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课时作业(四) [第4讲 函数及其表示]
[时间：35分钟 分值：80分]
1．[2011·茂名模拟] 已知函数f(x)＝lg(x＋3)的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N等于( )
A．{x|x>－3} B．{x|－3<x<2}
C．{x|x<2} D．{x|－3<x≤2}
2．下列各组函数中表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x与g(x)＝2
B．f(x)＝|x|与g(x)＝
C．f(x)＝lnex与g(x)＝elnx
D．f(x)＝与g(t)＝t＋1(t≠1)
3．下列对应中：
①A＝{矩形}，B＝{实数}，f：“求矩形的面积”；
②A＝{平面α内的圆}，B＝{平面α内的矩形}，f：“作圆的内接矩形”；
③A＝R，B＝{y∈R|y＞0}，f：x→y＝x2＋1；
④A＝R，B＝R，f：x→y＝；
⑤A＝{x∈R|1≤x≤2}，B＝R，f：x→y＝2x＋1.
是从集合A到集合B的映射的为________．
4．已知f(2x＋1)＝3x－4，f(a)＝4，则a＝________.
5．下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )
x
0＜x＜5
5≤x＜10
10≤x＜15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
A.[2,5] B．N
C．(0,20] D．{2,3,4,5}
6．[2011·北京卷] 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数). 已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
7．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
8．[2012·潍坊模拟] 已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
9．[2011·杭州调研] 已知函数f＝x2＋，则f(3)＝________.
10．[2011·江苏卷] 已知实数a≠0，函数f(x)＝ 若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
11．[2011·青岛期末] 在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数(也称高斯函数)，表示不超过x的最大整数，例如[2]＝2，[3.3]＝3，[－2.4]＝－3.设函数f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为________．
12．(13分)设计一个水槽，其横截面为等腰梯形ABCD，要求满足条件AB＋BC＋CD＝a(常数)，∠ABC＝120°，写出横截面面积y与腰长x之间的函数关系式，并求它的定义域和值域．
13．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a、b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x有两个相等实根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m、n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m,2n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由．
课时作业(四)
【基础热身】
1．B [解析] M＝{x|x>－3}，N＝{x|x<2}，所以M∩N＝{x|－3<x<2}．故选B.
2．D [解析] 由函数的三要素中的定义域和对应关系进行一一判断，知D正确．
3．①③⑤ [解析] 由映射的定义可知，①③⑤是从集合A到集合B的映射．
4. [解析] 令3x－4＝4，得x＝，∴a＝2x＋1＝.
【能力提升】
5．D [解析] 函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．
6．D [解析] 由题意可知解得故应选D.
7．B [解析] 因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对g(x)，0≤2x≤2，且x≠1，故x∈[0,1)．
8．A [解析] 当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得，2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得，a＋1＋2＝0，解得a＝－3，选A.
9．11 [解析] 因为f＝2＋2，所以f(x)＝x2＋2，所以f(3)＝32＋2＝11.
10．－ [解析] 当a>0时，f(1－a)＝2－2a＋a＝－1－3a＝f(1＋a)，a＝－<0，不成立；当a<0时，f(1－a)＝－1＋a－2a＝2＋2a＋a＝f(1＋a)，a＝－.
11．{－1,0} [解析] f(x)＝－＝－，
f(－x)＝－，当x>0时，f(x)∈，
f(－x)∈，此时[f(x)]＋[f(－x)]的值为－1；
当x<0时，同理[f(x)]＋[f(－x)]的值为－1；当x＝0时，[f(x)]＋[f(－x)]的值为0，故值域为{－1,0}．
12．[解答] 如图，设AB＝CD＝x，则BC＝a－2x，作BE⊥AD于E.
∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，BE＝x，AE＝x，AD＝a－x.
故梯形面积y＝(a－2x＋a－x)·x
＝－x2＋ax＝－2＋a2.
由实际问题意义得，⇒0<x<a，
即定义域为.
当x＝时，y有最大值a2，
即值域为.
【难点突破】
13．[解答] (1)方程f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，
亦即ax2＋(b－1)x＝0，
由方程有两个相等实根，得Δ＝(b－1)2－4a×0＝0，
∴b＝1.①
由f(2)＝0，得4a＋2b＝0.②
由①②得，a＝－，b＝1，
故f(x)＝－x2＋x.
(2)假设存在实数m、n满足条件，由(1)知，
f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋≤，
则2n≤，即n≤.
∵f(x)＝－(x－1)2＋的对称轴为x＝1，
∴当n≤时，f(x)在[m，n]上为增函数．
于是有
即
∴
又m<n≤，∴
故存在实数m＝－2，n＝0，使f(x)的定义域为[m，n]，值域为[2m,2n]．
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