北京大学数学物理方法(上)1复变函数.doc

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数
数
数
运算
数的
虑 二
方
Ax2+
Bx+C =0
其
为
B2 4 AC
2A
B
x=
当 4AC > B2 时 ,便 会 出 复数
B
i 4 AC
2A
B2
x=
i2=
1
(1)
1
数
z=x+iy定
满足
加法
运算规则 一对有序实数(x,y)
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)
(2a)
(2b)
法
(x1,y1)(x2,y2)=(x1x2 y1y2,
x1y2+y1x2)
数域 所有复
集合 记
C
实部 Rez=x
部
Imz=y
相等
z=0
x=y=0
(3a)
(3b)
z1=z2
x1=x2& y1=y2
代数运算
作 为代数,复数运算 从一般的代数运算
则
1. 加法交换律z1+z2=z2+z1
2. 加法结合律z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3
3. 乘法交换律z1z2=z2z1
4. 乘法结合律z1(z2z3)=(z1z2)z3
5. 乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
加上复数虚单位i的性质(1)即可完全确定复数的运算.
1

数运
例
法 减法
1±
2
1
1
±
2
2
1±
2
1±
2
乘法
·
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2−
2
2
2 1
除法
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
−
−
2
2
·
2
1
2
2
2
−
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
其中 2− 2 为
2 的复共
2
2
Example 1.1
求
√ ,即
2
.
复数的平方根
设
满足
2
2−
2
须
2−
2
解
≥
s

s


√ 2
2
√ 2
2
−
−
±
或
s
− s

√ 2
2
√ 2
2


±
Example 1.2 求解
4
.
Solution
令
2
2
−
代入公
令
−
±√ −√ 

方
z2=(1 i)/ 2.
,代
z=
式 ,令 a=1/ 2及 b= 1/ 2,得两
p
p
!
1+
23 4
2
1+
23 4
2
i
另 两
为
p
p
!
1+
23 4
2+ i
1+
23 4
2
z=
Theorem 1.1.
z
w
使得w2=z
w
Theorem 1.2 (代数基本定理).
n次
项式 n>0 都
1.2
数的几 表示
数的几 表示
一个
数可用 平面(也用C表示) 上的一个点表示. 还能够表示为 平面的一个矢量.
y
z
x
O
数不能比较 小
实数域是有序域
有序域= 0,正数,负数
可得,
a
有序域, a2=a a
0
但
数域C有i2=
1.
数加法的几 意义
3

根据
数
加法规则
以看出 数加法 几何意义 矢量
加
行四边 法则
0
0
直角坐标
到极坐标
(
直角坐标
到极坐标
(cont.)
p
模
| |
2
2
辐角
辐角的多值性

y
y
y
α
α
α
r
r
r
2π
θ+2π
θ
θ
O
x
O
x
O
x
θ=θp+2πk
(k=0, 1, 2,...)
θp
π< θp
π
系用 何图形表示
来
arg(1
z)=0
arg(1+z)= π3
arg(z+1 i)= π2
等式 几何表示
线.
复
z=x+iy 代表复平面上的一点,复 的一个等式关系则一般代表复平面上的一段曲
1. 1 z 为复平面上两矢量1和z 之差,1 z 沿x轴,因此z 应在x轴上且小于1.
2. 1+z 则为复平面上两矢量z 和 1之差,1+z 辐角60◦,为 1点引出的一条射线.
3. z+1 i为z 与 1+i之差,因此为由 1+i引出平行y 轴的一条射线.
y
y
y
1+i
O
1
x
1
O
x
O
x
arg(1
z)=0
arg(1+z)= π3
arg(z+1 i)= π2
共扼
共扼
z∗=(x+iy)∗=x iy
(z∗)∗=z
(9)
复共扼是一个相互关系
(10)
5

然
2 ∗
∗
1
∗
2
1
∗
∗
∗
2
1
2
1


∗
∗
1
2
1
∗
2
复共扼 ∗ 的几
示
−
∗
−
如图
们有
以及
∗
−
∗
2
2
| |2
·
−
∗
−1
| |2
复数相乘
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
Theorem 1.3 复数乘法 .
| 1 2|
| 1|| 2|
1
1
2
1
2
2
1
2
Note
复数辐角可相差
的整数倍
复数相除
1
1
1−
2
1−
2
2
2
Theorem 1.4 复数除法 .

| |
2

1
1

2
| |


1
2
1−
2

复数乘法的几何表
y
z z
z
θ
z
θ
1
x
O
如图,两个阴影三角形为相似三角形.
De Moivre 定理 (棣美佛 1667–1754)
个复数相乘时
z z ···zn=r r ···rn[cos(θ +θ +···+θn)
+isin(θ +θ +···+θn)] (21)
令z =z =···=zn
Theorem 1.5 (DeMoivre定理).
zn=rn(cos
nθ+isinnθ
)
(22)
√
Example 1.4
复
的n次 根. 求w=
z
wn=z.
n
Solution
设
z=ρ(cosφ+isinφ)
w=r(cosθ+isinθ)
同样
由DeMoivre定理
比较,得
wn=rn(cosnθ+isinnθ)
ρ=rn
φ=nθ
√
r=
ρ
n
θ= φ
n
于是


