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食油生产问题（案例一）分析报告
一、模型构造
1.1 变量设置
设两种硬质油代号分别为HD1、HD2（HD代表Hard）,三种软质油代号分别为SF1、SF2、SF3（SF代表Soft）。每种油的采购（Buy）、耗用（Use）和储存（Store）量分别在油品的代号前加B、U和S表示。1—6月份5种油品的采购、耗用和储存量分别在油品代号后面加1—6表示。总产量用PROD（Product）表示。
第一种硬质油六个月的采购量、耗用量、月末储存量共有17变量，其中，六月末的存储量为500吨。
BHD11，
BHD12，
BHD13，
BHD14，
BHD15，
BHD16；
UHD11，
UHD12，
UHD13，
UHD14，
UHD15，
UHD16；
SHD11，
SHD12，
SHD13，
SHD14，
SHD15；

第二种硬质油六个月的采购量、耗用量、月末储存量共有17变量，其中，六月末的存储量为500吨。
BHD21，
BHD22，
BHD23，
BHD24，
BHD25，
BHD26；
UHD21，
UHD22，
UHD23，
UHD24，
UHD25，
UHD26；
SHD21，
SHD22，
SHD23，
SHD24，
SHD25；

第一种软质油六个月的采购量、耗用量、月末储存量共有17变量，其中，六月末的存储量为500吨。
BSF11，
BSF12，
BSF13，
BSF14，
BSF15，
BSF16；
USF11，
USF12，
USF13，
USF14，
USF15，
USF16；
SSF11，
SSF12，
SSF13，
SSF14，
SSF15；

第二种软质油六个月的采购量、耗用量、月末储存量共有17变量，其中，六月末的存储量为500吨。
BSF21，
BSF22，
BSF23，
BSF24，
BSF25，
BSF26；
USF21，
USF22，
USF23，
USF24，
USF25，
USF26；
SSF21，
SSF22，
SSF23，
SSF24，
SSF25；

第三种软质油六个月的采购量、耗用量、月末储存量共有17变量，其中，六月末的存储量为500吨。
BSF31，
BSF32，
BSF33，
BSF34，
BSF35，
BSF36；
USF31，
USF32，
USF33，
USF34，
USF35，
USF36；
SSF31，
SSF32，
SSF33，
SSF34，
SSF35；

六个月的油品产量共有六个变量
PROD1，
PROD2，
PROD3，
PROD4，
PROD5，
PROD6；
这样,一共有5×17+6=91个变量。
1.2 模型构建
这个问题的建模可以分为两步，首先建立单期问题模型，然后建立多期问题模型。
1.2.1单期模型
以一月份的模型为例，如果原料油没有库存，一月份的采购量和耗用量相等，生产计划线性规划模型如下，其中有5个约束条件：

产品油
硬质油1
硬质油2
软质油1
软质油2
软质油3

利润
max
200 PROD1
-110 BHD11
-120 BHD21
-130 BSF11
-110 BSF21
-115 BSF31

硬质生产能力
s.t.

UHD11
+UHD21

£200
软质生产能力

USF11
+USF21
+USF31
£250
硬度上限约束

-6.0 PROD1
+8.8 UHD11
+6.1 UHD21
+2.0 USF11
+4.2 USF21
+5.0 USF31
£0
硬度下限约束

-3.0 PROD1
+8.8 UHD11
+6.1 UHD21
+2.0 USF11
+4.2 USF21
+5.0 USF31
³0
物料平衡约束

-PROD1
+UHD11
+UHD21
+USF11
+USF21
+USF31
=0
变量非负约束

PROD1,
UHD11,
UHD21,
USF11,
USF21,
USF31
³0
二月份的生产计划模型与以上模型的结构完全相同，不同的是模型中的变量全部换成5种油二月份的耗用量，目标函数中5种油品的价格换成二月份的价格。二月份的生产计划模型如下，其中有5个约束条件：

产品油
硬质油1
硬质油2
软质油1
软质油2
软质油3

利润
max
200 PROD2
-130 BHD12
-130 BHD22
-110 BSF12
-90 BSF22
-115 BSF32

硬质生产能力
s.t.

