　　用以下例题检验是否理解和掌握了这些内容．
　　1．怎样求轨迹方程

【解法一】

【解法二】

【点评】

【错误解法】

【正确解法】

【点评】

【解法一】

【解法二】

【点评】

　　2．解析法与综合法

【证法一】

【证法二】

【证法三】

【证法四】

【点评】
　　不同证法，以解析法较简便，复数将在高三年级学习，这里的证法实质和解析法一样，不过是换个说法．

【分析】

【解】

【点评】

　　解析法与综合法的特点，从中你体会到了吗？解析法的优点是程序固定（一建二设三算），操作简便，但一般运算量较大；综合法的优点是思路灵活，但如何添加辅助线不易掌握．

【解法一】

【解法二】

【解法三】

【解法四】

【点评】
　　“是否可以用代数中的计算过程代替几何中的证明？”“让代数和几何中一切最好的东西互相取长补短”等是笛卡儿创立解析几何的初衷．解析几何既然是用代数方法来研究几何对象的特征和性质，当然对运算能力要求较高．运算能力是一种计算化了的推理能力，是逻辑思维能力与计算知识、方法、技能和技巧的结合．在解析几何中，如果不注意运算方法上的特点和技能，就可能陷入有思路但算不出或很难算出正确结果的窘境，如本题的思路一、二．解析几何中常用的运算方法和技能是：
　　①注意利用平面几何知识，如思路四；
　　②不忘利用定义，尤其是圆锥曲线的定义解题；
　　③充分利用一元二次方程根与系数的关系，并不忘对判别式的要求，如思路三；
　　④合理利用曲线系；
　　⑤数形结合，依形判数，就数论形；
　　⑥灵活运用字母的可轮换性，减少同类量的重复运算．
　　以上方法和技能，要在实际解题中逐步掌握．

第七节　圆的方程
学习目标
1．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程．
　2．初步了解直线和圆中反映出的运动变化、对立统一等辩证思想和观点．

重点难点
本节重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程及其相互转化．
　　本节难点：直线和圆的综合运用．
　　在高考中，圆的方程在选择题、填空题、解答题等各类题型中出现．
　本节要掌握三种类型的问题，之一是求圆的方程，之二是直线和圆的综合题，之三是应用直线和圆的知识解决一些问题．
　　1．圆的方程有哪些形式？

典型例题
用下面的例题检验是否理解和掌握了圆的方程的三种形式：

【解法一】

【解法二】

【解法三】

【点评】

　　怎样求圆的方程？这三条思路具有典型意义．

【解法一】

【解法二】

【点评】

【解法一】

【解法二】

【点评】

【分析】
　　关键确定圆心坐标和半径．

【解】

【点评】
　　本题为1997年全国高考理科第25题，难度系数0.20．难在什么地方呢？第一文字叙述较长，有同学读不懂题；第二涉及众多知识，有同学不会运用；第三丢解，忽略了不同的位置关系．会不会用知识和怎样用知识，是一个人有没有能力和能力高低的重要标志，努力吧！

　　2．直线和圆综合题

【分析】

【解】

【点评】

【解法一】

【解法二】

【点评】

【分析】

【解】

【点评】

【解法一】

【解法二】

【点评】
　　分类是自然科学的基本方法，数学中的分类讨论的思想方法，就是依据数学对象的共同点和差异点，将其区分为不同种类，分类讨论并归纳结论，这一思想方法，在近代数学和现代数学中占有重要地位，是应该学习和掌握的重要思想方法．

　　3．怎样利用直线和圆的知识解题？

【分析】
　　数形结合，将代数式或方程赋予几何意义．

【解】

【点评】
　　从“数”中认识“形”，从“形”中认识“数”，数形结合相互转化，是数学思维的基本方法之一．“数学是一个有机的统一体，它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合．”（希尔伯特）数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一，而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力．本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目．

【解法一】

【解法二】

【解法三】

【点评】