√
√
ρ cosφ
n+isinφ
z=
n
n
n
7

考虑到辐 的多 值性,得到n个不同的根


√

√
p+2πk
p+2πk
k= ρ cosφ
+isinφ
n
z
n
n
n
−π<φp≤π,k=0,1,2,...,(n−1)
Theorem 1.6 (n次方根). 设z=r(cosθ+isinθ),它的n次方根为n个复数


√
k=
√
θ+2πk
θ+2πk
r cos
+isin
,
n
z
n
n
n
k=0,1,2,...,(n−1)
(23)
Example 1.5 求i的平方根
Solution
i=1(cosπ2 +isinπ2
)
因此


(√i)k=√1 cos
π/2+2πk
+isin
π/2+2πk
2
2




=cos π4 +πk +isin π4 +πk
k=0,1. 两根分别为
(√i)0=cosπ4 +isinπ4 = √1
2+
i
√
2
(√i)1=cos 4 +isin 4
5π
5π =− 1
−
i
√
√
2
2
即
√i=±√12(1+i)
Example 1.6 求解z8=1.
Solution
为
1=cos0+isin0
由n次方根定理
z=cosk2π +isink2π,
k=0,1,2,...,7
8
8
1
i
−1
i
=1,√2
−1
+
,i,
+
,−1,
2
√
√
√
2
2
√ −√i2,−i,√
1
√
i
−
2
2
2
8

,八 个
= √
1
分布
上 .
i
1+i
2
1+i
2
−1
1
− 1+i2
1 i
2
−i
Euler
(
1707–1783)
eiθ= cos + isin
(24)
(25)
数
表示
简
为
= (cos + isin )= eiθ= | |eiargz
乘 法 除法运算简 为 (由(16),(17) (19),(20)得)
数
1· 2= 1eiθ
2eiθ =
2ei(θ +θ )
(26)
(27)
·
1
1··· n= 1··· ne
i(θ + +θn
)
1 = 1ei(θ θ )
(28)
2
2
1.3
变
变
与 实函数定义
仿
设在复平 面 C
的函数. 记
有
点集 , 如果对
其定 域.
内
值, 都有
或多 1复数值
对应, 则
称
=
().
∀ ∈ ,∃
=
()
=
=
+ i
+ i
因此
=
=
()=
(
)
(
)+ i(
)
(29)
函数不过是两个二元实 函数
序组 .
1
值函数
9

Example 1.7 设z
x
y,求 z
z−
的实 部 u x,y 和虚部 v x,y .
Solution
z
x
y
y
x
y
y
x− − y
x− − y
·
z−
x−
x
x−
x−
y2
y x− −y x
x−

2
y2
这 样


z
x2 x−
x−
− y
x−
y2
y2
u x,y
v x,y
z−
z
2

z−
2
y2
一些初等函数
多项 外 基本的 数还有
角
数和指数
数
实变函数
展
X∞
−
n
x2n+1
x
n
n=0
X∞
−n
n
x2n
x
n=0
X∞
xn
x
n
n=0
复变函数
角 数和指数 数可
数
数展
相
变
数的
数展
相同
X∞
−
n
z2n+1
z
n
n=0
X∞
−n
n
z2n
z
n=0
X∞
zn
z
n
n=0
作变换z→ z 即
X∞
X∞
X∞
z n
−n
n
−
n
iz
z2n
z2n+1
n
n
n=0
n=0
n=0
z
z
z
θ 就
iθ
θ
θ

邻
z
a =r
圆 圆
z
a <r(r>0)称
a
心
r
半 径
圆
或 a
邻 域 或 r 邻 域
z
a
r
为以 a为中心 ,r为
心 邻 域
定 集合 E a
集E 即z
某 个邻 完 全
定 集合E a
z 都 集E 即z /E
定 集合 E 圆心 作
集E
径
闭
心 邻
z
是
z
圆心
圆心 作
域 0< z
z
<δ

内
E
称
a
圆 当 半 径
圆
所
z
a < 都
E
a
集E
存
a
E 内
孤
E
a
圆心 作
圆 当 半 径
集E 孤

心 邻 域 0< z a <
所
称
a
a
半 径  圆 圆
边界
z 和 z
z
a <
z
E 而z /E
边界 包括E
集合 边界
称
孤
a
定
集合
˚
E
内 部 集合E
部由所
E
E
成
集合E 边界由所
集合E 闭包由E
边界
成
∂E
闭
E
所
边界
成
E
显然
E=E+∂E =E˚+∂E
开集
集E 即它 部 E 称 开集
开集E 点全部是内点: E=E˚
何集合E
部E˚必然是 开集
闭集
集E 即它 闭包
E 称 闭集
闭集E
何集合E 闭包E 必然是 闭集
Example 1.8 E: z a <r
它
有边界点: E=E
圆
a
Solution
E: z a <r中 点全部是它 内点. 因此
z
E, 显然 >0, 得z
-邻
z
(邻 )是一个开集.
z
<内 有点z 都属于
z
E. 于是
E
E
闭
边界为∂E =E E 由
E
闭
z
a
r,它是一个闭集
z
a =r组
11