UHD12
+UHD22

£200
软质生产能力

USF12
+USF22
+USF32
£250
硬度上限约束

-6.0 PROD2
+8.8 UHD12
+6.1 UHD22
+2.0 USF12
+4.2 USF22
+5.0 USF32
£0
硬度下限约束

-3.0 PROD2
+8.8 UHD12
+6.1 UHD22
+2.0 USF12
+4.2 USF22
+5.0 USF32
³0
物料平衡约束

-PROD2
+UHD12
+UHD22
+USF12
+USF22
+USF32
=0
变量非负约束

PROD2,
UHD12,
UHD22,
USF12,
USF22,
USF32
³0

………

类似地，可以分别建立三月份、四月份、五月份和六月份的生产计划线性规划模型。六月份的生产计划模型如下：

产品油
硬质油1
硬质油2
软质油1
软质油2
软质油3

利润
max
200 PROD6
-90 BHD16
-110 BHD26
-140 BSF16
-80 BSF26
-135 BSF36

硬质生产能力
s.t.

UHD16
+UHD26

£200
软质生产能力

USF16
+USF26
+USF36
£250
硬度上限约束

-6.0 PROD6
+8.8 UHD16
+6.1 UHD26
+2.0 USF16
+4.2 USF26
+5.0 USF36
£0
硬度下限约束

-3.0 PROD6
+8.8 UHD16
+6.1 UHD26
+2.0 USF16
+4.2 USF26
+5.0 USF36
³0
物料平衡约束

-PROD6
+UHD16
+UHD26
+USF16
+USF26
+USF36
=0
变量非负约束

PROD6,
UHD16,
UHD26,
USF16,
USF26,
USF36
³0
以上6个单期模型，共有30约束条件。
1.2.2 多期模型
以上6个单期模型中，目标函数中的变量是当月各种原料油的采购量和成品油的产量，而约束条件中的变量是当月原料油的耗用量和成品油的产量。但根据题意，每一种原料油上月末的存储量，本月的采购量，本月耗用量，本月末存储量有以下关系：
（上月末存储量）+（本月采购量）-（本月耗用量）-（本月末存储量）=0
对于一月份，有：
（一月份采购量）-（一月份耗用量）-（一月末存储量）=－500
对于六月份，有：
（五月末存储量）+（六月份采购量）-（六月份耗用量）=500
用以上的变量代号表示，第一种原料油HD1一月份到六月份的采购量、耗用量和存储量有以下约束：

BHD11
-UHD11
-SHD11
=-500
SHD11
+BHD12
-UHD12
-SHD12
= 0
SHD12
+BHD13
-UHD13
-SHD13
= 0
SHD13
+BHD14
-UHD14
-SHD14
= 0
SHD14
+BHD15
-UHD15
-SHD15
= 0
SHD15
+BHD16
-UHD16

=500
第二种原料油HD2一月份到六月份的采购量、耗用量和存储量有以下约束：

BHD21
-UHD21
-SHD21
=-500
SHD21
+BHD22
-UHD22
-SHD22
= 0
SHD22
+BHD23
-UHD23
-SHD23
= 0
SHD23
+BHD24
-UHD24
-SHD24
= 0
SHD24
+BHD25
-UHD25
-SHD25
= 0
SHD25
+BHD26
-UHD26

=500
第三种原料油SF1一月份到六月份的采购量、耗用量和存储量有以下约束：

BSF11
-USF11
-SSF11
=-500
SSF11
+BSF12
-USF12
-SSF12
= 0
SSF12
+BSF13
-USF13
-SSF13
= 0
SSF13
+BSF14
-USF14
-SSF14
= 0
SSF14
+BSF15
-USF15
-SSF15
= 0
SSF15
+BSF16
-USF16

=500
第四种原料油SF2一月份到六月份的采购量、耗用量和存储量有以下约束：

BSF21
-USF21
-SSF21
=-500
SSF21
+BSF22
-USF22
-SSF22
= 0
SSF22
+BSF23
-USF23
-SSF23
= 0
SSF23
+BSF24
-USF24
-SSF24
= 0
SSF24
+BSF25
-USF25
-SSF25
= 0
SSF25
+BSF26
-USF26

=500
第五种原料油SF3一月份到六月份的采购量、耗用量和存储量有以下约束：

BSF31
-USF31
-SSF31
=-500
SSF31
+BSF32
-USF32
-SSF32
= 0
SSF32
+BSF33
-USF33
-SSF33
= 0
SSF33
+BSF34
-USF34
-SSF34
= 0
SSF34
+BSF35
-USF35
-SSF35
= 0
SSF35
+BSF36
-USF36

=500
以上5组反映5种不同的原料油一月到六月的采购量、耗用量、存储量之间平衡关系的约束称为耦合约束。以上5组耦合约束条件共有5×6=30个，连同6个月单期模型的30个约束条件，总体模型共有60个约束条件。
由于油罐容量的限制，每个月5种原料的存储量不能超过1000吨，25个存储变量的上界为1000。变量的上界限制在实际问题中一般不用约束条件表示，在LINDO中有为变量设定上界的语句。形式为：
SUB 变量名 上界值
如
SUB SHD11 1000
由于考虑了每个月的存储量，在目标函数中还必须引进存储变量，系数为5元/吨。
这样，91个变量，60个约束条件的总体线性规划模型的结构如下：
二、LINDO模型和求解结果
2.1、LINDO模型
TITLE 案例1 食油生产问题（1）
!-----------------------------------------------------------------
!目标函数=六个月成品油（PROD1-PROD6）的销售收入减去六个月五种原料油的成本
!减去每个月五种原料油的库存费用
max
200 PROD1-110 BHD11-120 BHD21-130 BSF11-110 BSF21-115 BSF31
+200 PROD2-130 BHD12-130 BHD22-110 BSF12- 90 BSF22-115 BSF32
+200 PROD3-110 BHD13-140 BHD23-130 BSF13-100 BSF23- 95 BSF33
+200 PROD4-120 BHD14-110 BHD24-120 BSF14-120 BSF24-125 BSF34
+200 PROD5-100 BHD15-120 BHD25-150 BSF15-110 BSF25-105 BSF35
+200 PROD6- 90 BHD16-110 BHD26-140 BSF16- 80 BSF26-135 BSF36
-5 SHD11-5 SHD21-5 SSF11-5 SSF21-5 SSF31
-5 SHD12-5 SHD22-5 SSF12-5 SSF22-5 SSF32
-5 SHD13-5 SHD23-5 SSF13-5 SSF23-5 SSF33
-5 SHD14-5 SHD24-5 SSF14-5 SSF24-5 SSF34
-5 SHD15-5 SHD25-5 SSF15-5 SSF25-5 SSF35
st
!-----------------------------------------------------------------
!一月份硬质油生产线的生产能力约束（JAN-HPC）
!一月份软质油生产线的生产能力约束（JAN-SPC）
!一月份成品油的硬度上限约束（JAN-HUB）
!一月份成品油的硬度下限约束（JAN-HLB）
!一月份原料和成品的平衡约束（JAN-BLS）
JAN-HPC) UHD11+UHD21<200
JAN-SPC) USF11+USF21+USF31<250
JAN-HUB)-6.0PROD1+8.8UHD11+6.1UHD21+2.0USF11+4.2USF21+5.0 USF31<0
JAN-HLB)-3.0PROD1+8.8UHD11+6.1UHD21+2.0USF11+4.2USF21+5.0 USF31>0
JAN-BLS) -PROD1+UHD11+UHD21+USF11+USF21+USF31=0
!------------------------------------------------------------------
!二月份硬质油生产线的生产能力约束（FEB-HPC）
!二月份软质油生产线的生产能力约束（FEB-SPC）
!二月份成品油的硬度上限约束（FEB-HUB）
!二月份成品油的硬度下限约束（FEB-HLB）
!二月份原料和成品的平衡约束（FEB-BLS）
FEB-HPC) UHD12+UHD22<200
FEB-SPC) USF12+USF22+USF32<250
FEB-HUB)-6.0PROD2+8.8UHD12+6.1UHD22+2.0USF12+4.2USF22+5.0 USF32<0
FEB-HLB)-3.0PROD2+8.8UHD12+6.1UHD22+2.0USF12+4.2USF22+5.0 USF32>0
FEB-BLS) -PROD2+UHD12+UHD22+USF12+USF22+USF31=0
!----------------------------------------------------------------
!三月份硬质油生产线的生产能力约束（MAR-HPC）
!三月份软质油生产线的生产能力约束（MAR-SPC）
!三月份成品油的硬度上限约束（MAR-HUB）
!三月份成品油的硬度下限约束（MAR-HLB）
!三月份原料和成品的平衡约束（MAR-BLS）