E :0<|z− a|<r
a
E 为
E 仍 为闭圆 盘 |z− a|≤ r
∂E
圆 |z− a|=r及 孤 点z=0组
域
区
开
部由
组
连通
意
都
用
线连接
线
都 属 此
域
区
与非区
洞也
区域定 义 判断:
(a)
(b)
(c) 自相 交 不 . 看
交 点, 交 点非内 点
区
域G
一般 G代表区域,G代表闭区域,C 代表边 .则
G=G+∂G=G+C
闭
G
域G
边界∂G
闭
域
(37)
区
用不等式表示
代表复平面上的一段 线,而一个关于复数的不等 则一般代表复平面上的一个区域.
中,不等 |z|<2和|z|>2都 区域(等 |z|=2为闭 )
等
下
y
y
y
2
x
2
x
2
x
O
O
O
|z|<2
|z|=2
|z|>2
12

,下 中 ,不 式 Re
1
Im
2也
2i
i
1 2
Re
1 2
1
Im
2
函 数 中
念
建 立
念 上
函 数
的空
内 有 义 . 如 果
时 , ()的极
复数
.
,
为 其
0, () 0,
(或 ),表 为
0
时 ,
有
()
,
lim
z→z0
()=
(38)
函 数
的
内 有 义 .如 果
lim
z→z0
()= ( )
(39)
即
0, () 0,
时 ,
有
()
( )
,
()
点连
Note 函 数 区
函 数 闭区
内 的 一点 连 ,
上 的 一点 连 ,
为
为
内 连 .
内 连 .
Theorem 1.7. 连 函 数的和、 差、 、 商(
不为
),以 及复合函 数仍 是连 函 数.
无穷 点
无穷
点
为了方便,常引入无穷 点(或无穷 ) ,满足(
C)
+
=
=
=
(40a)
(40b)
(40c)
( =0)
Note 与
序 .
数
不同 ( 有两 个无穷大 +
和
),复数 只有一个无穷远点. 原因是复数 不是一个有
扩充的复数 和扩充的复平面
Riemann 球表示
C=C+
13

可
用 Riemann 表示来 理解 充的复 面
N
θ,φ
O
y
x
z
点
定 义 为 |z|>M M >
在 ∞ 域
点
|f z −A|< 则
定 义
如
存 在 A 为
存 在复极 A ∀>极 ∃M  >为
|z|>M
z→ ∞
f z
f z
A
z→∞
点
在∞
存 在 定 义
f z
f ∞
z→∞
f z 在∞
连续
无
远 点只 过 是
极
过
z
则无 远 点的邻 域 |z|>M
是|w|< M
w
点
w
的邻 域
f z
w→ f w
z→∞
1.7
存 在
实
M >
E
z
|z|<M
则
E
Theorem 1.8 连 函数有界性 . 在
下
闭
域 G 上连续
f z |f z | 在 G 中
达到它
上
在 入
定理可表
充的复 面后
充复
面
的闭区域G 都 是
球
的有界闭区域 连 函数的有界性
Theorem 1.9 推 的连 函数有界性 . 在
复
面
闭
域 G 上连续
f z |f z | 在 G 中
第 部分 有界闭区
达到它
这是因 在
上下
充的复
面
可
将闭区域G
部分 |z|≤M 和|z|≥M
有界闭区域
域 而第 部分在变换z
后
是w 面的
w
Problems
写出
列复数的实部、 虚部、 模和辐角:
√

(2) eisinx, x为实数;
(3) eiz;
(4) ez;
(5) eiφ(x), φ(x)是实 数x的实 数;
(6) 1−cosα+isinα, 0≤α<2π.
2. 把下列 系用 何图形表示 来:
(1) |z|<2;
(2) |z|=2;
(3) |z|>2;
1
(4) Rez> 2
;
(5) 1<Imz<2;
(6) 0<arg(1−z)< π4
;
(7) |z−a|=|z−b|, a,b为常数;
(8) |z−a|+|z−b|=c, a,b,c均为常数,c>|a−b|.
3. 求下列序列{zn}的聚点和极限, 如果是实数序列, 则同时求 上极限和下极限:
n
(1) z =(−)n2n+1;
n
1
(2) z =(−)n2n+1;
n
(3) zn=n+(−)n(2n+1)i;
(4) z =(2n+1)+(−)nni;
n

(5) zn= 1+


i
nπ
6
sin
;
n

(6) zn= 1+21 cosnπ3
.
n
15