MAR-HPC) UHD13+UHD23<200
MAR-SPC) USF13+USF23+USF33<250
MAR-HUB)-6.0PROD3+8.8UHD13+6.1UHD23+2.0USF13+4.2USF23+5.0USF33<0
MAR-HLB)-3.0PROD3+8.8UHD13+6.1UHD23+2.0USF13+4.2USF23+5.0USF33>0
MAR-BLS) -PROD3+UHD13+UHD23+USF13+USF23+USF33=0
!----------------------------------------------------------------
!四月份硬质油生产线的生产能力约束（APR-HPC）
!四月份软质油生产线的生产能力约束（APR-SPC）
!四月份成品油的硬度上限约束（APR-HUB）
!四月份成品油的硬度下限约束（APR-HLB）
!四月份原料和成品的平衡约束（APR-BLS）
APR-HPC) UHD14+UHD24<200
APR-SPC) USF14+USF24+USF34<250
APR-HUB)-6.0PROD4+8.8UHD14+6.1UHD24+2.0USF14+4.2USF24+5.0USF34<0
APR-HLB)-3.0PROD4+8.8UHD14+6.1UHD24+2.0USF14+4.2USF24+5.0USF34>0
APR-BLS) -PROD4+UHD14+UHD24+USF14+USF24+USF34=0
!----------------------------------------------------------------
!五月份硬质油生产线的生产能力约束（MAY-HPC）
!五月份软质油生产线的生产能力约束（MAY-SPC）
!五月份成品油的硬度上限约束（MAY-HUB）
!五月份成品油的硬度下限约束（MAY-HLB）
!五月份原料和成品的平衡约束（MAY-BLS）
MAY-HPC) UHD15+UHD25<200
MAY-SPC) USF15+USF25+USF35<250
MAY-HUB)-6.0PROD5+8.8UHD15+6.1UHD25+2.0USF15+4.2USF25+5.0USF35<0
MAY-HLB)-3.0PROD5+8.8UHD15+6.1UHD25+2.0USF15+4.2USF25+5.0USF35>0
MAY-BLS) -PROD5+UHD15+UHD25+USF15+USF25+USF35=0
!----------------------------------------------------------------
!六月份硬质油生产线的生产能力约束（JUN-HPC）
!六月份软质油生产线的生产能力约束（JUN-SPC）
!六月份成品油的硬度上限约束（JUN-HUB）
!六月份成品油的硬度下限约束（JUN-HLB）
!六月份原料和成品的平衡约束（JUN-BLS）
JUN-HPC) UHD16+UHD26<200
JUN-SPC) USF16+USF26+USF36<250
JUN-HUB)-6.0PROD6+8.8UHD16+6.1UHD26+2.0USF16+4.2USF26+5.0USF36<0
JUN-HLB)-3.0PROD6+8.8UHD16+6.1UHD26+2.0USF16+4.2USF26+5.0 USF36>0
JUN-BLS) -PROD6 +UHD16 +UHD26 +USF16 +USF26 +USF36=0
!----------------------------------------------------------------
!第一种硬质油（HD1）相邻两个月的采购量，耗用量和存储量的平衡
HD1-J ) BHD11-UHD11-SHD11=-500
HD1-JF) SHD11+BHD12-UHD12-SHD12=0
HD1-FM) SHD12+BHD13-UHD13-SHD13=0
HD1-MA) SHD13+BHD14-UHD14-SHD14=0
HD1-AM) SHD14+BHD15-UHD15-SHD15=0
HD1-MJ) SHD15+BHD16-UHD16-SHD16=0
!----------------------------------------------------------------
!第二种硬质油（HD2）相邻两个月的采购量，耗用量和存储量的平衡
HD2-J ) BHD21-UHD21-SHD21=-500
HD2-JF ) SHD21+BHD22-UHD22-SHD22=0
HD2-FM ) SHD22+BHD23-UHD23-SHD23=0
HD2-MA ) SHD23+BHD24-UHD24-SHD24=0
HD2-AM ) SHD24+BHD25-UHD25-SHD25=0
HD2-MJ ) SHD25+BHD26-UHD26-SHD26=0
!----------------------------------------------------------------
!第一种软质油（SF1）相邻两个月的采购量，耗用量和存储量的平衡
SF1-J ) BSF11-USF11-SSF11=-500
SF1-JF )SSF11+BSF12-USF12-SSF12=0
SF1-FM )SSF12+BSF13-USF13-SSF13=0
SF1-MA )SSF13+BSF14-USF14-SSF14=0
SF1-AM )SSF14+BSF15-USF15-SSF15=0
SF1-MJ )SSF15+BSF16-USF16-SSF16=0
!----------------------------------------------------------------
!第二种软质油（SF2）相邻两个月的采购量，耗用量和存储量的平衡
SF2-J ) BSF21-USF21-SSF21=-500
SF2-JF)SSF21+BSF22-USF22-SSF22=0
SF2-FM)SSF22+BSF23-USF23-SSF23=0
SF2-MA)SSF23+BSF24-USF24-SSF24=0
SF2-AM)SSF24+BSF25-USF25-SSF25=0
SF2-MJ)SSF25+BSF26-USF26-SSF26=0
!----------------------------------------------------------------
!第三种软质油（SF3）相邻两个月的采购量，耗用量和存储量的平衡
SF3-J) BSF31-USF31-SSF31=-500
SF3-JF)SSF31+BSF32-USF32-SSF32=0
SF3-FM)SSF32+BSF33-USF33-SSF33=0
SF3-MA)SSF33+BSF34-USF34-SSF34=0
SF3-AM)SSF34+BSF35-USF35-SSF35=0
SF3-MJ)SSF35+BSF36-USF36-SSF36=0
!----------------------------------------------------------------
!期末存储量约束
SHD16=500
SHD26=500
SSF16=500
SSF26=500
SSF36=500
!----------------------------------------------------------------
end
!存储量的上限约束
SUB SHD11 1000
SUB SHD12 1000
SUB SHD13 1000
SUB SHD14 1000
SUB SHD15 1000
SUB SHD16 1000
SUB SHD21 1000
SUB SHD22 1000
SUB SHD23 1000
SUB SHD24 1000
SUB SHD25 1000
SUB SHD26 1000
SUB SSF11 1000
SUB SSF12 1000
SUB SSF13 1000
SUB SSF14 1000
SUB SSF15 1000
SUB SSF16 1000
SUB SSF21 1000
SUB SSF22 1000
SUB SSF23 1000
SUB SSF24 1000
SUB SSF25 1000
SUB SSF26 1000
SUB SSF31 1000
SUB SSF32 1000
SUB SSF33 1000
SUB SSF34 1000
SUB SSF35 1000
SUB SSF36 1000

2.2、LINDO求解结果
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 9
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 250731.5
VARIABLE
VALUE
REDUCEDCOST
PROD1
450.000000
0.000000
BHD11
0.000000
25.000000
BHD21
0.000000
35.000000
BSF11
0.000000
25.000000
BSF21
0.000000
25.000000
BSF31
0.000000
30.000000
PROD2
450.000000
0.000000
BHD12
0.000000
40.000000
BHD22
0.000000
40.000000
BSF12
0.000000
0.000000
BSF22
750.000000
0.000000
BSF32
0.000000
25.000000
PROD3
450.000000
0.000000
BHD13
0.000000
15.000000
BHD23
0.000000
45.000000
BSF13
0.000000
15.000000
BSF23
0.000000
5.000000
BSF33
0.000000
0.000000
PROD4
450.000000
0.000000
BHD14
0.000000
20.000000
BHD24
0.000000
10.000000
BSF14
0.000000
0.000000
BSF24
0.000000
20.000000
BSF34
0.000000
25.000000
PROD5
450.000000
0.000000
BHD15
159.259262
0.000000
BHD25
0.000000
15.000000
BSF15
0.000000
25.000000
BSF25
0.000000
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-9